初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）第十三章 三角形13.2 与三角形有关的线段13.2.2 三角形的中线、角平分线、高导学案

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）第十三章 三角形13.2 与三角形有关的线段13.2.2 三角形的中线、角平分线、高导学案，共25页。学案主要包含了变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3，变式3-1，变式3-2等内容，欢迎下载使用。
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：5大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
【知识点1 三角形的中线】
1.定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线．
如图，连接ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作ABC的边BC上的中线.
2.交点：三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部.
【知识点2 三角形的角平分线】
1.定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．如图，画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线.
2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点.
【知识点3 三角形的高】
1.定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．
2.交点：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点．
总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点.
【题型1 三角形的角平分线、中线和高线的定义】
【例1】如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（ ）
A．中线、角平分线、高线B．角平分线、高线、中线
C．高线、中线、角平分线D．角平分线、中线、高线
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称的性质及三角形的角平分线、中线和高线，解题关键是熟知三角形角平分线、中线和高线的定义．
根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义求解．
【详解】解：由图①的折叠方式可知，∠BAD=∠CAD，
所以AD是△ABC的角平分线．
由图②的折叠方式可知，∠ADB=∠ADB′，
因为∠ADB+∠ADB′=180°，
所以∠ADB=∠ADB′=90°，
所以AD⊥BC，
所以AD是△ABC的高线．
由图③的折叠方式可知，CD=BD，
所以AD是△ABC的中线．
故选：B．
【变式1-1】如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上的一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有（ ）
①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH是△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断即可．
【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念知AG是△ABE的角平分线，故原说法错误，不符合题意；
②根据三角形的中线的概念知BG是△ABD的边AD上的中线，故原说法错误，不符合题意；
③根据三角形的高的概念知CH是△ACD的边AD上的高，故原说法正确，符合题意；
④根据三角形的角平分线和高的概念知AH是△ACF的角平分线和高，故原说法正确，符合题意；
∴说法正确的有③④，共2个，
故选：B．
【变式1-2】下列说法正确的个数有（ ）
① 三角形的角平分线、中线和高都在三角形内
② 直角三角形只有一条高
③ 三角形的高至少有一条在三角形内
④ 三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据三角形的中线，角平分线和高线的定义以及在三角形的位置对各项分析判断求解．
【详解】解：①钝角三角形的三条高两条在三角形外，故错误；
②直角三角形有三条高，故错误；
③ 三角形的高至少有一条在三角形内，故正确；
④三角形的高，角平分线及中线都是线段，故错误；
故选A．
【变式1-3】如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A．AB=2BFB．∠ACE=12∠ACB
C．AE=BED．CD⊥AB
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高线、中线、角平分线的定义，逐项分析即可即可判断．
【详解】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，
∴AB=2BF，∠ACE=12∠ACB，CD⊥AB．
结合选项可知，A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意；
故选：C．
【题型2 画三角形的高】
【例2】下列能表示△ABC的边BC上的高的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了画三角形的高，熟练掌握高的定义是解题的关键．作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可．
【详解】解：A．BE不是任何边上的高，故不符合题意；
B．AE是BC任何边上的高，故符合题意；
C．BE是AC任何边上的高，故不符合题意；
D．AB不是任何边上的高，故不符合题意；
故选B．
【变式2-1】如图，钝角△ABC中，AB边上的高是（ ）
A．AFB．BDC．CED．CA
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的高，掌握三角形的高的定义是解题的关键．
根据三角形高的定义即可解答．
【详解】解：如图，钝角△ABC中，AB边上的高是CE．
故选C．
【变式2-2】如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据高线的定义即可得出结论．
【详解】解：A．作出的是△ABC中BC边上的高线，故该选项不符合题意；
B．作出的是△ABC的边AB上的高线，故该选项符合题意；
C．不能作出△ABC的高，故该选项不符合题意；
D．作出的是△ABC中AC边上的高线，故该选项不符合题意；
故选：B．
【变式2-3】在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)画出AB边上的高CD和中线CE；
(2)画出AC边上的高BF，并直接写出BF的长（提示：AC的长等于5）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，BF=335
【分析】此题考查了作三角形的高线和中线，等面积法求三角形高，
（1）取格点D，连接CD即为AB边上的高；取格点H，连接CH交AB于点E，中线CE即为所求；
（2）取格点G，连接BG交AC的延长线于点F，高BF即为所求，然后根据面积法求解即可．
【详解】（1）如图所示，高CD和中线CE即为所求；
（2）如图所示，AC边上的高BF即为所求；
∵AC的长等于5
∴S△ABC=12AC⋅BF=12AB⋅CD
∴12×5BF=12×11×3
∴BF=335．
【题型3 根据三角形的中线求长度】
【例3】如图，在周长为20cm的△ABC中，AD是边BC上的中线，已知CD=4cm，AC=7cm，则AB的长为（ ）
A．6cmB．5cmC．4cmD．3cm
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的周长公式和三角形中线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形中线的定义．利用三角形中线定义和周长公式即可求出答案．
【详解】解：∵AD是边BC上的中线，
∴BC=2CD=8cm，
∵△ABC周长为20cm，
∴AB+AC+BC=20cm，
∴AB=20−AC−BC=5cm，
故选：B．
【变式3-1】在△ABC，AB=20，BC=18，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为45，△BCD的周长是（ ）
A．47B．43C．38D．25
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形的中线以及三角形的周长，掌握三角形的中线的定义是解题的关键．根据△ABD的周长为45，可得BD+CD=25，再结合三角形中线的定义，即可求解．
【详解】解：∵ △ABD的周长为45，
∴ AB+BD+AD=45，
∵ BD是AC边上的中线，
∴CD=AD，
∵ AB=20，
∴ BD+CD=45−AB=25，
∵ BC=18，
∴ △BCD的周长是BC+BD+CD=43．
故选：B．
【变式3-2】如图，△ABC的周长是16，AD是BC边上的中线，AB=6，CD=3，则△ABD与△ACD的周长之差为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】A
【分析】本题考查了三角形中线的有关计算，掌握三角形中线的定义是关键．
根据三角形的中线，周长的计算得到BC=2CD=6，AC=4，根据△ABD的周长为AB+BD+AD，△ACD的周长为AC+CD+AD，得到△ABD与△ACD的周长之差为AB−AC，由此即可求解．
【详解】解：△ABC的周长为16，
∴AB+AC+BC=16，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD=3，则BC=6，
∴AC=16−AB−BC=16−6−6=4，
∵△ABD的周长为AB+BD+AD，△ACD的周长为AC+CD+AD，
∴AB+BD+AD−AC+CD+AD=AB−AC=6−4=2，
∴△ABD与△ACD的周长之差为2，
故选：A ．
【变式3-3】在等腰三角形ABC中，AB=AC，若中线BD将该三角形的周长分为5和3两个部分，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．43B．4C．43或4D．53或4
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，三角形中线的定义，三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．设腰长AB=AC=x，底边长BC=y，结合三角形中线的定义，列二元一次方程组，求出x、y的值，再根据三角形的三边关系检验即可．
【详解】解：设腰长AB=AC=x，底边长BC=y，
∵BD是中线，
∴AD=CD=12AC=12x，
∵中线BD将该三角形的周长分为5和3两个部分，
∴AB+AD=5BC+CD=3或AB+AD=3BC+CD=5，
∴x+12x=5y+12x=3或x+12x=3y+12x=5，
解得：x=103y=43或x=2y=4，
当等腰三角形ABC腰长为103，底边长为43时，103+43>103，可以组成三角形；
当等腰三角形ABC腰长为2，底边长为4时，2+2=4，不可以组成三角形；
∴该等腰三角形的底边长为43，
故选：A．
【题型4 根据三角形的中线求面积】
【例4】如图， 在△ABC中， D， E分别是AB，BC的中点． 若△BDE的面积是1，则△ACD的面积是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形中线平分三角形面积，据此可求出△BDC的面积，进而可得△ACD的面积．
【详解】解：∵E为BC的中点，
∴S△BCD=2S△BDE=2，
∵D为AB的中点，
∴S△ACD=S△BCD=2，
故选；B．
【变式4-1】如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AD，BE的中点．△CEF（阴影部分）的面积是4，则△ABC的面积为（ ）
A．4B．8C．16D．32
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的面积的求法，关键是找出三角形面积之间的关系．
根据三角形的面积公式得到，三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，据此解答即可．
【详解】解：∵F是BE中点，
∴S△BCE=2S△CEF=2×4=8，
∵E是AD中点，
∴S△ABD=2S△BED，S△ACD=2S△CED，
∴S△ABD+S△ACD=2S△BED+S△CED
=2S△BEC
=16，
∴S△ABC=16，
故选：C．
【变式4-2】如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为20cm2，则△BEF的面积是 cm2．
【答案】5
【分析】本题考查了三角形中线平分面积的计算，掌握中线的性质是关键．
根据点E是AD中点，得到S△DBE+S△DCE=S△BCE=10cm2，根据点F是CE的中点，得到S△BEF=S△BFC=12S△BCE=5cm2，由即可求解．
【详解】解：∵点E是AD中点，
∴S△ABE=S△DBE,S△ACE=S△DCE，
∴2S△DBE+2S△DCE=S△ABC=20cm2，
∴S△DBE+S△DCE=S△BCE=10cm2，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF=S△BFC=12S△BCE=5cm2，
故答案为：5 ．
【变式4-3】如图，D是AB边上任意一点，E是CD的中点，F是BE的中点．若△ABF的面积是2，则△ABC的面积是 ．

【答案】8
【分析】本题考查了中线平分面积的知识，掌握三角形中线平分三角形面积是解题的关键．
根据F是BE的中点，△ABF的面积是2，得到S△ABE=S△BDE+S△ADE=4，根据E是CD的中点，得到S△ACE=S△ADE,S△BCE=S△BDE，由S△ABC=2S△ADE+S△BDE=2S△ABE=8，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接AE，
∵F是BE的中点，△ABF的面积是2，
∴S△ABF=S△AEF=2，
∴S△ABE=S△BDE+S△ADE=4，
∵E是CD的中点，
∴S△ACE=S△ADE,S△BCE=S△BDE，
∵S△ABC=S△ADE+S△ACE+S△BCE+S△BDE，
∴S△ABC=2S△ADE+2S△BDE=2S△ADE+S△BDE=2S△ABE=8，
故答案为：8 ．
【题型5 根据三角形的高计算线段长度】
【例5】如图，AD、AE分别是△ABC的高线和中线．若△ABC的面积为12，AD=5，则BE的长为（ ）
A．4B．3C．4.8D．2.4
【答案】D
【分析】本题考查三角形的中线性质，根据三角形的中线平分三角形的面积求得S△ABE=12S△ABC=6，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵AE是△ABC的中线，△ABC的面积为 12 ，
∴S△ABE=12S△ABC=6，
∵AD是△ABC的高线，AD=5，
∴12BE⋅AD=6，则BE=2×65=2.4，
故选：D．
【变式5-1】如图，在△ABC中，AD，AE分别是BC边的中线、高线，过点D作DF⊥AB于点F，若ABBC=23，则DFAE的值是（ ）
A．12B．23C．34D．45
【答案】C
【分析】本题考查的是三角形的中线和高，熟记它们的定义是解题的关键．
根据三角形的中线的性质得到BD=DC，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：∵AD是BC边的中线，
∴BD=DC，
∵ABBC=23，
∴ABBD=43，
∵S△ABD=12AB⋅DF=12BD⋅AE，
∴DFAE=34，
故选：C．
【变式5-2】如图，已知AD，BE分别是△ABC中BC，AC边上的高，BC=5，AC=4，AD=3，则BE的长是 ．
【答案】154
【分析】本题主要考查了与三角形高的有关计算，根据等面积法可得出S△ABC=12BE⋅AC=12AD⋅BC，进而可求出BE．
【详解】解：∵S△ABC=12BE⋅AC=12AD⋅BC
∴BE⋅AC=AD⋅BC
∴BE=AD⋅BCAC=3×54=154，
故答案为：154
【变式5-3】已知△ABC中，AD为BC边上的高，若AD=4，BD=9，CD=5，则△ABC的面积为 .
【答案】28或8
【分析】本题考查了与三角形高有关的计算，属于基础题；分两种情况考虑：分高AD在三角形内与三角形外，根据题意求得BC，则由三角形面积公式计算即可．
【详解】解：当高AD在三角形内时，如图，
∵BD=9，CD=5，
∴BC=BD+CD=9+5=14，
∴S△ABC=12BD⋅AD=12×14×4=28；
当高AD在三角形外时，如图，
则BC=BD−CD=9−5=4，
∴S△ABC=12BD⋅AD=12×4×4=8；
综上，△ABC的面积为28或8．
故答案为：28或8．
1．如图是一张钝角三角形纸片ABC，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①AC边上的中线BD；②∠B的平分线BE；③AC边上的高BF．上述三条线段中能通过折纸折出的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】本题考查的是轴对称的性质，涉及到图形的翻折变换，三角形的角平分线、中线以及高线，掌握三角形的角平分线、中线以及高线的几何意义是解题的关键．根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答．
【详解】解：①折叠使点A与点C重合，则：对折点即为AC的中点D，则BD即为AC边上的中线；
②折叠使BC和AB重合，则：折痕BE即为∠B的平分线；
③折叠使CF和AF重合，则：折痕BF即为AC边上的高；
故选D．
2．用直角三角板，作△ABC 的高，下列作法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的是作图−基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．根据高线的定义即可得出结论．
【详解】解：A、B、C选项均不是高线，D选项是高线．
故选：D．
3．如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O．有下列两个结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线．其中（ ）

A．只有①正确B．只有②正确C．①和②都正确D．①和②都不正确
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的中线，解本题的关键在熟练掌握相关性质、定义．根据题意得到AD是∠BAC的角平分线，即可判断①；根据三角形中线的性质得到E是AC是中点，而O不一定是AD的中点，即可得到②．
【详解】解：∵ AD是△ABC的角平分线，
则AD是∠BAC的角平分线，
∴ AO是△ABE的角平分线，故①正确；
BE是三角形△ABC的中线，
则E是AC是中点，而O不一定是AD的中点，故②错误．
故选：A．
4．如图，CM是△ABC的中线，BC=8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大2cm，则AC的长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，根据中线的定义得出BM=AM，根据△BCM的周长比△ACM的周长大2cm，得出BC+BM+CM−AC+AM+CM=2cm，则BC−AC=2cm，即可求解．
【详解】解：∵CM是△ABC的中线，
∴BM=AM，
∵△BCM的周长比△ACM的周长大2cm，
∴BC+BM+CM−AC+AM+CM=2cm，
则BC−AC=2cm，
∵BC=8cm，
∴AC=6cm，
故选：D．
5．如图，△ABC的中线AD、角平分线BE交于点O，则下列结论中正确的是（ ）
A．AO是△ABE的角平分线B．ED是△EBC的角平分线
C．DE是△ADC的中线D．BO是△ABD的角平分线
【答案】D
【分析】本题主要考查角平分定义和中线的定义，根据题意得∠ABE=∠EBC，BD=CB，逐项判断即可判定BO是△ABD的角平分线．
【详解】解：A∵△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，
∴∠ABE=∠EBC，BD=CB，
在△ABE中，∠BAD不一定等于∠CAD，
∴AO不一定是△ABE的角平分线，A错误；
B∵∠DEB不一定等于∠DEC，那么ED不一定是△EBC的角平分线，B错误；
C在△ADC中，AE≠CE，DE不一定是△ADC的中线，C错误；
D∵∠ABE=∠EBC，
∴BO是△ABD的角平分线，D正确；
故选：D．
6．下列结论正确的是（ ）
A．钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的外部
B．锐角三角形的三条高的交点在三角形的外部
C．三角形的重心是三角形三条中线的交点
D．直角三角形的三条中线的交点在斜边的中点
【答案】C
【分析】本题考查了三角形角平分线、高、中线、重心等概念，根据三角形角平分线、高、中线、重心等概念逐一排除即可，掌握三角形的重要概念是解题的关键．
【详解】解：A、钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意；
B、锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意；
C、三角形的重心是三角形三条中线的交点，原选项结论正确，符合题意；
D、直角三角形的三条中线的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意；
故选：C．
7．如图，在△ABC中，已知点D、E分别为BC，AD的中点，且△ABC的面积等于8cm2，则△AEC的面积等于（ ）
A．4cm2B．3cm2C．2cm2D．1cm2
【答案】C
【分析】本题考查利用三角形的中线求面积．掌握三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键．
根据AD是△ABC的中线得SΔACD=12SΔABC，CE是△ADC的中线得S△ACE=12S△ACD，即可求解．
【详解】解：∵AD是△ABC的中线，
∴SΔACD=12SΔABC，
∵CE是△ADC的中线
∴S△ACE=12S△ACD，
∴S△ACE=12S△ACD=12×12S△ABC=14S△ABC，
∵S△ABC=8cm2
∴S△ACE=14×8=2cm2
故选：C．
8．如图，在△ABC中，△ABC的面积为30，BD=2CD，点E是AC的中点，BE、AD交于点F，则四边形DCEF的面积为 ．
【答案】7
【分析】本题考查三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键．设S△CEF=a，S△CDF=b，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将其它各三角形的面积分别用含a、b的代数式表示出来，列关于a和b的二元一次方程组并求解，从而求出a+b的值即可．
【详解】解：如图，连接CF.
设S△CEF=a，S△CDF=b，
∵点E是AC的中点，
∴S△AEF=S△CEF=a，
∵BD=2CD，
∴S△BDF=2S△CDF=2b，
∵S△ABE=S△BCE，
∴S△ABF=b+2b=3b，
∵S△ACD=13S△ABC=10，S△ABD=30−10=20，
∴2a+b=105b=20，
∴a=3b=4，
∴a+b=7，
∴四边形DCEF的面积为7.
故答案为：7.
9．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，过点D作DP⊥AB，DP=3，E为BC上一点，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，EM=4.2，则EN= ．
【答案】1.8
【分析】本题考查了与三角形的高有关的面积计算，添加适当的辅助线，根据题意得出S△ABC=S△ABF+S△ACF=12AB⋅DF+12AC⋅EF是解此题的关键．连接AD，AE，根据D为BC中点，得出S△ABD=S△ACD=12AB⋅DP，从而得出S△ABC=S△ABD+S△ACD=2S△ABD=AB⋅DP，根据三角形面积得出S△ABC=S△ABE+S△ACE=12AB⋅EM+12AC⋅EN，从而得出AB⋅DP=12AB⋅EM+12AB⋅EN，代入数据计算即可．
【详解】解：如图，连接AD，AE，
，∵D为BC中点，
∴S△ABD=S△ACD=12AB⋅DP，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=2S△ABD=AB⋅DP，
∵EM⊥AB，EN⊥AC，
∴S△ABC=S△ABE+S△ACE=12AB⋅EM+12AC⋅EN，
∴AB⋅DP=12AB⋅EM+12AB⋅EN，
∵DP=3，EM=4.2，
∴3AB=12×4.2×AB+12AB⋅EN，
解得：EN=1.8．
故答案为：1.8．
10．如图，△ABC为钝角三角形，分别过点A、B作BC、AC边上的高AD、BE，已知AC=10，BC=5，BE=3，则AD的长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了利用三角形的面积求高线的长. 利用三角形的面积公式求得S△ABC=12AC×BE=15，再利用S△ABC=12BC×AD=15，求解即可.
【详解】解：∵AC=10，BE=3，且BE⊥AC，
∴S△ABC=12AC×BE=15，
∵BC=5，且AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC×AD=12×5×AD=15，
解得AD=6，
故答案为：6.
11．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，CE=3AE，连接BE交AD于点F，连接CF．若△CEF的面积为3，则△ABF的面积为 ，△CDF的面积为 ．
【答案】 4 6
【分析】本题主要考查了三线合一定理，三角形面积，熟知相关知识是解题的关键．先由CE=3AE，得到S△AEFS△CEF=AECE=13，即可求出S△AEF=13S△CEF=1，则S△ABF=S△ACF=S△AEF+S△CEF=4；同理求出S△BCE=3S△ABE=3S△ABF+S△AEF=15，则
S△BCF=S△BCE−S△CEF=12，由此即可得到答案．
【详解】解：∵CE=3AE，
∴S△AEFS△CEF=AECE=13，
∴S△AEF=13S△CEF=1，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴S△ABF=S△ACF=S△AEF+S△CEF=4，
同理可得S△ABES△BCE=AECE=13，
∴S△BCE=3S△ABE=3S△ABF+S△AEF=15，
∴S△BCF=S△BCE−S△CEF=12，
∴S△CDF=12S△BCF=6，
故答案为：4；6.
12．已知△ABC，AD是BC边上的中线，且AC=4，若△ABD的边AB上的高为2，△ACD的边AC上的高为4，求AB的长．
【答案】8
【分析】本题考查了三角形的中线，以及等积法求线段的长，由中线的定义得BD=CD，然后根据S△ABD=S△ACD列式求解即可．
【详解】解：如图，∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∴S△ABD=S△ACD，
∴12AB×DM=12×AC×DN，
即12AB×2=12×4×4
∴AB=8．
13．在等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15cm和6cm两部分，求这个等腰三角形的腰长．
【答案】这个等腰三角形的腰长为10cm
【分析】设AB=AC=2xcm，BC=ycm，根据题意可的AD=CD=xcm，然后分当AB+AD=15cm、BC+CD=6cm和AB+AD=6cm、BC+CD=15cm两种情况讨论，分别列方程组并求解，结合三角形三边关系即可获得答案．
【详解】解：设AB=AC=2xcm，BC=ycm，
∵BD为一腰上的中线，
∴AD=CD=xcm，
∵中线BD将这个三角形的周长分成15cm和6cm两部分，
∴有两种情况：
①当AB+AD=15cm，BC+CD=6cm时，则有
3x=15x+y=6，解得x=5y=1，
∴三边长分别为10cm，10cm，1cm，且10+1>10，
∴等腰三角形的腰长为10cm；
②当AB+AD=6cm，BC+CD=15cm时，则有
3x=6x+y=15，解得x=2y=13，
此时两腰之和4+4=8、