2024-2025学年广东省深圳市深圳高级中学[集团]八年级下学期期末数学检测试卷

这是一份2024-2025学年广东省深圳市深圳高级中学[集团]八年级下学期期末数学检测试卷，共44页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
下学期期末数学试卷
注意事项：
1 ．答题前，考生务必将在答题卡写上姓名、班级，准考证号用 2B 铅笔涂写在 答题卡上．
2 ．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需 改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上．
3 ．考试结束，监考人员将答题卡收回．
一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分）
1 ．我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志是中心对称图形的是( )
A ． B ． C ． D．
2 ．在平面直角坐标系中，已知线段AB 的两个端点分别是A(-4, -1), B (1,1)，将线段 AB 平 移后得到线段A¢B¢ ,若点 A¢ 的坐标为(-2, 2) ，则点 B¢ 的坐标为( )
A ．(-1, -2) B ．(-1, 4) C ．(3, -2) D ．(3, 4)
3 ．如图，在 □ABCD 中，上A = 2上D ，则 ÐB 的度数为( )
A ．60° B ．55° C ．50° D ．45°
4 ．如图， △DBE 是由△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转40° 得到的．若AB 丄 DE ，则 Ð A 的 度数为( )
A ．50° B ．45° C ．40° D ．30°
5 ．如图，直线y = kx + b (k < 0) 经过点A(3,1) ．当kx + b < x 时，x 的取值范围为( )
A ．x < 0 B ．x < 3 C ．x > 3 D ．x < 1
6 ．如图，在正六边形ABCDEF 中，P，Q 分别是边AB，BC 的中点，连接PQ ，则的值 为( )
A ． B ． C ．1 D ．
7 ．已知关于x 的方程的解是非负数，则a 的取值范围是( )
A ．a ≤ -2 B ．a ≤ -2 且a ≠ -4 C ．a ≥ -2 D ．a ≥ -2 且a ≠ 0
8 ．如图 1 是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆 连接，转动手柄可改变AC 的长度（菱形的边长不变）．从而改变千斤顶的高度（即 B，D 之 间的距离）．在手柄转动过程中，千斤顶的高度y(cm) 随AC 的长度x (cm) 的变化规律如图 2 所示，则图 2 中从点M 到点N ，千斤顶下降的高度为( )
A ．8cm B ．4cm C ．6cm D ．9cm
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分）
9 ．分解因式：x3 - xy2 = ．
10 ．定义一种新运算：a☆b ，若 m☆2 = 0 ，则 m = ．
11 ．如图，若菱形ABCD 的顶点 A ，B 的坐标分别为(3, 0), (-2, 0) ，点 D 在y 轴的正半轴上， 则点 D 的坐标是 ．
12 ．如图，在四边形ABCD 中对角线AC ^ BD ，E、F 分别是AB、CD 的中点．若 AC = 4cm ，BD = 6cm ，则 EF = cm ．
13 ．如图，在 △ABC 中, AB = 3, BC = 4, AC = 5 ，将△ABC 绕BC 边的中点O 逆时针旋转得到
△DEF ，顶点 E 落在AC 边，DF 边交AC 边于点G ，连接CF ，则△CFG 的面积为 ．
三、解答题（本大题共 7 个小题，共 61 分）
14 ．解不等式组 把它的解集表示在数轴上．
15 ．下面是小华化简分式 的过程：
(1)小华的化简过程从第______步开始出现错误；
(2)请你写出正确的化简过程，并从 2 ，3 ，4 ，5 中选择一个合适的数代入求值．
16．△ABC 在平而直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为 1 个单位长度．
(1)平移△ABC ，点 A 的对应点A1 的坐标为(1, -5) ，作出平移后对应的△A1B1C1 ；
(2)将△ABC 绕点C 逆时针方向旋转90° 得到 △A2B2 C ，按要求作出图形；
(3)若上述 △A2B2 C 通过旋转可得到△A1B1C1 ，则旋转中心 P 的坐标为______．
17 ．老师布置了一道思考题：“尺规作图：过直线AB 外一点 P 作这条直线的平行线，”小亮
解：原式 第一步 第二步
第三步
的作法如下：如图，在直线AB 上任取一点 C，以点 C 为圆心，CP 的长为半径画弧交AB 于 点 D，再分别以点 P ，D 为圆心，CP 的长为半径画弧，两弧交于点 E，作直线 PE ，则
PE P AB ．
(1)请判断小亮的作法是否正确，并说明理由．
(2)连接PD, CE ，交点为 O ，若 PC = 5 ，PD = 6 ，求点 P 到直线AB 的距离．
18 ．下面是小轩学习“分式方程的应用”后所作的学习笔记，请认真阅读并解答相应的问题．
(1)解法一所列方程中的x 表示______，解法二所列方程中的x 表示______ ．（填序号）
①甲种图书的单价；②乙种图书的单价；③甲种图书购买的数量．
(2)请选择一种解法，求出甲、乙两种图书的单价．
(3)若该校用不超过 2500 元钱购买甲、乙两种图书共 60 本且进行销售，甲种图书的售价为 65 元一本，乙种图书的售价为 40 元一本，那么甲乙两种图书各购进多少本时获利最多？最
大利润是多少元？
19．定义：对于平面直角坐标系xOy 中的点P (a, b) 和直线y = ax + b ，我们称点P (a, b) 是直线 y = ax + b 的“友谊点”，直线 y = ax + b 是点P (a, b) 的“友谊直线” ．特别地，当a =0 时，直线 y = b （b 为常数）的“友谊点”为P(0, b)．
题目，某校准备购买甲、乙两种图书， 甲种图书的单价比乙种图书的单价多 20 元，用 2000 元购买甲种图书和用 1200 元购买乙种图书的数量相同．问甲、乙两种图书的单价各是多少 元？
方法
分析问题
列出方程
解法一
设．．．．．．，等量关系：甲图书数量＝乙图书数量
2000 1200
解法二
设．．．．．．，等量关系：甲图书单价- 图书单价= 20
2000 1200
-
x x
(1)已知点A(-2, -2), B (4, -2)，则点 A 的“友谊直线”的解析式为______________；直线 AB 的 “友谊点”的坐标为_________________；
(2)P, Q 两点关于x 轴对称，且点P 的“友谊直线”y = kx + b (k ≠ 0) 经过点Q 和点M(1, 2 + b)， 求该直线的解析式；
(3)直线l : y = (m -1)x + 2m - 5(m ≠ 1) 不经过第二象限，P 为直线l 的“友谊点”．
①若m 为整数，求点P 的坐标；
@直线l 与x 轴，y 轴分别相交于A, B 两点，OA = 4 ，N 为平面内一点，当以A, B, P, N 为 顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点N 的坐标．
20 ．四边形ABCD 是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 【探究发现】
（1）如图 1，小明将 △ABE 沿AE 翻折得到 △AB ¢E ，点 B 的对应点B¢ ,将纸片展平后，连 接BB¢ 并延长交边CD 于点 F，小明发现折痕 AE 与BF 存在特殊的数量关系，数量关系为 ________；
【类比探究】
（2）如图 2，小明继续折纸，将四边形ABEG 沿GE 所在直线翻折得到四边形A¢B ¢EG ，点 A 的对应点为点A¢ , 点 B 的对应点为点B¢ , 将纸片展平后，连接BB¢ 交边CD 于点 F，请你猜 想线段AG ，CE ，DF 之间的数量关系并证明；
【拓展延伸】
（3）在（2）的翻折过程中，正方形 ABCD 的边长为 9．
①如图3，若线段 A¢B¢ 恰好经过点 D ，CF = 3 ，求CE 的长，
@如图 4，若 F 为CD 中点，连接BG ，EF ，直接写出 BG + EF 的最小值．
1 ．D
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可： 把一个图形绕着某一个点旋转180° ,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个 图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A ．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B ．不中心对称图形，故此选项不符合题意；
C ．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D ．是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D．
2 ．D
【分析】本题考查直角坐标系中点的平移规律， 熟练掌握点在平移过程中的规律：横坐标右 加左减，纵坐标上加下减，是解题的关键．
先由A(-4, -1) 平移后的坐标为A¢ (-2, 2) 得到平移的过程为：向右平移了 2 个单位长度，向 上平移了 3 个单位长度，从而即可得到B¢ 的坐标．
【详解】解：∵ A(-4, -1) 平移后的坐标为A¢ (-2, 2) ，
:线段的平移过程为：向右平移了2 个单位长度，向上平移了 3 个单位长度， :点B¢ 的坐标为(1+ 2,1+ 3)，即B¢ (3, 4) ，
故选：D．
3 ．A
【分析】本题考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．根据题意得到 AB P CD, AD P BC ，推出上A + 上D = 180°, 上A + 上B = 180° ,进而得到 上B = 上D ，再结合
上A = 2上D ，求出 上D 即可得到结果．
【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形， : AB P CD, AD P BC ，
: 上A + 上D = 180°, 上A + 上B = 180° , : 上B = 上D ，
∵ 上A = 2上D ，
: 上A + 上D = 3上D = 180° , : 上D = 60° ,
: Ð B=60° .
故选：A．
4 ．A
【分析】本题考查了旋转性质， 全等三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握 相关性质内容是解题的关键．先由旋转得 △DBE≌△ABC, ÐDBA = Ð CBE = 40° , 则上A = 上D ， 因为AB 丄 DE ，所以 上DBA + 上D = 90° ,代入计算，即可作答．
【详解】解：: △DBE 是由△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转40° 得到的， : △DBE≌△ABC, ÐDBA = Ð CBE = 40° ,
: 上A = 上D ， : AB 丄 DE ，
: 上DBA + 上D = 90° ,
: Ð A = 上D = 90° - 40° = 50° , 故选：A．
5 ．C
【分析】本题考查一次函数图象与一元一次不等式，利用图象法进行求解，判断即可． 解：对于 当x = 3 时，y = 1，
:直线y = x 经过点A(3,1) ，
:直线y = kx + b (k < 0) 经过点A(3,1) ，
:点A(3,1) 为直线y = kx + b (k < 0) 和直线 的交点，
由图象可知：当 的取值范围为x > 3 ；
故选 C．
6 ．A
【分析】连接AC ，过点 B 作BH丄 AC ，设正六边形的边长为 a，求出 由等腰 三角形的性质得到AC = 2AH = a，由 P，Q 分别是边AB，BC 的中点得到
即可得到答案．
【详解】解：如图，连接 AC ，过点 B 作BH丄 AC ，设正六边形的边长为 a，
∵六边形ABCDEF 是正六边形， : BC = AB = a ，
上上ABH = 上上ABC 在正六边形中，上FED = 上
∵ P，Q 分别是边AB，BC 的中点，
故选：A
【点睛】此题考查了正多边形的性质、含30° 角的直角三角形的性质、三角形中位线定理、 勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，求出AH 的长度是关键．
7 ．D
【分析】本题主要考查了解分式方程的知识，首先解分式方程 得到x = a + 2 ， 根据解为非负数以及x - 2 ≠ 0 ，即可确定a 的取值范围．
解 移项，得 ，
两边同时乘以x - 2，得 a = x - 2 ， 解得 x = a + 2 ，
根据题意，x = a + 2 为非负数，即a + 2 ≥ 0 ，解得 a ≥ -2 ， 又因为x - 2 ≠ 0 ，即 x ≠ 2 ，
将其代入x = a + 2 ，得 a + 2 ≠ 2 ，解得 a ≠ 0 ， 所以，a 需同时满足a ≥ -2 且a ≠ 0 ．
故选：D．
8 ．A
【分析】本题考查了菱形的性质、函数的图象、勾股定理， 从函数的图象获取信息是解题的 关键．连接BD 交AC 于点 O，由图象可知，当 AC = 30cm 时，BD = 40cm ，利用菱形的性 质计算出菱形的边长，再计算出当AC = 14cm 时BD 的长，即可得出 a 的值．
【详解】解：如图，连接 BD 交AC 于点 O，
Q 四边形ABCD 是菱形，
: AC 丄 由图象可知，当AC = 30cm 时，BD = 40cm ，
此时AO = 15cm ，DO = 20cm ，
当AC = 14cm 时，AO = 7cm ，
:BD = 2DO = 48cm ，
:a = 48 ．
则48 - 40 - 8(cm)
故选：A．
9 ．x (x + y )(x - y )
【分析】本题考查了因式分解， 掌握提公因式法和公式法是解题关键．先提公因式x ，再利 用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：x3 - xy2 = x (x2 - y2 ) = x (x + y)(x -y )， 故答案为：x (x + y )(x -y ) ．
10 ．6
【分析】本题考查了新定义运算， 解分式方程，根据题意列出分式方程，解分式方程即可求 解，理解新定义运算是解题的关键．
【详解】解：由题意得 方程两边乘以m (m - 2)，得3(m - 2) - 2m = 0 ， 解得m = 6 ，
检验：当m = 6 时，m (m - 2) = 6 × 4 = 24 ≠ 0 ， : m = 6 是原方程的解，
故答案为：6 ．
11 ．(0, 4)
【分析】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，根据题意可得 AB = 5 ， OA = 3 ，由菱形的性质可得 AD = AB = 5 ，再由勾股定理求出OD 的长即可得到答案．
【详解】解：:点A ，B 的坐标分别为(3, 0), (-2, 0) ， : AB = 3 - (-2) = 5 ，OA = 3 ，
:四边形ABCD 是菱形， : AD = AB = 5 ，
:点 D 在y 轴的正半轴上， : D (0, 4) ，
故答案为：(0, 4) ．
12 ．、
【分析】本题考查的是三角形中位线定理的应用， 三角形的中位线平行于第三边，且等于第 三边的一半．取BC 的中点 H，连接EH 、FH ，根据三角形中位线定理求出EH 、FH ，根 据勾股定理计算即可．
【详解】解：取 BC 的中点H ，连接 EH 、FH ，如图所示：
QE 、F 分别是AB 、CD 的中点，
Ⅱ ∵ AC 丄 BD ，
:上EHF = 90° ,
故答案为： 、 ．
13 ．
【分析】本题考查了勾股定理逆定理， 旋转的性质，矩形的判定和性质，掌握以上知识，数 形结合，合理作出辅助线是关键．
根据勾股定理逆定理得到 △ABC 是直角三角形，上ABC = 90° ,根据旋转的性质，矩形的判 定得到平行四边形BECF 是矩形，根据S矩形
【详解】解：∵ AB = 3, BC = 4, AC = 5 ， : AB2 + BC2 = 32 + 42 = 25 = 52 = AC2 ， : △ABC 是直角三角形，上ABC = 90° , ∵点O 是BC 中点，
: OB = OC ∵旋转，
:
EF = BC = 4, ED = AB = 3, DF = AC = 5, 上DEF = 上ABC = 90°, 上DFE = 上BAC, OB = OE, OC = OF
,
: OB = OE = OC = OF ， : 上OEC = 上OCE ，
又上OCE = 上DFE ， : 上OEC = 上DFE ， : GE = GF ，
: 上OEC + 上DEG = 90°, 上D + 上DFE = 90° , : 上GED = 上D ，
: GE = GD ，
: GF = GE = GD ，且 上DEF = 90° , :点G 是DF 中点，
如图所示，连接BE, BF ，
:四边形BECF 是平行四边形， 又BC = EF ，
:平行四边形BECF 是矩形，
: CE = BF ，上BEC = 上ECF = 上CFB = 上EBF = 90° ,即 BE 丄 AC ，
192 171 21
: S△CFG = S矩形BECF - S梯形BEGF = 25 - 25 = 25 ，
: S矩形BECF 形
故答案为： ．
14 ．-1 ≤ x < 3，图见解析
【分析】根据大大取大，小小取小，小大大小中间找，大大小小无解找，解答即可． 本题考查了不等式组解集的解法，熟练掌握解不等式组是解题的关键．
解 解不等式①得：x < 3 ，
解不等式②得：x ≥ -1，
:不等式组的解集为-1≤ x < 3， 在数轴上表示为：
15 ．(1)二
(2) x + 2 ，7
【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则．
（1）根据小华的解答过程及小华的化简过程从第二步开始出现错误，即可得出结果；
（2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，选择一个使分式有意义的值，代入 计算即可．
【详解】（1）解：小华的化简过程中，小华的化简过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二；
解
= x + 2 ，
: x - 2 ≠ 0, x - 3 ≠ 0, x + 2 ≠ 0 ， : x ≠ 2, x ≠ 3, x ≠ -2 ，
当x =5 时，原式= 7 ．
16 ．(1)见详解
(2)见详解
(3)(-1, -5)
【分析】本题考查画平移图形，画旋转后图形，确定旋转中心位置等．
（1）根据题意先将A, B, C 三点坐标列出，再根据A1 的坐标为(1,-5) ，利用平移性质得出B1 , C1 坐标，并在图中找出点坐标连接继而得到图形；
（2）先将 AC 逆时针旋转后线段画出，再将BC 逆时针旋转后线段画出，连接A2B2 即可；
（3）依次连接 △A2B2 C 和A1B1C1 中的对应点，再作出对应点连线的垂直平分线即可得到交点
即为旋转中心．
【详解】（1）解：由图可知，A(-5,1), B(-4, 4), C(-1,1) ， :点A1 的坐标为(1,-5) ，
:B1 (2, -2), C1 (5,-5) ，
将A1, B1 (2, -2), C1 (5, -5) 依次连接，如下图所示：
（2）解：先将AC 逆时针旋转90° 后线段画出，再将BC 逆时针旋转90° 后线段画出，连接A2B2
即可，如下图所示：
（3）解：依次连接 △A2B2 C 和△A1B1C1 中的对应点，再作出对应点连线的垂直平分线即可得 到交点即为旋转中心，如下图所示：
:旋转中心P 的坐标为(-1, -5) ，
故答案为：(-1, -5) ．
17 ．(1)正确，见解析
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据作图可证明四边形CPED 是菱形，则PE P AB ；
（2）根据菱形得到对角线互相垂直，对角线互相平分，由勾股定理求出CO ，即可得到 CE ，设点 P 到直线AB 的距离为h ，然后由面积法得到 即可求解． 【详解】（1）解：小亮的作法正确，理由如下：
连接DE ，
由题意可得：CP = CD = PE = DE ， :四边形CPED 是菱形，
: PE P AB ；
（2）解：如图，
∵四边形CPED 是菱形，
: PD 丄 CE ，CE = 2CO, PD = 2PO ，CD = CP = 5 ， ∵ PD = 6 ，
: PO = 3 ，
: CE = 8 ，
设点 P 到直线AB 的距离为h ， 则CD× h = CE × PD ，
:点 P 到直线AB 的距离为 ．
18 ．(1)①; ③
(2)答案不唯一，见解析
(3)购买甲种图书种 35 本，购买乙种图书 25 本时，最大利润为 775 元
【分析】本题考查的是分式方程的应用， 一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题 意，列出不等式和函数解析式是解题关键．
（1）根据等量关系中代数式的含义可得答案；
（2）分别选择两个方程求解即可得到答案；
（3）设甲种图书购买的数量为 m 本，则乙种图书购买的数量为(60 - m) 本，根据题意列出 不等式确定m ≤ 35 ，再由一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：解法一所列方程中的x 表示甲种图书的单价，解法二所列方程中的x 表示 甲种图书购买的数量．
故答案为：①; ③;
（2）解：解法一
方程两边同乘x(x - 20) ，得2000(x - 20) = 1200x ， 解得x = 50 ，
经检验：x = 50 是原方程的解，且符合题意， :x - 20 = 50 - 20 = 30 ，
答：甲、乙两种图书的单价分别为 50 元、30 元； 解法二
方程两边同乘x ，得 2000 -1200 = 20x ， 解得x = 40 ，
经检验：x = 40 是原方程的解，且符合题意，
答：甲、乙两种图书的单价分别为 50 元、30 元；
（3）解：设甲种图书购买的数量为 m 本，则乙种图书购买的数量为(60 - m) 本， 根据题意得50m +30(60 - m) ≤ 2500 ，
解得m ≤ 35
设总获利为w 元，
则w = (65 - 50)m + (40 - 30)(60 - m) = 5m + 600 ， Q 5 > 0 ，
:w 随m 的增大而增大，
: 当m = 35 时，w 最大为 775 元， 此时60 - m = 25 ，
答：购买甲种图书种 35 本，购买乙种图书 25 本时，最大利润为 775 元．
19 ．(1) y = -2x - 2 ；(0, -2)
(2) y = 2x - 2
(3)①点P 的坐标为(1, -1) ； ② 点N 的坐标为 或 或
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质，正确理解题意是解题的 关键．
（1）根据定义可得点 A(-2, -2) 的“友谊直线”的解析式为y= -2x - 2 ，再根据 A 、B 坐标可 得直线AB 的解析式为y= -2 ，则直线 AB 的“友谊点”的坐标为(0, -2) ．
（2）利用待定系数法得到直线解析式为 y = 2x + b ，则 P 的坐标为(2, b) ，点Q 的坐标为 (2, -b) ，据此利用待定系数法求解即可；
ì m -1 > 0
（3）①根据直线l 不经过第二象限，得到 íl2m - 5 < 0 ，则m 的值为 2，由定义可得P 的坐标 为(m -1, 2m - 5)，则点 P 的坐标为(1, -1) ．
②求出点B 的坐标为(0, 2m - 5) ，点 A 的坐标为 根据OA = 4 ，得到 则
再分当AB 为对角线时，，当 AP 为对角线时，当AN 为对角线 时， 三种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，点 A(-2, -2) 的“友谊直线”的解析式为y = -2x - 2 ， : A(-2, -2), B (4, -2)，
:直线AB 的解析式为y = -2 ，
:直线AB 的“友谊点”的坐标为(0, -2) ．
（2）解：将(1, 2 + b) 代入y = kx + b ，得 2 + b = k + b ，解得 k = 2 ， :直线解析式为y = 2x + b ，
根据定义，y = 2x + b 的“友谊点”P 的坐标为(2, b) ， : P, Q 两点关于x 轴对称，
:点Q 的坐标为(2, -b) ，
将(2, -b) 代入y = 2x + b ，得 -b = 2 × 2 + b ， 解得b = -2 ，
:直线的解析式为y = 2x - 2 ．
（3）解：①:直线l 不经过第二象限，
ì m -1 > 0
: í ,
l2m - 5 ≤ 0 解得1< m ≤ ,
又: m 为整数， : m 的值为 2，
根据题意，直线l 的“友谊点”P 的坐标为(m -1, 2m - 5)， :点P 的坐标为(1, -1) ．
②当x = 0 时，y = 2m - 5 ， :点B 的坐标为(0, 2m - 5) ，
当y = 0 时，即(m -1)x + 2m - 5 = 0 ，
解得
( 5 - 2m ö
:点A 的坐标为 çè m - 1 , 0,÷ ,
:直线l 不经过第二象限，
: í ,
ì m -1 > 0
l2m - 5 < 0
5 - 2m
: > 0 ，
m -1
: OA = 4 ，
解得
当AB 为对角线时，则
( 7 ö
∴点 N 的坐标为çè2 , 0,÷ ;

( 9 ö
∴点 N 的坐标为çè2 , 0,÷ ;

( 7 ö
∴点 N 的坐标为çè - 2 , -4,÷ ;
( 9 ö ( 7 ö ( 7 ö
综上所述，点N 的坐标为 çè2 , 0,÷ 或 çè2 , 0,÷ 或 çè - 2 , -4,÷ .
20 ．（1）AE = BF ；（2）AG + CE = DF ；（3）①2；②
【分析】（1）由“十字架”模型可证 △ABE≌△BCF (ASA ) ，进而得解；
（2）先证 上BME = 90° ,再利用“十字架”模型构造全等，过点 G 作GN 丄 BC ，易证
△BCF≌△GNE (ASA )，进而得解；
（3）①过点 D 作DP 丄 GE ，先证四边形 PBFD 是平行四边形，得PB = DF = 6 ，再分别利 用勾股定理表示出PE2 = DE2 ，从而建立方程求解即可；
②构造平行四边形AKEG ，可得 AG = EK ，易证 △ABK≌△BCF (ASA )，可得
,过 K 作KH 丄 BC 于点 K，且 KH = AB ，证 △BAG≌△HKE (SAS) ，得到 BG = HE ，所以 BG + EF = HE + EF ≥ HF ，当且仅当 H、E、F 依次共线时，取等，据此求 解即可．
【详解】（1）如图，
由题可知AE 垂直平分BB¢ , : 上AMB = 90° ,
在正方形ABCD 中，AB = BC ，上ABC = 上C = 90° ,
: 上BAE = 上CBF = 90° - 上ABM ， :△ABE ≥ △BCF (ASA )，
: AE = BF ；
故答案为：AE = BF ．
（2）AG + CE = DF ；
证明：∵四边形ABCD 是正方形，
: 上A = 上ABC = 上C = 90° , AB = BC = CD ， ∵翻折，
: GE 丄 BF ，
: 上BME = 90° ,
过点 G 作GN丄 BC ，垂足为点 N，
: 上GNB = 上GNE = 90° ,
: 上NGE + 上GEN = 90° , 上MBE + 上MEB = 90° , : 上NGE = 上MBE ，
∵ 上A = 上ABC = 上GNB = 90° , :四边形ABNG 是矩形，
: AG = BN ，AB = GN ， : BC = GN ，
又∵ 上NGE = 上MBE ，上C = 上GNE = 90° , : △BCF≌△GNE (ASA )，
: NE = CF ，
: BC - NE = CD - CF ，即 BN+ CE = DF ， : AG + CE = DF ．
（3）①设CE = x ，
∵正方形ABCD 的边长为 9 ，CF = 3 ，
: CD = 9 ，DF = CD - FC = 6 ，BE = BC - CE = 9 - x ，
过点 D 作DP 丄 GE ，垂足为 H，交线段 AB 于点 P，连接PE ，DE ．
∵四边形ABEG 沿GE 所在直线翻折得到四边形A¢B ¢EG ，线段 A¢B 经过点 D， :D ，P 关于直线GE 对称，上PHE = 90° ,
: GE 垂直平分DP ，
: PE = DE ，
∵由（2）得 上BME = 90° , 上ABC = 上C = 90° ,
: 上PHE = 上BME = 90° ,
: PDⅡBF ，
∵四边形ABCD 是正方形， : AB∥CD ，
:四边形PBFD 是平行四边形， : PB = DF = 6 ，
在Rt△PBE 中，上PBE = 90° ,
:根据勾股定理，PB2 + BE2 = PE2 ， 在Rt△DCE 中，上C = 90° ,
:根据勾股定理，DC2 + CE2 = DE2 ， 又∵PE = DE ，
: 62 + (9 - x )2 = x2 + 92 ， 解得x = 2 ，
答：CE 的长为 2．
②如图，过 A 作AK Ⅱ EG 交BC 于点 K，
∵ AG∥EK ，
:四边形AKEG 是平行四边形， : AG = EK ，
过 K 作KH丄 BC 于点 K，且 KH = AB ， : 上BAG = 上HKE = 90° ,
: △BAG≌△HKE (SAS) ，
: BG = HE ，
: BG + EF = HE + EF ≥ HF ，当且仅当 H、E、F 依次共线时，取等，
过 H 作HN 丄 DC ，交DC 延长线于点 H，则四边形 CKHN 是矩形， : HN = CK ，CN = AB = 9 ，
:F 是CD 中点，
由（2）中方法可证 △ABK≌△BCF (ASA )，
在Rt△FNH 中
即BG + EF 的最小值为 ．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性 质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．