2024-2025学年广东省深圳实验学校下学期期末考试八年级数学检测试卷

这是一份2024-2025学年广东省深圳实验学校下学期期末考试八年级数学检测试卷，共34页。
年级
数学试卷
考试时间：90 分钟 试卷满分：100 分
一．选择题（共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
1 ．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A ．圆 B ．等腰三角形 C ．平行四边形 D ．菱形
2 ．如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线分别交 AB 、BC 于点 D 、E，连接 AE，若 AE ＝4， EC＝2，则 BC 的长是( )
A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
3 ．如图，在 △ABC 中，AB = AC ，上BAC = 130° , DA 丄 AC ，则∠ADB = ( )
A ．100° B ．115° C ．130° D ．145°
4．如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出 Cbb 角上O 的大小，需将上O 转化 为与它相等的角，则图中与上O 相等的角是( )
A ．上BEA B ．上DEB C ．上ECA D ．上ADO
ì2x -1 < 5
l x < m +1
5 ．若关于 x 的不等式组 í 的解集为x < 3 ，则 m 的取值范围是( )
A ．m>2 B ．m ≥ 2 C ．m < 2 D ．m ≤ 2
6 ．如图，将 ΔABC 向右平移2cm ，得到 ΔDEF ，若 ΔABC 的周长为18cm，则四边形 ABFD 的周长是( )
A ．20cm B ．22cm C ．24cm D ．26cm
7 ．如图，点 E 为。ABCD 的对角线BD 上一点，DE = 1, BE = 5 ，连接AE 并延长至点 F，使 得AE = EF ，则CF 为( )
A ．3 B ． C ．4 D ．
8 ．同一平面内，有 6 个不同的点： A、B 、C、D、E、F，点 B 在线段AC 上，点 E 在线段 DF 上，若 ，则对于结论：① BE Ⅱ CF ，② AE Ⅱ BF ，③ DB Ⅱ EC ，下列四个 选项一定正确的是( )
A ．① B ．②③
C ．①②③ D ．四个结论都不一定正确
二．填空题（共 5 小题，每小题 3 分，共 15 题）
9 ．因式分解：x2 - 4y2 = ．
10 ．1970 年墨西哥“世界杯”使用的足球采用了不同以往的革命性构造设计，至今仍是各种 足球的原型．其由32 块手缝嵌面组成（12 块黑色的正五边形和20 块白色的正六边形），这 种构造使足球拥有更浑圆更完美的外形，如图是其侧面展开图局部，则图中上a度数为
°
.
11 ．如图，在边长为 4 的等边三角形ABC 中，AD 是中线，将DA 绕点D 顺时针旋转60。得 到DE ，连接 BE ，则S△BDE = ．
12 ．如图，ABCD 是一个正方形花园，E，F 是它的两个门，且DE = CF ，现准备修建两条 观光小路BE 和AF ，若小路BE 长 10 米，DE = 2AE ，则CF 的长度为 米（结果保留根 号）．
13 ．如图，在Rt△ABC 中 上ABC = 90。，点E 在边 BC 上且BE = 3 ， CE = 2AB ，连接 AE ， 将 △ABE 沿AE 进行折叠，点B 的对应点为点F ，点D 是AC 的中点，连接BD ，当BD∥EF 时，AB = ．
三．解答题（共 7 小题，共 61 分）
14 ．先化简(çè 1- - ö,÷ ÷ ,再从1, 2, -3 中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．
15 ．嘉嘉与淇淇两位同学解方程3(x - 3) = (x - 3)2 的过程如下：
(1)嘉嘉的解法_______；淇淇的解法_______ ；（填“正确”或“不正确”）
(2)请你选择合适的方法尝试解一元二次方程4x (2x +1) = 3 (2x +1)．
16 ．如图，在正方形网格中，点A、B、A1 都在格点上．
(1)平移线段AB ，使点 A 与点A1 重合，画出线段A1B1 ；
(2)连接 AA1、BB1、AA1 与BB1 的位置关系是______、数量关系是______；
(3)若每个小正方形边长为1，线段 AB 扫过的面积是______．
17．2024 年 11 月 12 日，第 15 届中国国际航空航天博览会在珠海盛大开幕．在博览会的热 烈氛围中，某航模小组对其中A、B 两种新款无人机模型产生了浓厚的兴趣和购买欲望，于 是他们前往模型商店进行咨询并了解到以下信息：
① A 型无人机模型的单价比B 型贵 800 元；
@用 12000 元购买A 型无人机模型的数量与用 8000 元购买B 型无人机模型的数量相同．
(1)求A 型和B 型无人机模型的单价各是多少元？
(2)若航模小组现有资金 20000 元，他们决定购买 10 台无人机模型，同时要求购买B 型的数 量不超过A 型的 2 倍．请求出航模小组所有可能的购买方案．
18 ．如图 1，点 P 为Ð AOB 内一点，请使用尺规作图完成下面作图任务．
嘉嘉：
两边同除以(x - 3) ，得 3 = x - 3 ，
则 x = 6 ．
淇淇：
移项，得3(x - 3) - (x - 3)2 = 0 ，
提取公因式，得(x - 3)(3 - x - 3) = 0 ．
则x - 3 = 0 或3 - x - 3 = 0 ， 解得x1 = 3, x2 = 0 ．
(1)求作边OB 上一点 M 使得上PMB = 上AOB ．小明和小张都尝试过点 P 作OA 的平行线交 OB 于点M，但他们作图方法不同：
小明的作法：在OA 上任取一点 N，连接 NP ，以 ON 和NP 为边作平行四边形；
小张的作法：在OA 上任取一点 N，连接 NP 并延长交OB 于点 K，以 PK 为边作 上PNO 的 等角．
请使用小明或小张的方法在图 1 中完成作图．
答：我选择______ 的作法；
(2)如图 2，小明作得上PMB = 上AOB ，若点 E 和点 F 分别在射线OA 和射线MP 上，求作菱 形OEFM ，请补充作法，完成作图并说明理由；
作法：①在射线OA 上截取______ ，在射线MP 上截取______ ；@连接EF ，则菱形OEFM 即为所求．
证明：
(3)如图 3，在（2）的条件下，若，上AOB = 60° , 菱形OEFM 的边长为 6 ， 求 线段PM 的长．
19．【问题探究】（1）小欢在初二上学期学习“勾股定理”时，遇到问题：如图1，已知四边形 ABCD 的对角线AC 和BD 垂直，若 a = 4 ，c = 2 ，则 b2 + d2 = ______；小欢进一步发现图 1中的四条线段a、b、c、d 存在数量关系：______；
【新知发现】（2）小欢在学习“矩形”时发现矩形内的任意一点也有类似的结论：如图2 ，点 P 在矩形ABCD 内，连接PA、PB、PC、PD ，可得：PA2 + PC2 = PB2 + PD2 ， 小欢尝试 在图3 中进行结论证明：
证明：过点P 作PE 丄 AB 于点E ，延长 EP 交CD 于点 F ， 在Rt△PEA 中，PA2 = PE2 + AE2 ，
在Rt△PFC 中，PC2 = PF2 + CF2 ，
同理可得： PB2 = PE2 + BE2 ，PD2 = PF2 + DF2 ，
请帮助小欢继续完成结论的证明；
【拓展应用】（3）在图 3 的基础上，若PE = 3PF ，小欢将△DPC 绕着点P 逆时针旋转，当
上ADP = 90° 时
（4）如图 4 ， 在Rt△ABC 中， ÐB = 90°,点 D 和点E 分别在边AB 和BC 上，连接 AE 、CD 和DE ，若 CD = 9 ，AE = 10 ，DE = 6 ，求边 AC 的长．
20 ．已知四边形ABCD 是矩形，AB = 6，AD = 10 ，点 E 是边AD 上的动点，连接BE ，将
△ABE 绕点 B 顺时针旋转得到△FBG ，点 F 落在BE 上．
(1)如图 1，当 AE = 4ED 时，GF 交BC 于点 K，求 FK 的长；
(2)如图 2，射线 FG 交DC 的延长线于点 H，当 FH = DH 时，求线段AE 的长；
(3)若点 G 始终在矩形ABCD 内，延长FG 交射线BC 于点 M，当点 E 在边AD 上运动时， 若 ∣FG - GM∣= 3，请直接写出此时线段AE 的长．
1 ．B
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义以及性质对各项进行分析即可．
【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，但是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项错误． 故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的问题，掌握轴对称图形和中心对称图形的 定义以及性质是解题的关键．
2 ．C
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到 EB＝EA ＝4，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵DE 是 AB 的垂直平分线，AE ＝4，
:EB＝EA ＝4，
:BC＝EB＋EC＝4＋2 ＝6， 故选：C．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的 点到线段的两个端点的距离相等．
3 ．B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等腰三角形的性质，
可得上，再由三角形外角的性质，即可求解．
【详解】解：∵ AB = AC ，上BAC = 130° ,
∵ DA 丄 AC ，
: 上CAD = 90° ,
:∠ADB = 上C + 上CAD = 115° . 故选：B
4 ．B
【分析】根据直角三角形的性质可知：上O 与上ADO 互余，上DEB 与上ADO 互余，根据同 角的余角相等可得结论．
【详解】由示意图可知： △DOA 和 △DBE 都是直角三角形，
:上O + 上ADO = 90。，上DEB + 上ADO = 90。，
:上DEB = 上O ， 故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
5 ．B
【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围， 先解不等式组，再根据不等式组的解 集，得到关于参数的不等式，进行求解即可．
ì2x -1 < 5 ì x < 3
【详解】解：解 í ,得： í ,
l x < m +1 lx < m +1 ∵不等式组的解集为：x < 3 ，
: m +1≥ 3 ， : m ≥ 2 ；
故选 B．
6 ．B
【分析】根据平移的性质得到CF = AD = 2cm ，EF = BC ，DF = AC ，然后利用周长的定义 可计算出四边形ABFD的周长．
【详解】解：根据题意，将周长为 18cm 的 △ABC 沿边BC 向右平移 2cm 得到 △DEF ，
: CF = AD = 2cm ，BF = BC + CF = BC + 2 ，DF = AC ； 又Q AB + BC + AC = 18cm ，
: 四边形ABFD的周长= AD + AB + BF + DF = 2 + AB + BC + 2 + AC = 22cm ． 故选：B．
【点睛】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应 点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF = AD ，DF = AC 是解题的关键．
7 ．C
【分析】本题考查平行线四边形的性质， 三角形中位线定理，关键是证明OE 是△ACF 的中 位线．连接AC 交BD 于 O，由平行四边形的性质推出 AO = OC ， 证明OE 是
△ACF 的中位线，得到FC = 2OE ，求出 BD = 6 ，得到 OD = 3，求出 OE = OD - DE = 2 ，
从而FC = 2OE = 4 ．
【详解】解：连接 AC 交BD 于 O，如图所示：
∵四边形ABCD 是平行四边形， , ∵ AE = EF ，
: OE 是△ACF 的中位线， : FC = 2OE ，
∵ DE = 1, BE = 5 ， : BD = 1+ 5 = 6 ，
: OE = OD - DE = 3 -1 = 2 ， : FC = 2OE = 4 ．
故选：C．
8 ．D
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理， 画出反例，即可得出答案，熟练掌握平行线 分线段成比例定理是解此题的关键．
【详解】解：如图：令 AB = BC = 1 ，DE = EF = 1，则 ，
,
由图可得，BE 不平行于CF ，AE 不平行于BF ，DB 不平行于EC ， 综上所述，三个结论都不一定正确，
故选：D．
9 ．(x + 2y)(x - 2y)
【分析】本题主要考查了分解因式，直接利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：x2 - 4y2 = (x + 2y)(x - 2y)，
故答案为：(x + 2y)(x - 2y)．
10 ．132
【分析】本题考查了正多边形的内角， 先求出正五边形和正六边形的每个内角，进而根据镶 嵌的定义即可求出上a ，掌握正多边形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图所示，
:正五边形的每个内角为180。- 360。÷ 5 = 180。- 72。= 108。， 正六边形的每个内角为180。- 360。÷ 6 = 180。- 60。= 120。， : 上1 = 120。， ∠2 = 108。，
: 上1+ 上2 + 上a = 360。，
: 上a = 360。-120。-108。= 132。， 故答案为：132 ．
【点睛】
11 ．
【分析】过点 E 作EH 丄 BC 交BC 延长线于点 H，由等边三角形的性质得到
AB = BC = AC = 4 ，继而由三线合一得到AD 丄 BC ，BD = CD = 2 ，由勾股定理得到AD = 2 ， 旋转得到 上ADE = 60。，则上EDC = 30。，继而 即可求解 面积．
【详解】解：过点 E 作EH 丄 BC 交BC 延长线于点 H，
∵ △ABC 为等边三角形 : AB = BC = AC = 4 ， ∵ AD 是中线，
: AD 丄 BC ，BD = CD = 2 ，
:由勾股定理得 由旋转得：DE = DA = 2 ，上ADE = 60° ,
: 上EDC = 30° ,
∵ EH 丄 BC ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质， 勾股定理，30° 角直角三角形的性质，旋转的性质， 正确构造辅助线是解题的关键．
12 ．2
【分析】本题考查了正方形性质，全等三角形性质和判定，勾股定理等知识， 证明
△ABE ≌ △DAF 是关键．根据正方形性质证明△ABE≌ △DAF ，再利用全等三角形性质得 到AF = BE = 10 米，设AE = DF = x ,则CF = DE = 2AE = 2x, 利用勾股定理列方程，解方程 即可得到答案．
【详解】解：Q 四边形ABCD 为正方形， :BA = AD = CD, 上BAE = 上ADF = 90° , Q DE = CF ，
: AD - DE = CD - CF ，
: AE = DF ，
: △ABE≌△DAF(SAS)，
Q 小路BE 长 10 米，
: AF = BE = 10 米，
设AE = DF = x ,则CF = DE = 2AE = 2x, : AD = AE + DE = 3x ，
: AD2 + DF2 = AF2 ，即 (3x)2 + x2 = 102 ， 解得x = /10 （负值已舍去）
: CF = 2x = 2 米．
故答案为：2 ．
13 ．6 + 3
【分析】本题考查了折叠的性质， 勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，延长 CB 至Q，使得BQ = BE = 3，延长 EF 交AC 于点H ，则有 △ABE≌△ABQ (SAS) ，由折叠性 质可知上FAE = 上BAE ，上AEF = 上AEB ，上FAE = 上BAE = 上BAQ ，
上AQB = 上AEB = 上AEF ，设上FAE = 上BAE = 上BAQ = x ，则上AQB = 上AEB = 上AEF = 90° - x ， 故有上HEC = 180° - 2(90° - x) = 2x ，根据直角三角形性质可得 BD = AD ，所以
上ABD = 上BAD = 90° - 2x ，则上QAC = 上BAC + 上BAQ = 90° - 2x + x = 90° - x ，从而可得
CA = CQ ，设AB = a ，则CE = 2AB = 2a ，最后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是 解题的关键．
【详解】解：如图，延长CB 至Q，使得BQ = BE = 3，延长 EF 交AC 于点H ，
: 上ABC = 90° ,
: 上ABC = 上ABQ = 90° , : AB = AB ，
: △ABE≌△ABQ (SAS) ，
: 上AQB = 上AEB ，上BAQ = 上BAE ，
由折叠性质可知上FAE = 上BAE ，上AEF = 上AEB ，
: 上FAE = 上BAE = 上BAQ ，上AQB = 上AEB = 上AEF ，
设上FAE = 上BAE = 上BAQ = x ，则 上AQB = 上AEB = 上AEF = 90° - x ， :上HEC = 180° - 2(90° - x) = 2x ，
: BD∥EF ，
: 上DBC = 上HEC = 2x ， : 上ABD = 90° - 2x ， :点D 是AC 的中点，
: BD = AD ，
: 上ABD = 上BAD = 90° - 2x ，
: 上QAC = 上BAC + 上BAQ = 90° - 2x + x = 90° - x ， : 上AQB = 90° - x ，
: 上AQB = 上QAC ， : CA = CQ ，
设AB = a ，则 CE = 2AB = 2a ，
: CA = CQ = 2a + 6 ，BC = 2a + 3 ， 由勾股定理得：CA2 = AB2 + BC2 ，
: (2a + 6)2 = a2 + (2a + 3)2 ，整理得：a2 -12a - 27 = 0 ， 解得：a = 6 + 3 或a = 6 - 3 （舍去），
: AB = 6 + 3 ，
故答案为：6 + 3 ．
14 ．x -1 ，x = -3 时，原式= -4
【分析】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件， 熟练掌握分式的运算法则是解题 关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后根据分式有意义的条件选择x = -3 代入计算即可得．
= x -1 ．
∵ x -1 ≠ 0, x - 2 ≠ 0 ，即x ≠ 1, x ≠ 2 ，
:选择x = -3 代入得：原式= -3 -1= -4 ．
15 ．(1)不正确；不正确；
【分析】本题考查了解一元二次方程，涉及因式分解法解一元二次方程．
（1）根据解一元二次方程的解法判断即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：嘉嘉：当(x - 3) = 0 时，不满足等式的性质，故嘉嘉得解法不正确；
淇淇：提取公因式时，(3 - -x3) 的符号错误，应该是(x - 3) 3 - (x - 3) = 0 ，故淇淇的解法 不正确；
故答案为：不正确；不正确；
（2）解：4x (2x +1) = 3 (2x +1)
4x (2x + 1) - 3(2x + 1) = 0 (4x - 3)(2x + 1) = 0
4x - 3 = 0 或2x +1 = 0
16 ．(1)画图见解析；
(2)平行，相等； (3)11．
【分析】本题主要考查了作图——平移变换，掌握平移变换的定义和性质及割补法求面积是 解题的关键．
（1）将点 B 向右平移3 格、再向下平移1格，得到其对应点B1 ，再与点 A1 连接即可；
（2 ）根据平移的性质可直接得出答案；
（3 ）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图，A1B1 即为所求；
（2）解：由平移的性质可知：AA1、BB1、AA1 与BB1 的位置关系是平行，数量关系是相等，
故答案为：平行，相等；
（3）解：线段 AB 扫过的面积是
= 20 - 4 - 3 - 2 = 11 ， 故答案为：11．
17 ．(1)A 型无人机的单价为 2400 元，B 型无人机的单价为 1600 元．
(2)由两种购买方案
第一种购买 A 型无人机 4 台，B 型无人机 6 台；
第二种购买 A 型无人机 5 台，B 型无人机 5 台
【分析】本题考查分式方程解决实际问题，一元一次不等式解决实际问题．
（1）设B 型无人机的单价为x 元，则A 型无人机的单价为(x + 800) 元，根据“12000 元购买A 型无人机模型的数量与用 8000 元购买B 型无人机模型的数量相同”列出方程，求解并检验即 可解答；
（2）设购买A 型无人机a 台B 款无人机模型 n 架，根据“用20000 元购买无人机模型，决定 购买 10 台无人机模型，同时要求购买B 型的数量不超过A 型的 2 倍”列不等式，根据题意求 出其正整数解，即可解答．
【详解】（1）解：设B 型无人机的单价为x 元，则A 型无人机的单价为(x + 800) 元，由题意 得：
解得：x = 1600 ．
经检验x =1600 是原方程得解且符合题意，x + 800 = 2400 ，
答：A 型无人机的单价为 2400 元，B 型无人机的单价为 1600 元．
（2）解：设购买 A 型无人机a 台，则购买B 型无人机(10 - a) 台，由条件得：
í0-(10 - a ) ≤ 20000 ，
解得： 且a 为整数．
:a = 4 或 5，
所以，由两种购买方案，
第一种购买 A 型无人机 4 台，B 型无人机 6 台；
第二种购买 A 型无人机 5 台，B 型无人机 5 台．
18 ．(1)图形见解析
(2) OE = OM ，OM = MF ，证明见解析
(3) PM = 2
【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程；
（1）根据两人的作图步骤作图即可；
（2）截取OE = OM ，OM = MF ，先证明四边形OEFM 是平行四边形，再根据一组邻边相 等证明是菱形；
（3）过P 作PG 丄 OB 于G ，连接OP ，结合（2）的条件下，可得OM = 6 ，
上AOB = 上PMG = 60° ,则 PM = 2MG ，PG = MG ，设 PM = 2MG = 2x ，则 MG = x ，
, OG = OM + MG = 6 + x ，再在 Rt△OGP 中利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：选择小明的作法：在 OA 上任取一点 N，连接 NP ，以 ON 和NP 为边作平 行四边形，图形如下：
选择小张的作法：在OA 上任取一点 N，连接NP 并延长交OB 于点 K，以PK 为边作 上PNO 的等角，图形如下：
（2）解：作法：①在射线OA 上截取OE = OM ，在射线 MP 上截取OM = MF ；②连接 EF ，则菱形 OEFM 即为所求．
证明：: 上PMB = 上AOB ， : OE ⅡMF ，
: OE = OM ，OM = MF ， : OE = MF ，
:四边形OEFM 为平行四边形， : OE = OM ，
:平行四边形OEFM 为菱形；
（3）解：过P 作PG 丄 OB 于G ，连接OP ，
:菱形OEFM 的边长为 6， : OM = 6 ，OE ⅡMF ，
: 上AOB = 60° ,
: 上AOB = 上PMG = 60° , : 上MPG = 30° ,
设PM = 2MG = 2x ，则 MG = x ， ，OG = OM + MG = 6 + x ，
∵ Rt△OGP 中，OP = 2 ，PG2 + OG2 = OP2 ， : x2 + 3x - 4 = 0 ，
解得x1 = 1, x2 = -4 （负值舍去）， : PM = 2x = 2 ．
19 ．（1） 20 ；a2 + c2 = b2 + d2 ；（2 ）证明见解析；（3 ） ；（4 ）AC = ．
【分析】本题考查了矩形的判定与性质， 全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定 理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）直接利用勾股定理即可求解；
（2 ）过点 P 作PE 丄 AB 于点E ，延长 EP 交CD 于点 F ，则 上AEF = 90° ,由勾股定理得 PA2 = PE2 + AE2 ，PC2 = PF2 + CF2 ，PB2 = PE2 + BE2 ，PD2 = PF2 + DF2 ，然后证明四边形 AEFD 是矩形，同理可得四边形BEFC 是矩形，故有AE = DF ，BE = CF ，然后进行代换即 可；
（3 ）由（ 2 ）得 AE = DF ，PA2 + PC2 = PB2 + PD2 ，设 AE = DF = b ，PF = a ，则 PE = 3a ，由旋转性质可知PD = PD1 ，所以 PD2 = PD12 = a2 + b2 ，同理
AP2 = b2 + (3a )2 = b2 + 9a2 ，然后通过勾股定理 AD1 = = 2a ，最后代入 求解即可；
（4 ）作点E 关于AB 对称点E1 ，点D 关于BC 对称点D1 ，连接AE1、BE1、BD1、CD1 ，则有 BE = BE1 ，DB = D1B ，从而可得 A、B、D1 共线，C、B、E1 共线，则有 CD = CD1 = 9 ，
AE = AE1 = 10 ，上DBE = 上D1BE1 = 90° ,证明 △DBE≌△D1BE1 (SAS) ，得出 D1E1 = DE = 6 ， 由（1）得 AC2 + D1E12 = AE12 + CD12 ，即 AC2 + 62 = 102 + 92 ，然后求解即可．
【详解】解：（1） ∵ AC 丄 BD ，
: 上AEB = 上CEB = 上CED = 上AED = 90° ,
: AE2 + BE2 = a2 ，CE2 + BE2 = b2 ，CE2 + ED2 = c2 ，CE2 + AE2 = d 2 ， : AE2 + BE2 + CE2 + ED2 = CE2 + BE2 + CE2 + AE2 ，
: a2 + c2 = b2 + d2 ，
当 a = 4 ，c = 2 ，则 b2 + d2 = 42 + 22 = 20 ， 故答案为：20 ；a2 + c2 = b2 + d2 ；
（2 ）证明：过点 P 作PE 丄 AB 于点E ，延长 EP 交CD 于点 F ，则 上AEF = 90° , 在Rt△PEA 中，PA2 = PE2 + AE2 ，
在Rt△PFC 中，PC2 = PF2 + CF2 ，
同理可得： PB2 = PE2 + BE2 ，PD2 = PF2 + DF2 ，
∵四边形ABCD 是矩形，
: 上BAD = 上ADC = 90° ,
∵ 上AEF = 90° ,
: 上BAD = 上ADC = 上AEF = 90° ,
:四边形AEFD 是矩形，同理可得四边形BEFC 是矩形，
: AE = DF ，BE = CF ，
: PA2 + PC2 = PE2 + AE2 + PF2 + CF2 ，PB2 + PD2 = PE2 + BE2 + PF2 + DF2 ， : PA2 + PC2 = PB2 + PD2 ；
（3 ）如图，由（ 2 ）得 AE = DF ，PA2 + PC2 = PB2 + PD2 ，
设AE = DF = b ，PF = a ，则 PE = 3a ， 由旋转性质可知：PD = PD1 ，
: PD2 = PD12 = a2 + b2 ，
同理：AP2 = b2 + (3a )2 = b2 + 9a2 ， ∵上AD1P = 90° ,
: AP2 = PD12 + AD12 ，
: AD1 = = 2a ，
故答案为： ；
（4 ）如图，作点 E 关于AB 对称点E1 ，点 D 关于BC 对称点D1 ，连接
AE1、BE1、BD1、CD1 ，
: BE = BE1 ，DB = D1B ， :ÐB = 90° ,
: A、B、D1 共线，C、B、E1 共线，
: CD = CD1 = 9 ，AE = AE1 = 10 ，上DBE = 上D1BE1 = 90° ,
: BE = BE1 ，DB = D1B ， : △DBE≌△D1BE1 (SAS) ， : D1E1 = DE = 6 ，
由（1）得： AC2 + D1E12 = AE12 + CD12 ， : AC2 + 62 = 102 + 92 ，
.
20 ．
或
【分析】（1）四边形 ABCD 是矩形， △ABE 绕点 B 顺时针旋转得到△FBG ，则
△ABE∽△FKB ，可得 然后可求出值；
（2）连接HE ，FH = DH ，EH = EH ，则Rt△DHE = Rt △FHE(HL) ，可推出 ED = EF ，设
AE = a，ED = EF = 10 - a ，在 Rt△ABE 中，由勾股定理得：62 + a2 = (16 - a)2 ，可求解；
（3）如图；四边形 ABCD 是矩形， △ABE 绕点 B 顺时针旋转得到△FBG ，点 G 始终在矩 形ABCD 内，可得 △ABE∽△FMB ，可退出 ，根据∣FG - GM∣= 3，分类讨论即可 求解.
【详解】（1）解：∵ AB = 6，AD = 10 ，AE = 4ED ，即 AE + ED = 10
: AE = 8，DE = 2
∵四边形ABCD 是矩形， △ABE 绕点 B 顺时针旋转得到△FBG : 上A = 上BFK = 90°, 上AEB = 上EBK ，AB = BF = 6
: △ABE∽△FKB
, 则 ，
解得： ；
（2）∵四边形ABCD 是矩形， △ABE 绕点 B 顺时针旋转得到△FBG : 上A = 上BFK = 上D = 90°, AB = BF = 6
如图；连接HE
∵ FH = DH ，EH = EH
: Rt △DHE = Rt △FHE(HL)
: ED = EF
设AE = a，ED = EF = 10 - a
:在Rt△ABE 中，由勾股定理得：62 + a2 = (16 - a)2 ，解得：
（3）∵如图；四边形ABCD 是矩形，△ABE 绕点 B 顺时针旋转得到△FBG ，点 G 始终在矩
形ABCD 内，
: 上A = 上BFK = 90°, 上AEB = 上EBK ，AB = BF = 6 ，AE = FG : △ABE∽△FMB
∵∣FG - GM∣= 3，
: FG - GM = 3 或FG - GM = -3
设AE = FG = x ，
: GM = x - 3 或GM = 3 + x
①当GM = x - 3 ，FM = 2x - 3
则2x2 - 3x = 36 ，解得 或 不能为负，舍去）；
②当GM = 3 + x ，FM = 2x + 3
则2x2 + 3x = 36 ，解得 或 不能为负，舍去）； 综上所述：AE 的长为或
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质， 勾股定理的运用，旋转的性质 和辅助线的做法，解题关键在于熟练运用各个知识点的内容解题.