1.高一数学（人教B版）-角的推广-1教案

教学基本信息

课题

角的推广

学科

数学

学段： 高中

年级

高一

教材

书名：普通高中教科书数学必修第三册B版  出版社：人民教育出版社            出版日期：2019年7月

教学目标及教学重点、难点

本节课通过设置生活实例情境，回顾初中角的概念，通过旋转理解教的概念并进行教的推广，赋予角的加减运算的几何意义，进而引出象限角和终边相同的角.能够从中体会从特殊到一般，数形结合，类比的数学思想方法.培养数学抽象核心素养、的直观想象核心素养.培养发现、提出问题，分析问题，解决问题的能力.共设计三道例题.

教学过程(表格描述)

教学环节

主要教学活动

设置意图

引入

同学们，请观察这几幅动画，这些动画显示的是一些机械制部件在周而复始的做着旋转运动、平移运动.在实际生活中，旋转和平移是物体非常普遍的运动方式.我们知道可以用方向和距离来描述平移.那么如何描述旋转呢，今天我们就来学习用数学的眼光看旋转，用数学语言描述旋转.

通过将生活、生产中的实例引入课题，使学生体会数学来源于生活，激发学生学习兴趣.

新课

请同学们观察第一幅动画，回答:

问题1.请同学们用数学语言描述大齿轮的旋转运动.

初中学习过的旋转：在平面内,把一个图形绕点旋转一个角度，这样的图形变换叫作旋转,点叫作旋转中心,旋转的角叫作旋转角.

问题2.你对角有哪些认识？

定义：具有公共端点的两条射线构成的图形叫作角.

单位： 角度制

范围：

问题3. 大齿轮旋转一周，旋转了多度？

那么如何用数学语言描述“大齿轮的旋转一周”呢？

我们取大齿轮对应的这个圆的圆心记为旋转中心，在圆上任取一点，这样圆心与点构成射线，随着齿轮的旋转，射线围绕着点，旋转一周，终点恰与点重合，即射线与射线重合，这样我们就得到大齿轮旋转一周是.

问题4. 这三个齿轮的旋转有什么区别？若中号齿轮旋转两周，旋转多少度？

旋转方向，必要将角的概念进行推广.

问题5. 如何定义角的概念，才能满足对现实世界中旋转现象的描述？

定义：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边.

范围：任意角.

分类：按照逆时针方向旋转而成的角称为正角;

按照顺时针方向旋转而成的角称为负角;

当射线没有旋转时称为零角.

角是分正角、零角和负角的，实数是分正数、零和负数的，那么这两者有什么区别和联系呢？

观察课前展示的第二幅动画，回答：

问题6. 如何用数学语言描述绿色齿轮的旋转运动.

第一次旋转所成的角为，

第二次旋转所成的角为.

两次旋转的角的合成即为.

观察课前展示的第三幅动画，回答：

问题7.用数学语言描述棕色零部件的旋转运动.

第一次旋转所成的角即为

第二次旋转所成的角为

两次旋转的角的合成为

.

观察课前展示的第四幅动画, 回答：

问题8.如何用数学语言描述滑块，滑轨，横杆所做的运动.

滑块记作点，旋转中心记作点，滑块围绕着中心在做旋转运动；滑轨上任取点，横杆上任取点，滑块 相对于滑轨上点，在做纵向平移运动（上下平移），滑块P相对于横杆上的点，在做横向平移运动（左右平移）.

问题9. 如果确定了滑块的横向、纵向的平移量，是否可以确定滑块的旋转量（也就是可以确定点在圆上的位置？）？由此你联想到了什么?

可以确定点的位置，这使我们联想到在平面直角坐标系.

为了在同一参照系下简化角，我们约定：角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在轴的正半轴，角的终边上的点可以用坐标来表示

象限角：角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角.

请同学们在平面直角坐标系中，画出角，并写出他们所在的象限.

的终边在第一象限，它是第一象限角；的终边在第四象限，它是第四象限角.

问题10. 对于任意给定的一个角，它的终边的位置是否唯一确定？

那么反之，给定一个终边位置，它对应的角是否唯一确定？

如果不确定，你还能写出哪些角，我们以这个角为例，与终边相同的角，你还能写出哪些呢？

这无数个角具有什么共同特征呢？

与终边相同的角构成一个集合，这个集合可以记为

从几何角度看，与终边相同的角，具有怎样的几何特征呢？

当时，按逆时针方向旋转整数圈，当，按顺时针方向旋转整数圈，当，不做任何旋转.

如何表示与角终边相同的角的集合？

与角终边相同的角的集合：.

从代数角度分析：终边相同的角的差一定是的整数倍.

从几何角度分析：将角的终边按逆时针或顺时针方向旋转整数圈. 当时，按逆时针方向旋转整数圈，当，按顺时针方向旋转整数圈，当，不做任何旋转.

同时要注意这里的角是可以任意角.

温故而知新，通过复习初中所学的旋转和角的概念，培养学生将实际问题抽象为数学问题，抽象概括的能力.

培养学生能够用数学点的眼光看旋转，用数学语言描述旋转.

根据生产、生活中的实际问题抽象成了数学问题，根据实际需要，使学生理解角的推广的必要性.

用数学的眼光观察，发现问题，进而分析问题，用数学的方法解决问题.

将初中角的静态定义，用旋转这一运动变化的观点进行了推广,培养学生用动态的观点对角有更新的认识，培养抽象概括的能力.

通过类比实数加减运算的几何意义，分析了角的旋转合成即角的加减运算，使学生数形结合的思想方法，培养直观想象等数学核心素养.

为了简化角，将角放入直角坐标系内研究，得到了象限角的概念；使学生从数和形两个角度，加深了对角的概念的理解.培养了直观想象的数学素养.

根据从特殊到一般的认知规律，从数和形两个角度归纳得到了终边相同的角的特征,培养了学生归纳，概括的能力，体会数形结合等思想方法.

例题

例1. 如图，已知角的终边为射线，分别作出角的终边.

分析：将角α的终边顺时针方向旋转，得到的终边；

将角α的终边逆时针方向旋转，得到的终边.

例2.写出与角终边相同的角的集合，并把集合中满足不等式的角写出来.

.

.

例3.写出终边在轴上的角的集合.

,

.

如何从几何的角度，更加直观的理解集合.

当，将的终边顺时针方向旋转（半圈），终边落在轴的负半轴上，再顺时针旋转半圈，终边落在轴的正半轴上，也可以继续这样的旋转下去，角的终边始终落在轴上.

，的终边不做任何旋转.

练习题：写出终边在第一象限内的角的集合.

我们知道大于且小于的角的终边一定在第一象限，而且如果一个角的终边在第一象限，那么这个角的终边一定与内的某个角的终边相同，因此终边在第一象限内的角的集合.

加深对角的概念中两个关键要素(旋转方向和旋转的绝对量)的理解，使学生体会利用图像解题的便捷性.

便于加深学生对角的概念的理解和应用.

总结

首先我们根据生产、生活中的实际问题抽象成了数学问题，根据实际需要，将初中角的静态定义，用旋转这一运动变化的观点进行了推广；再通过类比实数加减运算的几何意义，分析了角的旋转合成即角的加减运算；为了简化角，我们将角放入直角坐标系内研究，得到了象限角的概念；接着，我们根据从特殊到一般的认知规律，从数和形两个角度归纳得到了终边相同的角的特征.希望同学们能够通过旋转运动，更好的理解教的概念并加以应用.

回顾角的概念的推广过程，使学生更好用运动旋转的观点的对角的概念加以理解.

作业

1.分别写出与下列各角终边相同的角的集合,并把集合中满足不等式的元素写出来.

2.在平面直角坐标系中，集合 中的元素所表示的角的终边在哪些位置？

3.写出终边在第二、第三、第四象限内的角的集合.

巩固、复习角的概念，终边相同的角的概念.