2024-2025学年上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.函数y=sin(x−π3)的图象在区间(0,π]上的对称轴方程为( )
A. x=π6B. x=π3C. x=2π3D. x=5π6
2.已知α，β均为第二象限角，则“csα>csβ”是“sinα>sinβ”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.在△ABC中，cs2B2=a+c2c，(a,b,c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A. 正三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形
4.已知函数f(x)=sin(ωx−π3)(ω>0)，x=π6是y=f(x)图象的一条对称轴，且f(x)在(0,π12)上单调，则ω为( )
A. 2B. 5C. 8D. 11
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为______．
6.设角α终边上一点P(−4a,3a)(a≠0)，则sinα的值为______．
7.若x1=π4,x2=π是函数f(x)=sin(ωx−π3)(ω>0)两个相邻的零点，则ω的值为______．
8.函数y=|sina|sina+2csa|csa|+|tana|tana的值域为______．
9.已知tan(α−π4)=2，则sinα−csαsinα+csα= ______．
10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3a=2c,csB=13，则sinAsinB= ______．
11.已知tanαtanβ=2，cs(α−β)=13，则cs(α+β)= ______．
12.已知函数f(x)=csx⋅sinx+ 3cs2x− 32，则函数f(x)在[−π2,π2]上的单调递增区间为：______．
13.函数f(x)=2sin(π3+4x)+sin(4x−π6)的最大值为______．
14.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 3asinB=b(2+csA)，若△ABC的面积等于 3，则△ABC的周长的最小值为______．
15.某数学建模小组模拟“月距法“测量经度的一个步骤.如图所示，点A，B，C，D，H均在同一个竖直平面内，点A，B分别代表“月球“与“轩辕十四“(恒星名).组员在地面C处测得轩䢂十四的仰角∠BCD=40°，随后向着两“天体“方向前进4米至D处，测得两“天体“的仰角分别为∠ADH=30°、∠BDH=75°.若“月球“距离地衣的高度AH为3米，则“轩辕十四“到“月球“的距离约为______．
16.在△ABC中，sinA− 2sinB=0，sinA⋅sinB= 2sinC，则csA= ______．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点(−1,−2)．
(1)求tanα和sin2α的值；
(2)求sin(π2+α)+cs(π2−α)2sin(π−α)+sin(32π+α)的值．
18.(本小题14分)
设函数f(x)=2sin(2x−π6)．
(1)求函数f(x)的最小正周期和对称轴方程；
(2)求函数在x∈[0,π2]上的最大值与最小值及相对应的x的值．
19.(本小题14分)
与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔AB的高度，该小组同学在塔底B的东南方向上选取两个测量点C与D，测得CD=230米，在C、D两处测得塔顶的仰角分别为∠ACB=α=63°，∠ADB=β=27°(如图1)，已知tan63°tan27°=1，tan63°≈1.96，tan27°≈0.51，
(1)请计算天宁宝塔AB的高度(四舍五入保留整数)；
(2)为庆祝某重大节日，在塔上A到E处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.已知AE=53米，塔高AB直接取(1)的整数结果，市民在塔底B的东南方向的F处欣赏“灯光秀”(如图2)，请问当BF为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角θ最大？(结果保留根式)
【注】可能用到的基本事实有：对于锐角θ，θ越大，则tanθ越大，反之亦然；对任意河个锐角θ1，θ2，总有tan(θ1−θ2)=tanθ1−tanθ21+tanθ1tanθ2成立．
20.(本小题14分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(2a− 3c)csB= 3bcsC．
(1)求角B的大小；
(2)若c= 3，a+b=2，求△ABC的面积；
(3)若a=2，且△ABC为锐角三角形，求△ABC的周长的取值范围．
21.(本小题14分)
已知函数f(x)= 3sinωx⋅csωx−cs2ωx+12(ω>0)的最小正周期为π．
(1)求f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)=2x+1，若对任意的x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,7π12]，使得g(x1)=f(x2)+a成立，求a的取值范围；
(3)若函数u(x)=8[f(x)]2−8mf(x)+m在[0,7π12]上有3个零点，求m的取值范围．
参考答案
1.D
2.C
3.B
4.B
5.32
6.−35或35
7.43
8.{−2,0,4}
9.2
10.23
11.−19
12.[−5π12,π12]
13. 5
14.2 3+4
米
16.− 33
17.解：(1)由三角函数定义知
sinα=yr=−2 (−1)2+(−2)2=−2 55，csα=xr=−1 (−1)2+(−2)2=− 55，
所以tanα=yx=2.∴sin2α=2sinαcsα=2×(−2 5)×(−1 5)=45；
(2)由已知得sin(π2+α)+cs(π2−α)2sin(π−α)+sin(32π+α)=csα+sinα2sinα−csα=1+tanα2tanα−1=1+22×2−1=1．
18.解：(1)函数f(x)=2sin(2x−π6)的最小正周期为T=2π2=π，
由2x−π6=kπ+π2，k∈Z，可得x=kπ2+π3，k∈Z，
所以函数f(x)的图象对称轴方程为x=kπ2+π3，k∈Z．
(2)由(1)知，在x∈[0,π2]上，2x−π6∈[−π6,5π6]，
故当2x−π6=π2，即x=π3时，f(x)取得最大值为2，
当2x−π6=−π6，即x=0时，f(x)取得最小值为−1，
故f(x)的最大值是2，此时x=π3，f(x)的最小值是−1，此时x=0．
19.解：(1)在Rt△ABC中，tanα=ABBC，得BC=ABtan63∘，
在Rt△ABD中，tanβ=ABBD，得BD=ABtan27∘，
因为CD=BD−BC，
所以230=ABtan27∘−ABtan63∘=AB⋅tan63°−tan27°tan63∘tan27∘
=AB(tan63°−tan27°)≈1.45AB，
解得AB≈159米．
(2)由图可知θ=∠AFB−∠EFB，设BF=x米，
则tan∠AFB=ABBF=159x，tan∠EFB=BEBF=AB−AEBF=159−53x=106x，
tanθ=tan(∠AFB−∠EFB)=tan∠AFB−tan∠EFB1+tan∠AFB⋅an∠EFB
=159x−106x1+159x⋅106x=53x+16854x≤532 x⋅16854x= 612，
当且仅当x=16854x，
即x=53 6时等号成立，
根据题意，对于锐角θ，θ越大，则tanθ越大，反之亦然，
显然θ∈(0,π2)，可得tanθ最大时θ最大，
答：当BF为53 6米时，欣赏“灯光秀”的视角θ最大．
20.解：(1)因为(2a− 3c)csB= 3bcsC，
在△ABC中，sinA=sin(B+C)，
由正弦定理可得(2sinA− 3sinC)csB= 3sinBcsC，
整理可得：2sinAcsB= 3sinBcsC+ 3csBsinC= 3(sinBcsC+csBsinC)= 3sin(B+C)= 3sinA，
因为A∈(0,π)，则sinA>0，
所以csB= 32，又B∈(0,π)，
所以B=π6；
(2)因为c= 3，a+b=2，
由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，
即a2+3−2a× 3× 32=b2，
所以a2+3−3a=(2−a)2，解得a=1，
所以12acsinB=12×1× 3×12= 34；
(3)在△ABC中，由正弦定理asinA=bsinB=csinC，a=2，B=π6，
可得2sinA=b12=csinC，
可得b=1sinA，c=2sinCsinA=2sin(B+A)sinA=2sin(π6+A)sinA=2(sinπ6csA+csπ6sinA)sinA= 3+csAsinA，
所以b+c=1+csAsinA+ 3=2cs2AA2sinA2csA2+ 3=1tanA2+ 3，
且△ABC为锐角三角形，
可得0