2025年高考数学三轮复习考前冲刺练习12 立体几何（选填题）（2份，原卷版+教师版）

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近三年新高考数学立体几何选填题考查情况总结​
考点：涵盖几何体体积（圆柱、圆锥、棱台、棱锥等，如2024年新课标Ⅰ卷圆锥体积、2023年新课标Ⅰ卷正四棱台体积）、表面积（圆锥侧面积等，如2023年新课标Ⅱ卷）、空间角（线面角，如2024年新课标Ⅱ卷）、球的表面积（2022年新课标Ⅱ卷）及几何体性质综合（如2022年新课标Ⅰ卷正四棱锥体积范围）。​
题型：以选择题为主，分值5分，侧重考查空间想象能力、公式运用及计算能力。
2025 年新高考立体几何选填题高考预测​
题型与分值：预计为选择题或填空题，分值 5-6 分。​
考查方向：延续对几何体体积、表面积的考查，可能涉及空间角（如线面角、二面角）、球与几何体的切接问题，或出现新颖几何体，强化空间想象与运算求解能力的考查。
平面初等几何基础
三角形的面积公式：
正方形的面积公式：
长方形的面积公式：
平行四边形的面积公式：
菱形的面积公式：（，为菱形的对角线）
梯形的面积公式：（为上底，为下底，为高）
圆的周长和面积公式：，
立体几何基础公式
所有椎体体积公式：
所有柱体体积公式：
球体体积公式：
球体表面积公式：
圆柱：
圆锥：
长方体（正方体、正四棱柱）的体对角线的公式
已知长宽高求体对角线：
已知三条面对角线求体对角线：
球体问题
球体体积公式：，球体表面积公式：
正方体、长方体、正四棱锥的外接球问题（类型Ⅰ）
球心体心，直径体对角线
已知长宽高，，求体对角线，公式为：
，
直棱柱的外接球问题（类型Ⅱ）
，其中为直棱柱的高，为底面外接圆半径（可用正弦定理求解）
墙角问题可转化为类型Ⅰ
侧棱底面问题可转化为类型Ⅱ
异面直线所成角
=
（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）
线面角
直线与平面所成角，(为平面的法向量).
二面角的平面角
（，为平面，的法向量）.
点到平面的距离
（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积.
【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以即，故，故圆锥的体积为.故选：B.
典例2
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系可得，进而可求正三棱锥的高，即可得结果.
【详解】解法一：分别取的中点，则，
可知，设正三棱台的为，
则，解得，如图，分别过作底面垂线，垂足为，设，
则，，
可得，结合等腰梯形可得,
即，解得，所以与平面ABC所成角的正切值为；
解法二：将正三棱台补成正三棱锥，
则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，因为，则，
可知，则，设正三棱锥的高为，则，解得，取底面ABC的中心为，则底面ABC，且，所以与平面ABC所成角的正切值.故选：B.
典例3
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ．
【答案】/
【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解.
【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，

因为，则，
故，则，所以所求体积为.故答案为：.
典例4
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为B．该圆锥的侧面积为
C．D．的面积为
【答案】AC
【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.
【详解】依题意，，，所以，
A选项，圆锥的体积为，A选项正确；
B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误；
C选项，设是的中点，连接，则，所以是二面角的平面角，则，所以，故，则，C选项正确；
D选项，，所以，D选项错误.故选：AC.

典例5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】∵球的体积为，所以球的半径,
[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,所以，
所以正四棱锥的体积，所以，
当时，，当时，，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，,所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以当且仅当取到，
当时，得，则当时，球心在正四棱锥高线上，此时，
，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是
典例6
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
故选：A．

【名校预测·第一题】（广东省深圳市高级中学2024-2025学年高三下学期第三次模拟试题）
底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为2的圆锥，所得圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【来源】广东省深圳市高级中学高中园2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试题
【分析】画出图形，由三角形相似比得到，再由两圆锥的侧面积之差计算可得.
【详解】如图，设截面圆的圆心为，截面圆的半径，底面圆半径，，
由于，所以，所以，
所以原圆台的侧面积为，故选：A.
【名校预测·第二题】（湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟试卷）
一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷
【分析】根据给定条件，利用球的截面圆性质及圆锥的体积公式列出函数关系，再利用导数求解.
【详解】
如图，根据题意，圆锥高为，底面圆半径，外接球球心为，半径，则球心到圆锥底面圆心距离，由，得，圆锥的体积，
求导得，当时，，函数在上递增，
当时，，函数在上递减，则当时，圆锥的体积最大，此时底面圆半径.故选：B
【名校预测·第三题】（山东省泰安第一中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题）
已知两个正四棱锥组合成的简单几何体中，顶点，分别位于平面的两侧．其中正方形的边长为2，两个正四棱锥的侧棱长均为3．则四棱锥的外接球的表面积为 ．
【答案】
【来源】山东省泰安第一中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题
【分析】建立适当的空间直角坐标系，结合空间中两点距离公式即可得到球的半径，从而利用球的表面积公式得到结果.
【详解】连结，交于点，连结，由正四棱锥性质可知平面，平面，所以三点共线，又四边形是正方形，可得两两垂直，且交于点.以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
由，在中，，
则，
设四棱锥的外接球球心为，连接，则，
得，解得，
所以四棱锥的外接球的半径的平方为，故四棱锥的外接球的表面积为.故答案为：.
【名校预测·第四题】（吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三下学期试题）
（多选）已知边长为2的等边三角形，点均在平面的上方，，且与平面所成角分别为，则下列说法中正确的是（ ）
A．四面体的体积为定值
B．面积的最小值为
C．四面体体积的最大值为1
D．当四面体的体积最大时，其外接球的表面积为
【答案】BCD
【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2024-2025学年高三下学期期初考试数学试题
【分析】由三棱锥体积公式计算即可判断A项，由三角形面积公式及范围计算即可判断B项，当取最大值且面时四面体体积取得最大值即可判断C项，当四面体体积最大时，，，两两垂直，进而借助模型（长方体外接球直径为其体对角线长）即可求得半径，进而可求得外接球表面积即可判断D项.
【详解】由题意知，与是共轴的圆锥母线，如图所示，
对于A项，由题意知，因为且与平面所成角为，所以点到平面的距离为定值，所以四面体ABCM的体积为定值，故A项错误；
对于B项，与是共轴的圆锥母线，所以，即，
当时，的面积最小，最小值为，故B项正确；
对于C项，当时，的面积最大，最大值为，当所在平面旋转至与垂直时，四面体ABMN的高最长，最长值为2，所以体积的最大值为，故C项正确；
对于D项，当四面体体积最大时，线段，，两两垂直，所以其外接球直径，所以外接球的表面积为，故D项正确．故选：BCD．
【名校预测·第五题】（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年数学试题）
如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，P为的中点，点满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则四面体的体积为定值
B．若，则点的轨迹为一段圆弧
C．若的外心为O，则为定值2
D．若且，则存在点E在线段上，使得的最小值为
【答案】ABD
【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期开学检测数学试题
【分析】利用平行线的性质结合给定条件判断底面积和高都是定值来处理A，利用圆的定义结合夹角求解轨迹来处理B，利用三角形外心和向量数量积的性质判断C，将三角形翻折后，利用勾股定理和余弦定理判断D即可.
【详解】对于A，如图，取靠近的三等分点为，靠近的三等分点为，连接，
因为，所以，令，而，则，得到，因为靠近的三等分点为，靠近的三等分点为，所以，而由直四棱柱性质得，而，由勾股定理得，在直四棱柱中，，，得到四边形是平行四边形，故，则，由题意得为的中点，则的面积是定值，而面，面，所以面，结合，由线面平行性质得到面的距离为定值，即四面体的体积为定值，故A正确，
对于B，如图，在面中，过作，连接，由直四棱柱性质得面，则，
而，面，故面，则，而面为菱形，则面为菱形，因为，所以，因为，所以，则，
由锐角三角函数定义得，解得，由勾股定理得，因为，所以由勾股定理得，则在以为圆心，为半径的圆上运动，设该圆与交于，与交于，由三角函数定义得，则，即点的轨迹为一段圆弧，故B正确，对于C，如图，作，由题意得的外心为，故是的中点，
由已知得，因为，所以，而，
，故C错误，
对于D，若且，此时，因为P为的中点，所以，
由向量加法法则得，故，则点与点重合，此时把沿着翻折，
如图，使得四点共面，此时有最小值，
此时的点均为翻折过的点，因为P为的中点，所以，由勾股定理得，如图，连接，
由已知得，则，由余弦定理得，解得，
由直四棱柱性质得面，则，则由勾股定理得，
则，故，而，则，得到，
由余弦定理得，解得，故D正确.故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于根据所给条件结合线面位置关系确定点的轨迹，再结合锥体体积公式，空间图形与平面图形的转化解决问题即可.
【名师押题·第一题】如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】检验所给定条件，结合正四棱台的结构特征求出正四棱台的高扩底面边长，再利用台体的体积公式计算得解.
【详解】设，则，正四棱台的各个侧面都为等腰梯形，上､下底面为正方形，
在四边形中，过点作于点，，则，
，解得，
在平面中，过点作于点，则为正四棱台的高，且，因此，该正四棱台的体积为.故选：D
【名师押题·第二题】如图，已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为，杯底的半径为，高为，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为的球（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出圆台上面部分的体积，根据小球的体积恰好等于的体积求出球的半径.
【详解】如图，，又放入的球的半径为，由于圆台的体积，由题可知：，则，此时小球恰好与上下底面相切；下面考虑当小球与侧棱相切时，设球心为，球的半径为，则，
由于，则，则，
那么，则，那么在上方，即该小球先与上下底面相切．

故选：D.
【名师押题·第三题】已知正四棱台的上底面的边长为2，现有一个半球，球心为正方形的中心，且正四棱台的上底面、四条侧棱和下底面的四条边均与球相切，则该半球的表面积为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用正四棱台及半球的结构特征，结合切线的性质列式求出半球的半径，进而求出其表面积.
【详解】如图，记正四棱台的上底面的中心为，
过作平面于，则点在上，记半球与分别相切于点，由正四棱台和球的结构特征知，为的中点，由，得，记半球半径为，
则，于是，
在中，，解得，
所以半球的表面积为.故答案为：
【名师押题·第四题】（多选）如图，在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，点为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．
B．平面与平面所成角的余弦值为
C．若，则点轨迹的长度为
D．若点在直线上，则的最小值为
【答案】ABC
【分析】通过线面垂直可判断线线垂直，判断A的真假；利用投影面积法求二面角的余弦，判断B的真假；弄清点的轨迹，再求其长度，可判断C的真假；利用表面展开，转化为两点之间，直线段最短求的最小值，判断D的真假.
【详解】如图1，连接，由菱形可得．再由直棱柱，可得底面．
又因为底面，所以，而平面，所以平面，
又因为平面，所以，故A正确；
，，，所以为直角三角形，且，其在底面投影的三角形的面积为，由投影面积法可得平面和平面所成角的余弦值为，故B正确；
如图2，动点在侧面内（包含边界），过作，垂足为，由直棱柱，
所以平面平面，平面平面，平面，
且，所以平面.而侧面，即有，由菱形边长为2，，可得，再由勾股定理得：，则点的轨迹是以为圆心，
以为半径的圆弧（如图3中），则由侧面正方形，可知，，可得，所以点轨迹的长度为，故C正确；
由为直角三角形，且为等腰直角三角形，将与展开成一个平面图，如图4，则；由余弦定理得：，即，故的最小值为，故D错误．故选：ABC
【名师押题·第五题】（多选）如图，棱长为2的正方体中，点E，F分别在棱上，且，，其中，点是平面内的一个动点（异于点），且，则（ ）
A．
B．直线与平面所成的角的余弦值为
C．当变化时，平面截正方体所得的截面周长为定值
D．点为中点时，三棱锥的外接球的表面积为
【答案】ACD
【分析】以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，由结合空间向量的数量积即可判断A；由线面夹角的向量公式即可判断B；作出平面截正方体所得的截面，结合，，即可判断；根据球的表面积公式即可判断D．
【详解】以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，设，
则，所以，，所以，，，，，，因为，所以，
所以，故A正确；
因为，，平面，所以平面，所以平面的法向量为，则直线与平面所成的角的正弦值为，所以直线与平面所成的角的余弦值为，故B错误；
取上一点，满足，则，因为，且有公共点，
所以平面，又平面，平面平面，所以共线，作出平面截正方体所得的截面，由，得为等腰直角三角形，同理可得均为等腰直角三角形，，所以截面周长为为定值，故C正确；
当点为中点时，，所以，，，则，所以，所以三棱锥的外接球的球心在过中点，垂直于平面的直线上，连接，因为，所以，所以四边形为平行四边形，
则共面，设交点为，则，设球心为，，则，
则，即，解得，半径为，表面积为，故D正确；故选：ACD．
年份
题号
分值
题干
考点
2024年新高考I卷
5
5
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ）
A．B．
C．D．
圆锥表面积的有关计算、
锥体体积的有关计算、
圆柱表面积的有关计算
2024年新高考II卷
7
5
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
求线面角
锥体体积的有关计算
台体体积的有关计算
2023年新高考I卷
12
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为的球体
B．所有棱长均为的四面体
C．底面直径为，高为的圆柱体
D．底面直径为，高为的圆柱体
正棱锥及基有关计算
多面体与球体内切外接问题
2023年新高考I卷
14
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在正四棱台中，则该棱台的体积为 ．
台体体积的有关计算
2023年新高考II卷
9
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）．
该圆锥的体积为
B．该圆锥的侧面积为
C．
D．的面积为
锥体体积的有关计算
由二面角大小求线段长度或距离
圆锥表面积的有关计算
二面角的概念及辨析
2023年新高考II卷
14
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ．
正棱台及基有关计算
锥体体积的有关计算
台体体积的有关计算
2022年新高考I卷
8
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
B．
C．D．
由导数求函数的最值(不含参)
多面体与球体内切外接问题
锥体体积的有关计算
球的体积的有关计算
2022年新高考I卷
9
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知正方体，则（ ）
A．直线与所成的角为
B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为
D．直线与平面ABCD所成的角为
求异面直线所成的角
求线面角
2022年新高考II卷
7
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
球的表面积的有关计算多面体与球体内切外接问题
2022年新高考II卷
11
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
锥体体积的有关计算
证明线面垂直