上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学2024-2025学年高一下学期三月月考 数学试卷（含解析）

这是一份上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学2024-2025学年高一下学期三月月考 数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了本试卷共4页,共21题， 已知，则__________， 已知，，则________．等内容，欢迎下载使用。
考试时长：120分钟 分值：150分
考生注意：
1.本试卷共4页,共21题.
2.本考试分设试卷和答题纸,试卷包括试题与答题要求,作答必涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.
3.答卷前,务必用黑色水笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号.
一、填空题（本大题共有12题,满分54分、第1题至第6题每题4分,第7题至第12题每题5分.）
1. 已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为______________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据扇形的弧长公式求值即可.
【详解】由扇形弧长公式可得：.
所以扇形圆心角为：弧度.
故答案为：
2. 设角终边上一点，则的值为_______．
【答案】或
【解析】
【分析】根据任意角三角函数定义计算即可.
【详解】当时，；
当时，．
故答案为：或.
3. 若是函数两个相邻的零点，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据周期的计算公式即可求解.
【详解】由题意得函数的最小正周期
，解得．
故答案为：
4. 函数的值域为_________
【答案】
【解析】
【分析】根据角所在象限讨论，即可去掉绝对值，得出值域.
【详解】当在第一象限时，，
当在第二象限时，，
当在第三象限时，，
当在第四象限时，，
当在坐标轴上时，函数无意义，
综上，函数的值域为.
故答案为：.
5. 已知，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用正切函数的和差公式求得，再利用正余弦函数的齐次式法即可得解.
【详解】因为，
所以，
则.
故答案为：.
6. 在中，角所对的边分别为，且，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦定理、正弦定理角化边求解即得.
【详解】在中，由及余弦定理，得，
由正弦定理得.
故答案为：
7. 已知，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，切化弦，再利用和差角的余弦公式求解.
【详解】依题意，，则，
由，得，解得，
所以.
故答案为：
8. 已知函数，则函数在上的单调递增区间为：________________.
【答案】
【解析】
【分析】化简得，再根据正弦函数性质即可求出其增区间.
【详解】
，
由，，
可得，，令，则，
又因为，则其在上单调增区间为.
故答案为：.
9. 函数的最大值为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据两角差的正弦公式，化简得到，即可求解.
【详解】由
当时，即
所以的最大值为：
故答案为：
10. 已知的内角的对边分别为，且，若的面积等于，则的周长的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理可得，求出，再由余弦定理结合三角形面积公式可得，最后利用基本不等式求解即可.
【详解】因为，
所以由正弦定理得，因为，
所以，即，
因为，所以，解得
因为的面积等于，则，得，
在中，由余弦定理得
的周长为，
当且仅当时等号成立，
综上所述，当且仅当是以为顶角的等腰三角形时，
的周长取到最小值，且最小值为．
故答案为：.
11. 某数学建模小组模拟"月距法"测量经度的一个步骤.如图所示，点均在同一个竖直平面内，点分别代表"月球"与"轩辕十四"（恒星名）.组员在地面处测得轩䢂十四的仰角，随后向着两"天体"方向前进4米至处，测得两"天体"的仰角分别为、.若"月球"距离地衣的高度为3米，则"轩辕十四"到"月球"的距离约为__________.
【答案】米
【解析】
【分析】根据题意先在直角三角形中求出，在中利用正弦定理求出，然后在中利用余弦定理可求出，从而可得答案.
【详解】在中，，，则，
因为，所以，
因为，
所以
在中，由正弦定理得，，
所以，
在中，，
由余弦定理得
，
所以米.
故答案为：米
12. 在中，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】先利用正、余弦定理求出，再利用同角三角函数的基本关系可推出各边之间的关系，最后利用余弦定理即可求得答案.
【详解】设的内角的对边分别为，根据以及正弦定理，
得，即．
根据以及正弦定理，得，
所以，．
又，所以，化简得，
所以，于是．
由余弦定理，得．
故答案：
二、选择题（本大题共有4题,满分18分,题有且只有一个正确答案,第13、14题每题4分,第15、16题每题5分.）
13. 函数的图象在区间上的对称轴方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用整体思想，结合正弦函数的对称轴，建立方程，可得答案.
【详解】令，解得，当时，，
故函数在区间上的对称轴方程为．
故选：D.
14. 已知均为第二象限角，则“”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知角所在象限，分析余弦值大小关系与正弦值大小关系之间的逻辑联系
【详解】在第二象限，余弦函数值是负数且单调递减，正弦函数值是正数且单调递减.
已知α，β均为第二象限角，当时，根据余弦函数在第二象限的单调性可知 .
因为正弦函数在第二象限单调递减，当时，可得.
这说明由可以推出.
当时，根据正弦函数在第二象限单调递减可知，再根据余弦函数在第二象限单调递减，可得.
说明由也可以推出.
所以“”是“”的充分必要条件.
故选：C
15. 在中，（分别为角的对边），则的形状为（ ）
A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰三角形或直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件，利用倍角公式得到，再利用正弦定理角转边即可得出结果.
【详解】因为，所以，整理得到，
又由正弦定理，得到，
所以，得到，
又，所以，得到，又，所以，
故选：B.
16. 已知函数是图象的一条对称轴，且在上单调，则为（ ）
A. 2B. 5C. 8D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】利用的对称轴和在区间上的单调性，求得的值.
【详解】因为函数在上单调，
所以，得.
又直线为的图象的对称轴，
所以，
得，当时，.
故选：B.
三、解答题（本大题共有5题,满分78分,第17-19题每题14分,第20-21题每题18分）
17. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点．
（1）求和的值；
（2）求的值．
【答案】（1）2，
（2）1
【解析】
【分析】（1）由三角函数的定义和正弦二倍角公式即可求解；
（2）由诱导公式及同角商的关系即可求解；
【小问1详解】
因为角的终边经过点．由三角函数定义知
，．
∴．∴．
【小问2详解】
由诱导公式得
18. 设函数．
（1）求函数的最小正周期和对称轴方程；
（2）求函数在上的最大值与最小值及相对应的的值．
【答案】（1），
（2）最大值是2， 的最小值是，
【解析】
【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式可求最小正周期，利用整体法可求对称轴方程；
（2）由已知可得的范围，进而结合正弦曲线的性质可求得函数的最值及此时的值.
【小问1详解】
函数的最小正周期为，
由，可得，
所以函数的图象对称轴方程为．
【小问2详解】
由（1）知，在上，，
故当，即时，取得最大值2，
当，即时，取得最小值为，
故的最大值是2，此时的最小值是，此时．
19. 与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如图），已知.
（1）请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）；
（2）为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式）
【答案】（1）159米
（2）米
【解析】
【分析】（1）分别在和中，利用正切函数表示出，结合图形列方程可求出结果.
（2）由图，将表示为，设米，对取正切并化简，结合均值不等式可求得最大值.
【小问1详解】
在中，，得，
在中，，得，
因为，
所以，
解得米.
【小问2详解】
由图可知，设米，
则，，
，
当且仅当，即时等号成立.
根据题意，对于锐角越大，则越大，反之亦然，
显然，可得最大时最大.
答：当为米时，欣赏“灯光秀”的视角最大.
20. 在中，角所对的边分别为，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积；
（3）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式得到，即可得解；
（2）利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得；
（3）利用正弦定理将转化为关于的三角函数，结合三角形为锐角三角形求出的范围，即可求出的取值范围.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理可得，
∴，
∵，则，∴，又，∴；
【小问2详解】
因为，，
由余弦定理，即，
∴，解得，
∴；
【小问3详解】
在中，由正弦定理，
∴，
∴
，
又为锐角三角形，∴，
∴，∴，
∴，∴，∴，
故周长的取值范围为
21. 已知函数的最小正周期为．
（1）求的解析式；
（2）设函数,若对任意的,总存在,使得成立,求的取值范围；
（3）若函数在上有3个零点,求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简得，再由最小正周期为，求得，即可得到的解析式；
（2）利用指数函数和正弦函数的性质可得，的值域，再根据值域的包含关系列不等式组求解即可；
（3）由题意，令，则函数有两个零点，且的图象与直线，共有3个公共点，结合的图象求的取值范围即可.
【小问1详解】
因为
，
函数的最小正周期为，又，则，所以，
所以.
【小问2详解】
因为是增函数，当时，
当时，，则，
所以，
由题意可知，
则解得，即的取值范围为．
【小问3详解】
（3）令，由（2）知当时，，即，
则函数有两个零点，
且的图象与直线，共有3个公共点，
由的图象可知，当，时，，得，
由，得，，符合题意．
当，时，，解得，
综上，的取值范围为．