2025年高考数学三轮复习考前冲刺练习14 圆锥曲线（选填题）（2份，原卷版+教师版）

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近三年新高考数学圆锥曲线选填题考查情况总结​
考点：涵盖求圆锥曲线方程（椭圆、双曲线、抛物线）、离心率计算、轨迹方程、直线与圆锥曲线位置关系（弦长、面积、交点性质），涉及定义、几何性质及代数运算（如2024年新课标Ⅰ卷求轨迹方程、Ⅱ卷直线与抛物线交点；2023年新课标Ⅰ卷椭圆离心率、Ⅱ卷椭圆中直线与椭圆关系；2022年新课标Ⅰ卷抛物线性质、Ⅱ卷椭圆弦长）。​
题型：以选择题为主，分值5-6分，侧重考查圆锥曲线基本性质与直线和曲线综合问题的分析能力。
2025年新高考圆锥曲线选填题高考预测​
题型与分值：预计为选择题或填空题，分值5-6分。​
考查方向：延续离心率、轨迹方程、直线与圆锥曲线位置关系的考查，可能强化双曲线渐近线、抛物线焦点弦性质，或与几何最值、参数范围结合，注重定义和性质的综合运用。
点关于线对称的一般性结论
点(x,y)关于直线Ax+By+C=0的对称点坐标为
直径端点圆的方程
若圆的直径端点，则圆的方程为
解析几何中的切线方程
①过圆上任意一点的切线方程为
②过椭圆上任意一点的切线方程为
③过双曲线上任意一点的切线方程为
④设 QUOTE Px0,y0 Px0,y0 为抛物 线 QUOTE y2=2px y2=2px 上的点, 则过该点的切线方程为 QUOTE yy0=px+x0 yy0=px+x0
解析结合中的切点弦方程
平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程
①圆的切点弦方程为
②椭圆的切点弦方程为
③双曲线的切点弦方程为
④抛物线的切点弦方程为
⑤二次曲线的切点弦方程为
相切的条件
①椭圆与直线相切的条件是
②双曲线与直线相切的条件是
斜率关系
若A、B、C、D是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC、BD的斜率存在且不等于零,并有,(,分别表示AC和BD的斜率)
常见不等式
已知椭圆方程为，两焦点分别为，，设焦点三角形中，则()
椭球体积
椭圆绕Ox坐标轴旋转所得的旋转体的体积为
纵坐标之和
y=kx+m与椭圆相交于两点，则纵坐标之和为
渐近线围成的四边形面积
过双曲线上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为
帕斯卡定理
如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上
斜率定值
过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值
推论1：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值
推论2：过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A、B两点，则直线AB的斜率为定值
椭圆和双曲线的结论汇总
补充结论1
1．过定点（定点在双曲线外且不在渐近线上）的直线与双曲线交点个数问题：
设斜率为的直线过定点，双曲线方程为，过点与双曲线相切时的斜率为.
（1）当时，直线与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的两支上；
（2）当时，直线与双曲线只有一个交点；
（3）当时，直线与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的同一支上；
（4）当时，直线与双曲线只有一个交点；
（5）当时，直线与双曲线没有交点.
2．如图，是双曲线的焦点，过点作垂直双曲线的其中一条渐近线，垂足为，为原点，则.
3．点是双曲线上任意一点，则点到双曲线的渐近线的距离之积为定值.
4．点是双曲线上任意一点，过点作双曲线的渐近线的平行线分别与渐近线相交于两点，为原点，则平行四边形的面积为定值.
抛物线的结论
如图，抛物线方程为，准线与轴相交于点，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，为原点，直线的倾斜角为.
1．
2．焦半径：，，.
3．焦点弦：.
4．的数量关系：，.
5．三角形的面积.
6．以焦点弦为直径的圆与准线相切；以焦半径为直径的圆与轴相切.
7．直线的斜率之和为零（），即.
8．点三点共线；点三点共线.
9．如图，点是抛物线，为原点，若，则直线过定点.
补充结论2
1.已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.则
（1）;
（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;
（3）的最小值是.
2.与共轭的双曲线方程为，①它们有公共的渐近线；②四个焦点都在以原点为圆心，C为半径的圆上；③。
3.与有相同焦点的双曲线方程为
4.与有相同焦点的椭圆方程为：

5.与有相同焦点的双曲线方程为：
6.与有相同离心率的双曲线方程为：
①焦点在轴上时：
②焦点在轴上时：
7.与有相同的渐近线方程为：；
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（ ）
A．B．点在C上
C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D．当点在C上时，
典例2
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
典例3
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
典例4
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
典例5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
典例6
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A．B．
C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形
【名校预测·第一题】（山东省泰安第一中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题）
已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，且，弦的中点在的准线的射影为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
【名校预测·第二题】（浙江省杭州学军中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题）
已知双曲线的左、右焦点分别为，，A是双曲线C的左顶点，以为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【名校预测·第三题】（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025数学试题）
设为双曲线的一个实轴顶点，为的渐近线上的两点，满足，，则的渐近线方程是 ．
【名校预测·第四题】（贵州省贵阳市第一中学2025届高三下学期数学试卷）
（多选）在平面直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，直线与交于，两点，是上异于顶点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．若过点，则为钝角
B．若，则的斜率为
C．若，则点的纵坐标为1时，最小
D．若四边形为平行四边形，则过定点
【名校预测·第五题】（辽宁省本溪市高级中学2025届高三下学期4月月考数学试题）
（多选）已知双曲线的左，右焦点分别为，，左，右顶点分别为，，点在的右支上，的离心率为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若是面积为2的正三角形，则
C．在中，恒成立
D．若，则内切圆半径的取值范围为
【名师押题·第一题】已知椭圆的左顶点与左焦点分别为A，F，下顶点为B，且的面积等于，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【名师押题·第二题】已知椭圆的左顶点为A，上，下顶点分别为B，C，右焦点为F，直线与交于点P，若，则 ．（S表示面积）
【名师押题·第三题】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值12时，面积的最大值为 ．
【名师押题·第四题】（多选）笛卡尔叶形线是一种非常优美且具有丰富几何性质的代数曲线，它的形状如图所示，其标准方程为：，其中是参数．已知某笛卡尔叶形线过点，点是该曲线上的一点，则（ ）

A．当时，取到最大值B．的取值范围是
C．直线是曲线的一条切线D．若是曲线的渐近线，则
【名师押题·第五题】（多选）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，点在的左支上，且与交于另一点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．若点的坐标为，则的离心率的取值范围为
B．若，，则
C．若，，则的最小值为4
D．若，，则恒为定值
年份
题号
分值
题干
考点
2024年新高考I卷
11
6
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（ ）
B．点在C上
C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D．当点在C上时，
由方程研究曲线的性质
求平面轨迹方程
2024年新高考I卷
12
5
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
求双曲线的离心率
2024年新高考II卷
5
5
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
（）
B．（）
C．（）
D．（）
求平面轨迹方程
轨迹问题--椭圆
2024年新高考II卷
10
6
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
直线与抛物线交点相关问题
切线长
根据抛物线方程求焦点或准线
2023年新高考I卷
5
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
由椭圆的离心率求参数
2023年新高考I卷
16
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
利用定义解决双曲线中焦点三角形问题
求双曲线的离心率
2023年新高考II卷
5
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A． B． C． D．
根据直线与椭圆的位置关系求参数
椭圆中三角形的面积
2023年新高考II卷
10
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A．
B．
C．以MN为直径的圆与l相切
D．为等腰三角形
求直线与抛物线的交点坐标
与抛物线焦点弦有关的几何性质
抛物线定义的理解
根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
2022年新高考I卷
11
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为
B．直线AB与C相切
C．
D．
判断直线与抛物线的位置关系
求直线与抛物线相交所得弦的弦长
根据抛物线方程求焦点或准线
2022年新高考I卷
16
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ．
椭圆中焦点三角形的周长问题
根据离心率求椭圆的标准方程
2022年新高考II卷
10
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为
B．
C．
D．
抛物线定义的理解
求直线与抛物线的交点坐标
数量积的坐标表示
已知两点求斜率
2022年新高考II卷
16
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ．
根据弦长求参数
由弦中点求弦方程或斜率
椭圆
双曲线
标准方程
焦点
焦点
焦半径
为离心率，为点的横坐标.
为离心率，为点的横坐标.
焦半径范围
为椭圆上一点，为焦点.
为双曲线上一点，为焦点.
通径
过焦点与长轴垂直的弦称为通径.
通径长为
过焦点与实轴垂直的弦称为通径.
通径长为
如图，直线过焦点与椭圆相交于两点.则的周长为.
（即）
如图，直线过焦点与双曲线相交于两点.则.
焦点弦
倾斜角为的直线过焦点与椭圆相交于两点.
焦点弦长.
最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径.
倾斜角为的直线过焦点与双曲线相交于两点.
焦点弦长.
与数量关系
直线过焦点与椭圆相交于两点，则.
直线过焦点与双曲线相交于两点，则.
已知点是椭圆上一点，坐标原点，
则.
已知点是双曲线上一点，坐标原点，
则.
焦三角形
如图，是椭圆上异于长轴端点的一点，已知，，
，则
（1）；
（2）离心率.
如图，是双曲线上异于实轴端点的一点，已知，，
，则
（1）；
（2）离心率.
垂径定理
如图，已知直线与椭圆相交于两点，点为的中点，为原点，则
.
如图，已知直线与双曲线相交于两点，点为的中点，为原点，则
.
（注：直线与双曲线的渐近线相交于两点，其他条件不变，结论依然成立）
周角定理
如图，已知点椭圆长轴端点（短轴端点），是椭圆上异于的一点，
则.
推广：如图，已知点是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若直线的斜率存在且不为零，
如图，已知点双曲线实轴端点，是双曲线上异于的一点，
则.
推广：如图，已知点是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若直线的斜率存在且不为零，
.
直线过焦点与椭圆相交于两点，点，
则（即）.
直线过焦点与双曲线相交于两点，点，
则（即）.
切线方程
已知点是椭圆上一点，则椭圆在点处的切线方程为.
已知点是双曲线上一点，则双曲线在点处的切线方程为.