人教B版 (2019)必修 第三册弧度制及其与角度制的换算教案及反思

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册弧度制及其与角度制的换算教案及反思，共5页。教案主要包含了复习回顾，情境导入，探究新知，典例分析，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。
一、复习回顾
上节课我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角.这些角都是用“度”来度量的，这种用度作单位来度量角的制度称为角度制.回忆一下，在角度制中，1度的角是如何定义的？弧长公式与扇形的面积公式分别是什么？
思考：在我们度量长度时，有时用“米”作单位，有时用“尺”作单位，有不同的单位制，度量质量时，可以使用“千克”“磅”等不同的单位制，角除了使用角度来度量外，是否还有其他度量角的制度呢？
二、情境导入
如图，是一种折叠扇.折叠扇打开、合拢的过程可以抽象成扇形圆心角的变大、变小.那么在这个过程中，扇形的什么量在发生变化？什么量没发生变化？由此你能想到度量角的其他办法吗？
三、探究新知
1.弧度制.
（1）请大家思考角度制是如何定义的？
使用角度来度量角时，是把圆周等分为360份，其中每一份所对应的圆心角为1度，这种用度作单位来度量角的制度称为角度制.角度制下规定1度等于60分，1分等于60秒，即
.
设计意图：回顾角度制，为引入弧度制奠定基础.使用角度来度量角，其关键是“等分”.考虑到面积、体积等都可以通过线的长度来刻画，那么，能否用“测量长度”来代替“等分”？通过类比，让学生理解弧度制引入的可能性.
将折叠扇抽象为如图（1）所示的图形，可以看出，弧AB与弧都与角对应，但时，它们的弧长与始终不相等，其原因在于.
一般地，如果角是由射线OP绕它的端点旋转形成的，如图（2）所示，则在旋转的过程中，射线的任意一点（端点除外）必然形成一条圆弧，不同的点所形成的圆弧长度不同，但这些圆弧对应同一个角.可以猜想，这些弧的长与弧所在的圆的半径的比值是一个常数，即定值.
事实上，设，弧AB的长为l，半径，则，因此
.
这个等式右端不包含半径，这表示弧长比半径的值不依赖于半径，而只与角的大小有关系.
我们称弧长与半径的比值的这个常数为圆心角的弧度数.因此，长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1rad.
如图所示，动态演示1弧度角、2弧度角、弧度角的生成过程.
设计意图：明确给出1弧度角的定义，借助多媒体演示，直观感受角的大小.
如前所述，这样规定出来的1弧度的角大小是完全确定的，这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制.
（2）角的弧度数的计算公式.
由弧度制的定义可得，在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为，则
.
由此也可以得到，即弧长等于其所对应的圆心角的弧度数与半径的积.
注意：今后在用弧度制表示角的时候，“弧度”二字或rad可以省略不写，而只写这个角对应的弧度数.
设计意图：明确弧度的计算公式和弧长公式，进一步体会弧度制的概念.
2.弧度制与角度制的换算.
根据弧度制的定义思考如下问题：
（1）一个周角对应的弧度数应是多少？
（2）一般地，弧度制与角度制之间怎样进行换算？
因为半径为r的圆的周长为，根据弧度制的定义，其对应的弧度数应该是，因此有，因此可得如下公式：.
设一个角的角度数为n，弧度数为，则有如下的换算公式：
.
根据上述公式，可以得出：.
设计意图：掌握角度制与弧度制的换算公式.
四、典例分析
例1 把，，化成弧度（用表示），并在平面直角坐标系中作出它们的终边.
分析：利用进行转化.
解：设角的弧度数为，则，所以，即，对应的角的终边为图中的射线OA.
类似地，有，它们的终边分别为图中的射线.
设计意图：熟练掌握角度制化弧度制的方法.同时从直观上感受1弧度的角要略小于60°的角.
例2 把化成角度数.
分析：利用进行转化.
解：设，则，因此，即.
设计意图：熟练掌握弧度制化角度制的方法.
例3 利用弧度制推导扇形的面积公式其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径.
分析：根据扇形的面积与圆的面积的比推导扇形的面积公式.
解：设扇形的圆心角为，则扇形的面积为.又因为，所以.
设计意图：本例的引入既可以进一步理解角度与弧度的互化公式，感受从角度制到弧度制发生的变化，看到弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式得到了大大简化，这是弧度制优越性的又一个体现.
注意：1.弧度制下扇形的面积公式与三角形的面积公式对比，可以将扇形看成一个曲边三角形.
2.扇形面积的另一个计算公式：.
五、课堂小结
1.弧度制的概念以及角的弧度数的计算公式.
2.弧度制与角度制的换算公式.
3.角度制与弧度制下弧长公式与扇形的面积公式
对比：
设计意图：帮助学生理清知识结构，掌握内在联系，体会数学思想方法，对学生构建自己的知识体系有很大帮助.
六、布置作业
1.教材第12页练习B第1~6题.
2.拓展作业：请同学们到阅览室或网上查找古今中外角的单位制度的相关知识，整理并相互交流.
设计意图：课堂的拓展与延伸，强化学习效果.借助数学知识，渗透数学历史和文化.
板书设计
教学研讨
弧度制的引入对于有关角的问题的研究至关重要，弧度制以及1弧度的角的定义，是把角度和长度对应起来了，也就把角度与实数对应起来了，尤其是为后续三角函数概念的给出奠定了基础.因此本节教学很重要的一个目标就是要让学生明白这一点.
角有了两种度量制，角度制与弧度制的互化必须要清楚，尤其是有了弧度制后，扇形的面积公式和弧长公式都得到了简化，在课堂上，通过反复练习，学生掌握的还可以，尤其是要让学生快速掌握特殊角的弧度数.
在课堂上，学生对弧度制的引入以及两种度量制度的互化掌握得很快，效果很好.
角度制
弧长公式：
扇形的面积公式：
弧度制
弧长公式：
扇形的面积公式：
7.1.2弧度制及其与角度制的换算
1.弧度制
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角
2.弧度制与角度制的换算
3.弧长公式和扇形的面积公式
设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为 ，则
例1
例2
例3