2024-2025学年广东省深圳市下学期八年级期末数学检测试卷

这是一份2024-2025学年广东省深圳市下学期八年级期末数学检测试卷，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一部分选择题
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，每小题有四个选项，其 中只有一个是正确的）
1 ．第 33 届夏季奥林匹克运动会于 2024 年 7 月 26 日-8 月 11 日在法国巴黎如期举行．以下 是巴黎奥运会部分比赛项目的图标，其中是中心对称图形的是( )
A ．皮划艇 B ．柔道
C ．游泳 D ．击剑
2 ．下列因式分解正确的是( )
A ．(m + n)2 = m2 + 2mn + n2 B ．a2 + 3a + 2 = a (a + 3) + 2
C ．-x3 - x = -x (x +1) D ．x2 + 2xy + y2 = (x + y)2
3．在 △ABC 中，上C = 60° , 上A = 50° , 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径画 弧，两弧分别交于点 M、N，作直线 MN 交AC 点 D，连接 BD ，则 上CBD 的大小是( )
A ．15° B ．20° C ．25° D ．30°
4 ．不等式x +1 ≤ 3 的解集，在数轴上表示正确的是( )
A ． B ．
C ． D ．
5 ．如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则上1的度数为( )
A ．40° B ．50° C ．60° D ．70°
6 ．如图，AB 、CD 是两面平行放置的平面镜，一束光线MP 在点P 处经平面镜CD 反射后 得到光线PN ，PN 在点N 处经平面镜 AB 反射后得到光线NQ ，已知 上1= 上2 ， Ð 3 = Ð 4 ， 若上MPN = 70° ,则 上4 的度数为( )
A ．35° B ．40° C ．50° D ．55°
7 ．某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点1400m 和 900m 的两地同时出发，参加活动．甲同学的速度是乙同学的 1.1 倍，乙同学比甲同学提前 7min 到达活动地点．若设乙同学的速度是xm/min ，则下列方程正确的是( )
A ． 7 B ．
C ． D ．
8 ．如图，将Rt△ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE ，点B 的对应点D 恰好落
在BC 边上．若AC = 6 ，上B = 60° ,则CD 的长为( )
A ．3 B ．6 C ．6 D ．12 - 3
第二部分非选择题
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
9 ．如图，在正方形ABCD 外侧，以AD 为一边向上作等边三角形ADE ，连接BE ，AC ，相 交于点 F，则 Ð BFC 的度数是 ．
10 ．若分式 的值为 0，则 x 的值为 ．
11 ．如图，圆锥的底面半径为 3，高为 4，则该圆锥的侧面积为
12 ．如图， △ABC 中， 上C = 90° , BD 是 Ð ABC 的角平分线，点D 在 AB 的垂直平分线上， 若AD = 6 ，则 CD = ．
13 ．为落实劳动素质教育，推动学生劳动实践的有效进行，某校在校园开辟了劳动实践基 地．如图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为 m ，n 的正方形且m > n ，其 中重叠部分 B 为池塘，阴影部分S1 ，S2 分别表示七年级和八年级的实践活动基地面积．若
m + n = 10 ，mn = 16 ，则S1 - S2 = ．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 61 分）
14 ．分解因式：
(1) 6x2y3 + 15xy2z ；
(2) m(n -1) + (1 - n) ．
15 ．已知 先在A ，B ，C 中任选 2 个分式用除号 “÷”连接并进行化简，再从 0 ，1 ，2 中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．
16 ．如图，在平面直角坐标系中， △ABC 的三个顶点 A ，B ，C 的坐标分别为(2, 5) ，
(-1,1) ，(4, 2)，将 △ABC 向左平移 3 个单位长度，再向下平移 4 个单位长度得到 △A¢B ¢C ¢ .
(1)画出平移后的 △A¢B ¢C ¢ 并写出A¢, B ¢, C ¢ 的坐标；
(2) △A¢B ¢C ¢ 内部一点P¢ 的坐标为(a , b ) ，写出平移前点 P¢ 的对应点 P 的坐标．
(3)连接线段A¢C ，请在 x 轴上找一点 G，使得△A¢C ¢G 的面积为 8，直接写出满足条件的点 G 坐标．
17 ．某商店销售A 、B 两种型号的打印机，销售3 台A 型和2 台B 型打印机的利润和为560 元，销售1台A 型和4 台B 型打印机的利润和为720 元．
（1）求每台 A 型和B 型打印机的销售利润；
（2）商店计划购进A 、B 两种型号的打印机共120 台，其中A 型打印机数量不少于B 型打印 机数量的一半，设购进A 型打印机a 台，这120 台打印机的销售总利润为w 元，求该商店购 进A 、B 两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）在（2）的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将 A 型打印机的出厂价下调m 元
（0 < m < 100 ），但限定商店最多购进A 型打印机50 台，且A 、B 两种型号的打印机的销售 价均不变，请写出商店销售这120 台打印机总利润最大的进货方案．
18 ．已知：在 △ABC 中， 上BAC = 90° , AB = 6 ，AC = 8 ，点D，E 分别是BC，AD 的中点，
AF ∥ BC ，交CE 的延长线于F .
(1)求证：四边形AFBD 为平行四边形；
(2)求四边形AFBD 的面积.
19 ．【背景】如图1是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图2 为其信息图．
【主题】如何接到最佳温度的温水．
【素材】温水水流速度是 20ml/s ， 水杯容积：700ml ．
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量．即：开 水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度．
生活经验：饮水最佳温度是35°C ~ 38°C （包括35°C 与38°C ），这一温度最接近人体体温． 【操作】先从饮水机接温水x 秒，再接开水，直至接满700ml 的水杯为止．（备注：接水期 间不计热损失，不考虑水溢出的情况）
【问题】
(1)接到温水的体积是 ml ，接到开水的体积是 ml ；（用含x 的代数式表示）
(2)若所接的温水的体积不少于开水体积的2 倍，则至少应接温水多少秒？
(3)若水杯接满水后，水杯中温度是50°C ，求x 的值；
(4)记水杯接满水后水杯中温度为y°C ，则y 关于x 的关系式是 ；若要使杯中温度达到 最佳水温，直接写出x 的取值范围是 ．
20 ．如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和DEC 重合放置，其中上C = 90° ,
上B = 上E = 30° .
【操作发现】
（1）如图 2，固定 △ABC ，使 △DEC 绕点 C 旋转，点 D 恰好落在AB 边上时，填空：
① 上EDC = ___________；
②设 △BDC 的面积为S1 ， △AEC 的面积为S2 ，则S1 与S2 的数量关系是________． 【猜想论证】
（2）当 △DEC 在如图 3 所示的位置时，小明猜想（1）中S1 与S2 的数量关系仍然成立，并 尝试分别作出了 △BDC 和 △AEC 中BC 、CE 边上的高，请你证明小明的猜想．
【拓展探究】
（3）已知 上ABC = 60° ,点 D 是角平分线上一点，BD = CD ，DE Ⅱ AB 交BC 于点 E（如 图 4）．若在射线BA 上存在点 F，使S△DCF = S△DBE ，请求出 上BDF 的度数．
1 ．C
【分析】本题考查了中心对称图形的识别， 熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键：把 一个图形绕着某一个点旋转180° ,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图 形称为中心对称图形，这个点就是它的对称中心，中心对称图形是一种特殊的旋转对称图形， 常见的中心对称图形有：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、线段、相交直线等．
根据中心对称图形的概念逐项分析判断即可得出答案．
【详解】解：A. 不 是中心对称图形，故选项 A 不符合题意；
B. 不是中心对称图形，故选项 B 不符合题意；
C. 是中心对称图形，故选项 C 符合题意；
D. 不不是中心对称图形，故选项 D 不符合题意； 故选：C．
2 ．D
【分析】本题考查了因式分解．因式分解的定义：把一个多项式分解成几个因式的积的形式， 叫做把一个多项式分解因式，根据完全平方公式、因式分解的定义判断即可．
【详解】解：A 、(m + n)2 = m2 + 2mn + n2 是整式的乘法，不是因式分解，本选项不符合题意；
B、等式的右边不是整式积的形式，不是因式分解，本选项不符合题意； C 、-x3 - x = -x (x2 +1) ，原分解错误，本选项不符合题意；
D 、x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 ，本选项符合题意；
故选：D．
3 ．B
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质， 三角形内角和，解题关键在于熟练掌握垂直平分 线的性质．
根据线段垂直平分线的性质得AD = BD ，根据等腰三角形的性质得到上ABD = 上A = 50° ,根 据三角形的内角和得到上ABC = 70° ,即可得到结论．
【详解】解：: MN 是AB 的垂直平分线， : AD = BD ，
: 上ABD = 上A = 50° ,
: 上C = 60° ,
: 上ABC = 70° ,
:∠CBD = 上ABC -∠ABD = 20° .
故选：B．
4 ．D
【分析】本题考查求不等式的解集和在数轴上表示不等式的解集， 先求出不等式的解集，在 数轴上表示出不等式的解集即可求解．
【详解】解：x +1≤ 3
x ≤ 3 -1
x ≤ 2
在数轴上表示出不等式的解集为：
故选：D．
5 ．A
【分析】本题考查全等三角形性质，三角形内角和定理等．根据题意可知
上1 = 180° - 60° - 80° = 40° ,继而得到本题答案． 【详解】解：:两个三角形全等，
:由题意得：上1 = 180° - 60° - 80° = 40° , 故选：A．
6 ．D
【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角的性质等知识点 ．由平行线的性质得出
Ð 2 = Ð 3 ，由平角的性质得出 上1 = 上2 = 55° ,进而即可得解． 【详解】解：:两块平面镜平行放置，
: AB ⅡCD ，
: Ð 2 = Ð 3 ，
: 上MPN = 70° ,
: 上3 = 上2 = 55° ,
: 上4 = 上3 = 55° , 故选：D．
7 ．A
【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键；
设乙同学的速度是x (m/min ) ，则甲同学的速度为1.1x (m/min ) ，然后分别表示行驶的时间， 最后由“乙同学比甲同学提前7min 到达活动地点”建立方程即可．
【详解】解：设乙同学的速度是x (m/min )，则甲同学的速度为1.1x (m/min )，根据题意得：
故答案为：A．
8 ．C
【分析】本题综合考查了等边三角形的性质与判定， 特殊直角三角形（含30° 锐角）的边与 边的关系要熟练计算．由旋转的性质可知AB = AD ，又因为 Ð B=60° , 可得 △ADB 为等边三 角形，又因为Rt△ABC 中有上C = 30° , 可得出BC = 2AB ，故由已知 算出BC ， AB 相减即可．
【详解】解：由旋转的性质得出 AB = AD ， Q Ð B=60° ,
: △ADB 为等边三角形，
: AB = BD ，
又Q在Rt△ABC 中， Ð B=60° ,则 上C = 30° ,
: BC = 2AB ，
: BC = 2AB ．
Q AC = 6 ，
: AB = 6 ，BC = 12 ，
: CD = BC - BD = BC - AB = 12 - 6 = 6 ， 故选：C．
9 ．60° ##60 度
【分析】此题主要考查了正方形的性质， 三角形内角和定理，三角形的外角性质，等边三角 形的性质，熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质，灵活利用三角形内角和定理及三角 形的外角性质进行角的计算是解决问题的关键．根据正方形和等边三角形的性质得
上BAD = 90°, 上BAC = 45°, AB = AD = AE，上DAE = 60° ,进而得
上BAE = 150°, 上ABE = 上E = 15° ,然后根据 上BFC = 上BAC + 上ABE 即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，
: AB = BC = CD = AD，上BAD = 90°, 上BAC = 45° , Q△ADE 是等边三角形，
: AD = AE = DE，上DAE = 60° ,
: AE = AB，上BAE = 上BAD + 上DAE = 150° ,
:上BFC = 上BAC + 上ABE = 45° + 15° = 60° . 故答案为：60° .
10 ．-2
【分析】本题主要考查了分式值为 0 的条件，准确理解题意是正确解答此题的关键．
根据分式的意义和性质，由分式值为 0 的条件知，分式 ，当 A = 0 时的值为 0，若
分式 的值为 0，需要 x2 - 4 = 0且x - 2 ≠ 0 即可求解．
【详解】解：若分式 的值为 0，得 x2 - 4 = 0且x - 2 ≠ 0 ， 故x = -2 ，
故答案为：-2 ．
11 ．15τ
【分析】本题考查的是圆锥侧面积，勾股定理，掌握圆锥侧面积公式是解题的关键． 根据已知利用勾股定理求出母线的长，根据圆锥侧面积公式求解即可．
【详解】解：∵圆锥的底面半径为 3，高为 4，
由勾股定理，母线 :圆锥侧面积为： τ × 3 × 5 = 15τ .
故答案为：15τ .
12 ．3
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、等边对等角、直角三角形的 性质， 由角平分线的定义可得 上ABD = 上CBD ，由线段垂直平分线的性质可得 AD = BD = 6 ， 从而可得上A = 上ABD ，再结合三角形内角和定理求出上A = 上ABD = 上CBD = 30° , 最后由直 角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵ BD 是Ð ABC 的角平分线，
: 上ABD = 上CBD ，
:点D 在AB 的垂直平分线上， : AD = BD = 6 ，
: 上A = 上ABD ，
: △ABC 中，上C = 90° ,
: 上A + 上ABD + 上CBD = 90° ,
: 上A = 上ABD = 上CBD = 30° ,
: CD = BD = 3 ， 故答案为：3 ．
13 ．60
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，由图得S1 - S2 = m2 - n2 ，由 (m - n)2
= (m + n)2 - 4mn 求出m- n ，即可求解；掌握(m + n)2 、(m - n)2 、mn 之间的关系，能表示 出面积是解题的关键．
【详解】解：由题意得 m2 - S1 = n2 - S2 ，
:S1 - S2
2 2
= m - n
= (m + n)(m - n)，
Q m + n = 10 ，mn = 16 ，
: (m - n)2
= (m + n)2 - 4mn
= 100 - 64
= 36 ，
,
Qm > n
:m - n = 6 ，
:S1 - S2
= 10 × 6
= 60 ；
故答案：60 ．
14 ．(1) 3xy2 (2xy + 5z)
(2)(m -1)(n -1)
【分析】此题主要考查了因式分解，正确找出公因式是解题关键．
（1）直接找出公因式 3xy2 ，进而提取公因式得出答案．
（2）直接找出公因式(n - 1) ，进而提取公因式得出答案． 【详解】（1）解：6x2y3 + 15xy2z
= 3xy2 (2xy + 5z) ；
（2）解：m(n -1) + (1 - n)
= (m -1)(n -1) ．
15 ．见解析
【分析】从A 、B 、C 中选两个分式用“ ÷ ”连接，先将除法转化为乘法（除以一个分式等于 乘以它的倒数），再对分子分母因式分解，约分化简，最后选使原分式有意义（分母不为 0 ） 的x 值代入计算．本题主要考查了分式的乘除运算，熟练掌握分式乘除运算法则（除以一个 分式等于乘以它的倒数，因式分解后约分化简 ）及分式有意义的条件（分母不为 0 ）是解 题的关键．
【详解】解：情形一：选 A ÷ B
Qx2 - 2x +1 = (x -1)2
x 不能取1（使原分式分母为 0 ），当 x =0 时，A ÷ B = 0 +1 = 1；当 x =2 时，
A ÷ B = 2 +1 = 3 ．
情形二：选A ÷C
Q2x - 4 = 2 (x - 2)
x 不能取1 、2 （使原分式分母为0 ），当x = 0 时 ． 情形三：选B ÷ A
Qx2 - 2x +1 = (x -1)2
x 不能取1（使原分式分母为 0 ），当 x =0 时，
当x = 2 时 ．
情形四：选B ÷C
Qx2 - 2x +1 = (x -1)2 ，2x - 4 = 2 (x - 2)
x 不能取1 、2 （使原分式分母为 0 ），当 x =0 时， ． 情形五：选C÷ A
Q2x - 4 = 2 (x - 2)
x 不能取1 、2 （使原分式分母为0 ），当x = 0 时 ．
情形六：选C ÷ B
Q2x - 4 = 2 (x - 2) ，x2 - 2x +1 = (x -1)2
x 不能取1 、2 （使原分式分母为 0 ），当 x =0 时， ．
16 ．(1)见详解，A¢ (-1,1), B ¢ (-4, -3), C ¢ (1, -2)
(2) (a + 3, b + 4)
【分析】本题主要考查了平移的作图，用平移的性质确定点的坐标，求格点三角形的面积， 根据题意得出对应点位置是解题关键．
（1）利用平移的性质，先画出△ABC 三个顶点平移后的位置，再依次连结三个顶点，即得
△A¢B ¢C ¢ ,并可据此得到 △A¢B ¢C ¢ 的顶点坐标；
（2）利用（1）中平移规律，即可得出点 P 的坐标；
（3）如图，分别取格点 M，N，设BC¢ 交 x 轴于点 P，连接PN ，根据S△BC¢N = S△BPN + S△C¢PN 列式求出 得到点 P 的坐标为 ，设点 G 坐标为(m,0)，根据△A¢C ¢G 的面积 为 8 ，得到 然后求解即可．
【详解】（1）解：平移后的 △A¢B ¢C ¢ ,如图所示；
: A¢ (-1,1), B ¢ (-4, -3), C ¢ (1, -2) ；
（2）解：:将△ABC 向左平移 3 个单位长度，再向下平移 4 个单位长度得到 △A¢B ¢C ¢ . △A¢B ¢C ¢ 内部一点P¢ 的坐标为(a , b) ，
:平移前点P¢ 的对应点 P 的坐标为(a +3, b + 4) ；
（3）解：如图，分别取格点 M，N，设 BC¢ 交 x 轴于点 P，连接PN ， : S△BC¢N = S△BPN + S△C¢PN ，
:点 P 的坐标为 设点 G 坐标为(m,0)，
:△A¢C ¢G 的面积为 8，
解得
:点 G 坐标为 或(5, 0)．
17 ．（1）每台A 型打印机的利润为80 元，每台B 型打印机的利润为160 元；（2）当商店购进 A 型号的打印机40 台，B 型号的打印机80 台时，才能使销售总利润最大；（3）综上所述， 商店销售这120 台打印机总利润最大的进货方案为：方案一：当80 < m < 100 时，A 型打印机 都进货50 台，B 型打印机都进货70 台；方案二：当m = 80 时，A 型打印机满足40 ≤ a ≤ 50 的整数；方案三：当0 < m < 80 时，A 型打印机都进货40 台，B 型打印机都进货80 台；
【分析】（1）设每台 A 型和B 型打印机的销售利润分别为x ，y 元，根据等量关系：销售 3 台 A 型打印机的利润+销售 2 台B 型打印机的利润=560 元；销售 1 台 A 型打印机的利润+销 售 4 台B 型打印机的利润=720 元，列出方程组，解方程组即可；
（2）根据题意求得w = -80a +19200 ，根据题中不等关系：A 型打印机数量不少于B 型打印 机数量的一半，求得 a 的取值范围，根据一次函数的增减性，可求得 w 最大时此时 a 的值；
（3）根据题意可得 w = (m - 80)a +19200 ，就 m-80 的取值分三情况种讨论： 0 < m < 80 时，
w 随 a 的增大而减小；m=80 时，w=19200；80 < m < 100 时，w 随 a 的增大而增大，从而可 分别求得此时购进的两种型号的打印机的台数．
【详解】解：（1）设每台 A 型打印机的利润为x 元，每台B 型打印机的利润为y 元， 根据题意得
解得：
:每台 A 型打印机的利润为80 元，每台B 型打印机的利润为160 元．
答：每台 A 型打印机的利润为80 元，每台B 型打印机的利润为160 元．
（2）∵购进 A 型打印机a 台，则B 型打印机数量为（120- a ）台， 由题意得：w = 80a + (120 - a)×160 = -80a +19200 ，
Q -80 < 0 ，
:w 随a 的增大而减小， 即a ≥ 40 ， Q a 是正整数，
:a = 40 时，w 最大
:120 - 40 = 80 （台），
: 当商店购进 A 型号的打印机40 台，B 型号的打印机80 台时，才能使销售总利润最大．
答：当商店购进 A 型号的打印机40 台，B 型号的打印机80 台时，才能使销售总利润最大．
（3）A 形打印机利润为(80+m)元，B 形打印机利润不变，
由题意得：w = (80 + m)a + (120 - a)×160 = (m - 80)a +19200 ， 且40 ≤ a ≤ 50 ，
①当m - 80 > 0 时，即80 < m < 100 时，w 随a 的增大而增大， :a = 50 时，w 最大，此时120 - a = 70 （台），
@当m - 80 = 0 时，即m = 80 时，w = 19200 ，
: 当a 满足40 ≤ a ≤ 50 的整数时，w 最大．
③当m - 80 < 0 时，即0 < m < 80 时，w 随a 的增大而减小， : 当a = 40 时，w 最大，此时120 - a = 80 （台），
综上所述，商店销售这120 台打印机总利润最大的进货方案为：
方案一：当80 < m < 100 时，A 型打印机都进货50 台，B 型打印机都进货70 台；
方案二：当m = 80 时，A 型打印机满足40 ≤ a ≤ 50 的整数即可．
方案三：当0 < m < 80 时，A 型打印机都进货40 台，B 型打印机都进货80 台；
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题 的关键是根据一次函数 a 值的增大而确定 w 值的增减情况，同时注意自变量 a 的取值范围．
18 ．(1)证明见解析
(2) 24
【分析】（1）证明△AEF≌△DEC (AAS) 得AF = CD ，进而得 BD = AF ，即可求证；
（2 ）由平行四边形的性质得S四边形AFBD = 2S△ABD ，由三角形中线的性质得 S△ABC = 2S△ABD ，即 得S四边形AFBD = S△ABC ，进而即可求解；
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，掌握 平行四边形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵ AF ∥ BC ，
: 上EFA = 上ECD ，上EAF = 上EDC ， ∵ E 是AD 的中点，
: EA = ED ，
:△AEF≌△DEC (AAS) ， : AF = CD ，
∵ D 是BC 的中点， : BD = CD ，
: BD = AF ，
又∵BD Ⅱ AF ，
:四边形AFBD 为平行四边形；
（2）解：∵四边形AFBD 为平行四边形，
: S四边形AFBD = 2S△ABD ， ∵ D 是BC 的中点，
: S△ABC = 2S△ABD ，
: S四边形AFBD = S△ABC ，
∵ 上BAC = 90° , AB = 6 ，AC = 8 ，
19 ．(1) 20x ，700 - 20x
秒
(3) 25
(4) y = -2x +100 ，31 ≤ x ≤ 32.5
【分析】（1）先根据等量关系“速度乘时间等于体积”列式即可．
（2）根据（1）求出的温水的体积，开水体积，列不等式求解即可．
（3）根据等量关系“开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度”列出等式，代 入数值，即可求出x 的值．
（4）根据等量关系“开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度”列出等式，代 入数值，即可列出y 关于x 的函数关系式，再根据不等式35 ≤ y ≤ 38 ，代入求解即可．
【详解】（1）解：∵温水水流速度是20ml/s ，
:当从饮水机接温水x 秒时，温水的体积是20xml ，
:再接开水，接满700ml 的水杯时，开水的体积为(700 - 20x)ml ， 故答案为20x ，700 - 20x ．
（2）解：由上可得温水的体积是 20xml ，开水的体积为 (700 - 20x)ml ， 当所接的温水的体积不少于开水体积的2 倍时，
可得20x ≥ (700 - 20x)×2
解得
:则至少应接温水秒．
（3）解：由题意可得，当水杯中温度是 50°C 时，温水的体积是20xml ，开水的体积为
(700 - 20x)ml ，开水降低的温度为100°C - 50°C = 50°C ，温水升高的温度为 50°C - 30°C = 20°C ，
: (700 - 20x)×50 = 20 × 20x
解得：x = 25
（4）解：由题意可得，当水杯中温度是 y°C 时，温水的体积是20xml ，开水的体积为 (700 - 20x)ml ，开水降低的温度为100°C -y °C ，温水升高的温度为 y°C - 30°C ，
: (700 - 20x)× (100 - y ) = (y - 30)×20x
解得：y = -2x +100
若要使杯中温度达到最佳水温时35°C ~ 38°C ， 则有35 ≤ y ≤ 38
代入y = -2x +100 ，可得 31≤ x ≤ 32.5 ， 故答案为y = -2x +100 ，31 ≤ x ≤ 32.5
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用、代数式、 一次函数的实际应用、一元一次不 等式的应用等知识点，正确列出关系式是解题的关键．
20 ．（1）①60° ；@ S1 = S2 ；（2）见解析；（3）30° 或90°
【分析】（1）①根据上DCE = 90° , 上DEC = 30° ,求出结果即可；
@根据旋转的性质可得AC = CD ，然后得出 △ACD 是等边三角形，根据等边三角形的性质 可得上ACD = 60° ,然后证明 DE Ⅱ AC ；根据等边三角形的性质可得 AC = AD ，再根据直角 二角形30° 角所对的直角边等干斜氻的一半求出 ，然后求出 AC = BD = AD ，则 S△BDC = S△ADC ；由 DE∥AC ， △ADC 的面积和 △AEC 的面积相等，从而得到S1 与S2 的数量 关系为相等；
（2）根据旋转的性质可得 BC = CE ，AC = CD ，再求出 上ACN = 上DCM ，然后利用“角角 边”证明△ACN和 △DCM 全等，根据全等三角形对应边相等可得AN = DM ，然后利用等底 等高的三角形的面积相等即可证明；
（3）过点 D 作DF1 Ⅱ BE ，连接CF1 ，证明 S△DCF1 = S△BDE ，得出此时点F1 符合题意，求出 ∠BDF1 = ∠DBE = 30° ；过点D 作DF2 丄 BD ，证明 △CDF1 ≌△CDF2 (SAS)，得出S△DCF1 = S△DCF2 ，
说明S△DCF2 = S△BDE ，点F2 也是所求的点，求出结果即可． 【详解】解：（1）①: 上DCE = 90° , 上DEC = 30° ,
: 上EDC = 90° - 30° = 60° ;
故答案为：60° ;
② Q△DEC 绕点C 旋转，点D 恰好落在AB 边上，
: AC = CD ，
Q 7BAC = 90° -7B = 90° -30° = 60° , :△ACD 是等边三角形，
:上ACD = 60° , AD = CD = AC ，
Q 上CDE = 上BAC = 60° , :上ACD = 上CDE ，
: DE Ⅱ AC ，
Q 上B = 30° , 上ACB = 90° ,
\ BD = AD = AC ，
: S△BDC = S△ADC ； : DE∥AC，
: △ADC 的面积和 △AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，
:△BDC 的面积和 △AEC 的面积相等，
: S1 = S2 ；
故答案为：相等；
（2）证明：如图，过点 D 作DM 丄 BC 于点 M，过点 A 作AN 丄 CE 交EC 延长线于点N ， Q△DEC 是由VABC 绕点 C 旋转得到，
:BC = CE ，AC = CD ，
Q 上ACN+ 上BCN = 90° , 上DCM + 上BCN = 180° - 90° = 90° ,
:上ACN = 上DCM ，
在△ACN和△DCM 中，
:△ACN≌△DCM (AAS) ，
: AN = DM ，
:△BDC 的面积和 △AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)， : S1 = S2 ；
（3）如图，过点 D 作DF1 Ⅱ BE ，连接CF1 ，
∵ DE Ⅱ AB ，
: 四边形BEDF1 是平行四边形， : BE = DF1 ，
∵ BE Ⅱ DF1 ，
: BE 、DF1 上的高相等， : S△DCF1 = S△BDE ，
:此时点F1 符合题意，
Q BD 是Ð ABC 的平分线， :上ABD = 上DBE = 30。，
∵ BE Ⅱ DF1 ，
:∠BDF1 = ∠DBE = 30。；
如上图，过点D 作DF2 丄 BD ，
Q 上ABC = 60。，BE Ⅱ DF1 ，
:上F2F1D = 上ABC = 60。，
∵∠F1BD = 30。， ∠BDF2 = 90。， : 上BF2D = 60。，
:上DF1F2 = ∠BF2D = 60。， :△DF1F2 是等边三角形，
: DF1 = DF2 ，上F1DF2 = 60。，
Q BD = CD ，
: 上DBC = 上DCB = 30。，
∵ BE Ⅱ DF1 ，
:上CDF1 = 180。- 上BCD = 180。- 30。= 150。，
: Ð CDF2 = 360。-150。- 60。= 150。，
: Ð CDF1 = Ð CDF2 ，
Q在 △CDF1 和VCDF2 中，
ï
ìDF1 = DF2
í上CDF1 = 上CDF2 ， ïlCD = CD
:△CDF1 ≌△CDF2 (SAS)，
QS = S
△DCF1 △DCF2 ，
: S△DCF2 = S△BDE ，
: 点F2 也是所求的点，
此时∠BDF2 = 90。；
综上，上BDF 的度数为30。或90。．
【点晴】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定和性质， 直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助 线是解决此题的关键．