2024-2025学年上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学高二下学期第二次学情调研数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学高二下学期第二次学情调研数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若事件E与事件F相互独立，且P(E)=P(F)=14，则P(E∩F)=( )
A. 116B. 18C. 316D. 14
2.已知曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解，则下列命题中正确的是( )
A. 曲线C是方程F(x,y)=0的解
B. 不在曲线C上的点的坐标一定不是方程F(x,y)=0的解
C. 凡坐标不满足方程F(x,y)=0的点都不在曲线C上
D. 以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上
3.某物理量的测量结果服从正态分布N10,σ2(σ>0)，则下列结论中不正确的是( )
A. σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.8,10.2)内的概率越大
B. 该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C. 该物理量在一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等
D. 该物理量在一次测量中结果落在(9.8,10.2)与落在(10,10.4)的概率相等
4.若存在实常数k和b，使得函数F(x)和G(x)对其公共定义域上的任意实数x都满足：G(x)≤kx+b≤F(x)恒成立，则称此直线y=kx+b为F(x)和G(x)的“隔离直线”，已知函数f(x)=x2(x∈R)，g(x)=1x(x0)，有下列两个命题：
命题α：f(x)和ℎ(x)之间存在唯一的“隔离直线”y=2 ex−e；
命题β：f(x)和g(x)之间存在“隔离直线”，且b的最小值是−1.( )
A. 命题α、命题β都是真命题B. 命题α为真命题，命题β是假命题
C. 命题α为假命题，命题β是真命题D. 命题α、命题β都是假命题
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.抛物线y=4x2的准线方程为 ．
6.已知C203x=C20x+4,则x=
7.(1−2x)5的展开式中，x2项的系数为 ．
8.某次比赛中，9名评委对选手表现进行百分制打分，将选手的9个得分去掉一个最高分，去掉一个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场工作人员做了9个分数的茎叶图，后来一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示(见下图)，则x的值为 ．
9.某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第5个零件编号是 ．
0647 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410
9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179
10.已知随机变量X服从二项分布B～(n,p)，若E(X)=30，D(X)=20，则P= ．
11.在一个不透明的盒中装着标有数字1，2，3，4的大小与质地都相同的小球各2个，现从该盒中一次取出2个球，设事件A为“取出2个球的数字之和大于5”，事件B为“取出的2个球中最小数字是2”，则P(B|A)= ．
12.我校去年11月份，高二年级有9人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余4人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有 种不同的选法
13.设点A在直线 5x−y−1=0上，点B在函数f(x)=lnx的图象上，则|AB|的最小值为 ．
14.已知函数y=f(x)的定义域D={ 1, 2, 3, 4 }，值域A={ 5, 6, 7 }，则函数y=f(x)为增函数的概率是 ．
15.已知f(x)=−12x2+6x−8lnx在[m,m+1]上不单调，则实数m的取值范围是 ．
16.已知椭圆C:x24+y23=1的右焦点为F，P，Q在椭圆上且关于原点对称，则1|PF|+1|QF|的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
假定某同学每次投篮命中的概率为23，
(1)若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率；
(2)该同学现有4次投篮机会，若连续投中2次，即停止投篮，否则投篮4次，求投篮次数X的概率分布及数学期望．
18.(本小题14分)
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象过(0,1)，在(2,f(2))处的切线方程为4x−y−5=0．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若关于x的不等式f(x)−x2>t在区间[−1,2]上恒成立，求实数t的取值范围．
19.(本小题12分)
半程马拉松是一项长跑比赛项目，长度为21.0975公里，为全程马拉松距离的一半．20世纪50年代，一些赛事组织者设立了半程马拉松，自那时起，半程马拉松的受欢迎程度大幅提升．某调研机构为了了解人们对“半程马拉松”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“半程马拉松”知识竞赛，将参与知识竞赛者按年龄分成5组，其中第一组[20,25)，第二组[25,30)，第三组[30,35)，第四组[35,40)，第五组[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，估计参与知识竞赛者的平均年龄(结论精确到个位)；
(2)现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“半程马拉松”宣传使者．若有甲(年龄36)，乙(年龄42)两人已确定入选为宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选为组长的概率；
(3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计年龄在[35,45]内的所有参与知识竞赛者的年龄的平均数和方差．
20.(本小题14分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，左、右焦点分别为F1、F2，且当点P在C上移动时，∠F1PF2的最大值为90∘.直线l:y=kx+m与椭圆交于不同的两点A、B，与圆x2+y2=23相切于点M．
(1)求椭圆C的方程；
(2)证明：OA⊥OB(其中O为坐标原点)；
(3)设λ=|AM||BM|，求实数λ的取值范围．
21.(本小题14分)
定义：如果函数f(x)在定义域内，存在极大值fx1和极小值fx2，且存在一个常数k，使fx1−fx2=kx1−x2成立，则称函数f(x)为极值可差比函数，常数k称为该函数的极值差比系数.已知函数f(x)=x−1x−alnx．
(1)当a=52时，判断f(x)是否为极值可差比函数，并说明理由；
(2)是否存在a使f(x)的极值差比系数为2−a？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；
(3)若3 22≤a≤52，求f(x)的极值差比系数的取值范围．
参考答案
1.C
2.C
3.D
4.B
5.y=−116
6.2或4
7.40
8.4
9.11
10.13
11.25/0.4
12.216
13. 612ln5
14.112
15.(1,2)∪(3,4)
16.1,43
17.(1)令投中i次的概率为P(Y=i)，
则P(Y=2)=C422321−232=827；
(2)X的可能取值为2、3、4，
P(X=2)=232=49，
P(X=3)=1−23232=427，
P(X=4)=1−P(X=2)−P(X=3)=1−49−427=1127，
故X的概率分布为：
其数学期望E(X)=2×49+3×427+4×1127=8027．
18.解：(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c，得f′(x)=3x2+2ax+b，
因为在(2,f(2))处的切线方程为4x−y−5=0，
所以f′(2)=4，f(2)=3，
所以12+4a+b=4,8+4a+2b+c=3，
因为函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图像过(0,1)，
所以c=1，所以解得a=−52,b=2，
所以f(x)=x3−52x2+2x+1，
(2)令g(x)=f(x)−x2=x3−52x2+2x+1−x2=x3−72x2+2x+1，则
g′(x)=3x2−7x2+2，令g′(x)=0，即(x−2)(3x−1)=0，得x=2或x=13，
当−1≤x0，当13t在区间[−1,2]上恒成立，
所以只要t0)，
则f′(x)=1+1x2−52x=(2x−1)(x−2)2x2
当x∈0,12∪(2,+∞)时，f′(x)>0，当x∈12,2，f′(x)0x1+x2=ax1x2=1，解得a>2，不妨设x11，
因为fx1−fx2=x1−1x1−alnx1−x2−1x2−alnx2
=x1−x21+1x1x2−alnx1x2
=2x1−x2−alnx1x2=2−ax1−x2lnx1x2x1−x2，
所以2−a=2−ax1−x2lnx1x2，从而1x1−x2lnx1x2=1，得x2−1x2−2lnx2=0(∗)
令g(x)=x−1x−2lnx(x>1)，g′(x)=x2−2x+1x2=(x−1)2x2>0，
所以g(x)在(1,+∞)上是严格增函数，所以g(x)>g(1)=0，
因此(∗)无解，所以不存在a使f(x)的极值差比系数为2−a；
(3)由(2)知极值差比系数为2−ax1−x2lnx1x2，即2−x1+x2x1−x2lnx1x2，
不妨设00，所以p(t)在14,12上单调递增，所以p14≤p(t)≤p12，
即2−103ln2≤p(t)≤2−3ln2，
所以f(x)的极值差比系数的取值范围为2−103ln2,2−3ln2．
X
2
3
4
P
49
427
1127