上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学2024-2025学年高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学2024-2025学年高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.函数y=sin(x−π3)的图象在区间(0,π]上的对称轴方程为( )
A. x=π6B. x=π3C. x=2π3D. x=5π6
2.已知α，β均为第二象限角，则“csα>csβ”是“sinα>sinβ”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.在△ABC中，cs2B2=a+c2c，(a,b,c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A. 正三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形
4.已知函数f(x)=sin(ωx−π3)(ω>0)，x=π6是y=f(x)图象的一条对称轴，且f(x)在(0,π12)上单调，则ω为( )
A. 2B. 5C. 8D. 11
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
5.已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为______．
6.设角α终边上一点P(−4a,3a)(a≠0)，则sinα的值为______．
7.若x1=π4,x2=π是函数f(x)=sin(ωx−π3)(ω>0)两个相邻的零点，则ω的值为______．
8.函数y=|sina|sina+2csa|csa|+|tana|tana的值域为______．
9.已知tan(α−π4)=2，则sinα−csαsinα+csα= ______．
10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3a=2c,csB=13，则sinAsinB= ______．
11.已知tanαtanβ=2，cs(α−β)=13，则cs(α+β)= ______．
12.已知函数f(x)=csx⋅sinx+ 3cs2x− 32，则函数f(x)在[−π2,π2]上的单调递增区间为：______．
13.函数f(x)=2sin(π3+4x)+sin(4x−π6)的最大值为______．
14.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 3asinB=b(2+csA)，若△ABC的面积等于 3，则△ABC的周长的最小值为______．
15.某数学建模小组模拟“月距法“测量经度的一个步骤.如图所示，点A，B，C，D，H均在同一个竖直平面内，点A，B分别代表“月球“与“轩辕十四“(恒星名).组员在地面C处测得轩䢂十四的仰角∠BCD=40°，随后向着两“天体“方向前进4米至D处，测得两“天体“的仰角分别为∠ADH=30°、∠BDH=75°.若“月球“距离地衣的高度AH为3米，则“轩辕十四“到“月球“的距离约为______．
16.在△ABC中，sinA− 2sinB=0，sinA⋅sinB= 2sinC，则csA= ______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点(−1,−2)．
(1)求tanα和sin2α的值；
(2)求sin(π2+α)+cs(π2−α)2sin(π−α)+sin(32π+α)的值．
18.(本小题14分)
设函数f(x)=2sin(2x−π6)．
(1)求函数f(x)的最小正周期和对称轴方程；
(2)求函数在x∈[0,π2]上的最大值与最小值及相对应的x的值．
19.(本小题14分)
与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔AB的高度，该小组同学在塔底B的东南方向上选取两个测量点C与D，测得CD=230米，在C、D两处测得塔顶的仰角分别为∠ACB=α=63°，∠ADB=β=27°(如图1)，已知tan63°tan27°=1，tan63°≈1.96，tan27°≈0.51，
(1)请计算天宁宝塔AB的高度(四舍五入保留整数)；
(2)为庆祝某重大节日，在塔上A到E处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.已知AE=53米，塔高AB直接取(1)的整数结果，市民在塔底B的东南方向的F处欣赏“灯光秀”(如图2)，请问当BF为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角θ最大？(结果保留根式)
【注】可能用到的基本事实有：对于锐角θ，θ越大，则tanθ越大，反之亦然；对任意河个锐角θ1，θ2，总有tan(θ1−θ2)=tanθ1−tanθ21+tanθ1tanθ2成立．
20.(本小题18分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(2a− 3c)csB= 3bcsC．
(1)求角B的大小；
(2)若c= 3，a+b=2，求△ABC的面积；
(3)若a=2，且△ABC为锐角三角形，求△ABC的周长的取值范围．
21.(本小题18分)
已知函数f(x)= 3sinωx⋅csωx−cs2ωx+12(ω>0)的最小正周期为π．
(1)求f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)=2x+1，若对任意的x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,7π12]，使得g(x1)=f(x2)+a成立，求a的取值范围；
(3)若函数u(x)=8[f(x)]2−8mf(x)+m在[0,7π12]上有3个零点，求m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：x∈(0,π]⇒x−π3∈(−π3，2π3]，
令x−π3=π2，解得x=5π6．
故选：D．
利用正弦函数的对称性列式求解即可．
本题考查正弦函数的对称性，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由于α、β均为第二象限角，当sinα>sinβ>0，
可得sin2α>sin2β，
根据同角三角函数的关系式可得1−cs2α>1−cs2β，
由于csαcsβ，且α、β均为第二象限角，
所以0>csα>csβ，
故cs2αsinβ>0，故充分性成立；
则“csα>csβ”是“sinα>sinβ”的充要条件．
故选：C．
直接利用同角三角函数关系式的变换以及充分性和必要性的应用求出结果．
本题考查的知识点：同角三角函数的关系式的变换，充分性和必要性的应用，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵cs2B2=a+c2c，∴csB+12=a+c2c，∴csB=ac，
∴a2+c2−b22ac=ac，
∴a2+c2−b2=2a2，即a2+b2=c2，
∴△ABC为直角三角形．
故选：B．
利用二倍角公式代入cs2B2=a+c2c求得csB=ac，进而利用余弦定理化简整理求得a2+b2=c2，根据勾股定理判断出三角形为直角三角形．
本题主要考查了三角形的形状判断．考查了学生对余弦定理即变形公式的灵活利用．
4.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=sin(ωx−π3)(ω>0)，x=π6是y=f(x)图象的一条对称轴，
因为函数f(x)在(0,π12)上单调，ωx−π3∈(−π3,π12ω−π3)，
所以π12ω−π3≤π2，得00)，
T=2πω=2×(π−π4)=3π2，解得ω=43．
故答案为：43．
根据周期的计算公式即可求解．
本题考查了三角函数的性质，属于基础题．
8.【答案】{−2,0,4}
【解析】解：因为函数y=|sina|sina+2csa|csa|+|tana|tana，
所以当a在坐标轴上时，函数无意义；
当a在第一象限时，y=|sina|sina+2csa|csa|+|tana|tana=sinasina+2csacsa+tanatana=1+2+1=4；
当a在第二象限时，y=|sina|sina+2csa|csa|+|tana|tana=sinasina+2csa−csa+−tanatana=1−2−1=−2；
当a在第三象限时，y=|sina|sina+2csa|csa|+|tana|tana=−sinasina+2csa−csa+tanatana=−1−2+1=−2；
当a在第四象限时，y=|sina|sina+2csa|csa|+|tana|tana=−sinasina+2csacsa+−tanatana=−1+2−1=0．
综上，函数的值域为{−2,0,4}．
故答案为：{−2,0,4}．
根据角所在的象限讨论，即可去掉绝对值，得出值域．
本题考查三角函数的定义应用，属于基础题．
9.【答案】2
【解析】解：sinα−csαsinα+csα=tanα−1tanα+1=tanα−tanπ41+tanα⋅tanπ4=tan(α−π4)=2．
故答案为：2．
逆用两角和与差的正切公式即可．
本题考查切弦互化以及两角差的正切公式，属于中档题．
10.【答案】23
【解析】解：在△ABC中，因为3a=2c，可得c=32a，csB=13，
由余弦定理可得b2=a2+c2−2accsB=a2+94a2−2a⋅32a⋅13=94a2，
可得ab=23，
由正弦定理得sinAsinB=ab=23．
故答案为：23．
利用余弦定理、正弦定理角化边求解即得．
本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于基础题．
11.【答案】−19
【解析】解：因为tanαtanβ=sinα⋅sinβcsα⋅csβ=2，
所以sinαsinβ=2csαcsβ，①
又cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ=3csαcsβ=13，
所以csαcsβ=19，②
将②代入①，得sinαsinβ=29，
故cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ=−19．
故答案为：−19．
根据两角差的余弦可求csαcsβ，sinαsinβ的关系，结合tanαtanβ=2可求得csαcsβ，sinαsinβ的值，进而可求cs(α+β)的值．
本题考查两角和与差的三角函数，为中档题．
12.【答案】[−5π12,π12]
【解析】解：因为f(x)=sinxcsx+ 3cs2x− 32
=12sin2x+ 3(1+cs2x)2− 32=12sin2x+ 32cs2x=sin(2x+π3)，
由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，
可得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z，令k=0，则−5π12≤x≤π12，
又因为x∈[−π2,π2]，故单调增区间为[−5π12,π12]．
故答案为：[−5π12,π12]．
化简得f(x)=sin(2x+π3)，再根据正弦函数性质即可求出其增区间．
本题主要考查了正弦函数单调性的求解，属于基础题．
13.【答案】 5
【解析】解：f(x)=2sin(π3+4x)+sin(4x−π6)=2sin(π3+4x)−cs(4x−π6+π2)
=2sin(π3+4x)−cs(4x+π3)= 5sin(4x+π3−φ)，其中tanφ=12，
当4x+π3−φ=π2+2kπ,k∈Z时，即x=π24+φ4+kπ2,k∈Z，
函数f(x)取得最大值 5．
故答案为： 5．
根据两角差的正弦公式，化简得到f(x)= 5sin(4x+π3−φ)，即可求解．
本题考查三角函数的性质，属于基础题．
14.【答案】2 3+4
【解析】解：根据 3asinB=b(2+csA)，由正弦定理得 3sinAsinB=sinB(2+csA)，
结合sinB≠0，可得 3sinA=2+csA，即 3sinA−csA=2，
所以2(sinAcsπ6−csAsinπ6)=2，即2sin(A−π6)=2，sin(A−π6)=1．
因为−π6