人教B版 (2019)必修 第三册角的推广教案

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册角的推广教案，共8页。
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修三》（人教B版）第七章《三角函数》，本小节内容主要包括角的概念的推广(正角、负角、零角)、象限角的概念、终边相同的角的集合表示,并通过思考完成例题,培养学生应用知识解决相关问题的能力,体会几何法解决问题的直观便捷。
摩天轮的实例贯穿三角函数的整个学习过程,教师在教学中应深入剖析,不但要为学生理解抽象的数学概念打下感性基础,还要引导学生逐步感知数学与现实生活的紧密联系和实际应用价值,发展学生的数学抽象和数学建模核心素养。
教师教学时,可以先让学生复习小学和初中学习的角的概念.再举一个生活实例,如在跳水运动中有“转体二周”(即转体720°)、“转体3周”(即转体1080°)的动作术语,若用之前的定义无法对720°,1080°进行解释,由此引入本小节的内容.因为所有新知的学习都是建构在学生原有的认知基础上的,无论是复习还是列举实例都是为后面让学生做好认知上的衔接准备.
1.教学重点：任意角的概念，象限角的表示；
2.教学难点：终边相同角的表示，区间角的集合书写。
多媒体
本节课,学生需要掌握的知识包括:任意角的概念,终边相同的角的表示,象限角的判断。《角的推广》是对初中已经掌握的0°--360°角的推广,所以先复习初中学习过的角,并通过发现生活中一些不在0°--360°内的角作为例子引入本节课题,这点是比较成功之处。
课程目标
学科素养
A.了解任意角的概念；
B.掌握正角、负角、零角及象限角的定义，理解任意角的概念；
C.掌握终边相同的角的表示方法；
D.会判断角所在的象限。
1.数学抽象：角的概念；
2.逻辑推理：象限角的表示；
3.数学运算：判断角所在象限；
4.直观想象：从特殊到一般的数学思想方法；
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
复习回顾，温故知新
1.在小学与初中，怎样给角下的定义？范围是多大？
【答案】定义：有公共端点的两射线组成的几何图形称为角.
角的范围：0°～360°
二、探索新知
1.李小鹏跳：2002年在匈牙利世锦赛上，李小鹏在跳马时做出的“踺子后手翻转体180度接直体前空翻转体900度”获得“李小鹏跳”命名.
角也可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
如图，可表示的角。
思考1.如图，当摩天轮在持续不断地转动时，
（1）摩天轮所转过的角度大小是否超过？
（2）如果甲、乙两人分别站在摩天轮的两侧观察，那么他们所看到的摩天轮旋转方向相同吗？如果不同，你能
用合适的数学符号表示这种不同吗？
从这个实例出发，你能将以前所学的角进行推广吗？
【答案】（1）转过的角会超过。
（2）甲、乙看到的旋转方向相反。用正负数表示。
2.角的概念的推广
平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形称为角。
3.角的构成要素
4.规定：
按逆时针方向旋转形成的角称为正角；
按顺时针方向旋转形成的角称为负角；
当射线没有旋转时，我们称它为零角.
这样定义的角，由于是旋转生成的，所以也常称为转角。
5.角的分类
6.转角的图形表示
常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量。
尝试与发现1：角的概念推广之后，利用转角给出与的几何意义。
象限角
为了方便，我们通常将角放在平面直角坐标系中来讨论，约定：角的顶点与坐标原点重合,角的始边落在与x轴的正半轴上。如果角的终边在第几象限，我们就把这个角称为第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
练习： 图（1）中的45°，-315°，405°角都是第一象限角,图（2）中的 126°，210°，-60°，-90°分别是第几象限的角？
【答案】126°是第二象限的角，210°是第三象限的角，-60°是第四象限的角，-90°不是象限角。
尝试与发现2：图（1）中三个角的终边相同，那么，终边相同的角有没有一个共同的表示方法呢？
【答案】所有与角终边相同的角组成一个集合，
。
当k=0时，对应元素为。
例1.如图所示，已知角的终边为射线OA，分别作出角 的终边。
解：由角的定义可知，把角的终边OA逆时针方向旋转可得角的终边OB,把角的终边OA顺时针方向旋转可得角的终边OC,把角的终边OA逆时针方向旋转可得角的终边OD。
例2.分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足不等式的元素写出来。
解：（1）
解不等式 得
所以k可取-1,0或1.因此S中满足的元素是
，，。
（2）
解不等式 得
所以k可取0，1或2.因此S中满足的元素是
，，
。
例3.写出终边在第一象限内的角的集合。
解：因为大于且小于的角的终边一定在第一象限，而且如果一个角的终边在第一象限，那么这个角的终边一定与 内的某个角的终边相同，因此终边在第一象限内的角的集合为
。
例4.写出终边在x轴上的角的集合。
解：在内，终边在x轴上的角有两个，即，与这
两个角终边相同的角组成的集合依次为
，
因为，
所以即集合S是终边在x轴上的角的集合。
练习：
写出终边在第二象限内的角的集合。
【答案】
思考：如果是第二象限角，则是第几象限角？
【答案】因为
所以，
所以是第一或第三象限角。
通过复习初中所学角的定义，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
由体操即思考1，引入角的另一种概念，提高学生的概括即理解能力。
通过讲解，进一步完善角的新定义，提高学生的概括、理解能力。
通过思考，进一步熟悉角的新定义，提高学生分析问题、概括能力。
通过练习，学生进一步理解象限角的定义，提高学生解决问题的能力。
通过尝试与发现，探索问题，进而得到终边相同的角的集合，提高学生分析问题的能力。
通过例题进一步讲解本节所学知识的运用，提高学生的利用所学知识解决问题的能力。
通过练习与思考，让学生进一步理解象限角的定义及表示，提高学生解决问题的能力。
三、达标检测
1.已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )
A．A＝B＝C B．A⊆C
C．A∩C＝B D．B∪C⊆C
【答案】D
【解析】由已知得BC，所以B∪C＝C，故D正确．
2．下列各个角中与2 019°终边相同的是( )
A．－149° B．679°
C．319° D．219°
【答案】D
【解析】因为2 019°＝360°×5＋219°，所以与2 019°终边相同的角是219°.
3．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________．
【答案】{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}
【解析】观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}．
4．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：
(1)－120°；(2)640°.
【解析】 (1)与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}．
当k＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°，
∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角．
(2)与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}．
当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°，
∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角．
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
四、小结
1. 角的定义；
2.终边相同的角的集合；
3.象限角的定义及表示。
五、作业
习题7-1A 2题 7-1B 2题
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。