2025年高考数学三轮复习考前冲刺练习13 直线与圆（选填题）（2份，原卷版+教师版）

这是一份2025年高考数学三轮复习考前冲刺练习13 直线与圆（选填题）（2份，原卷版+教师版），文件包含2025年高考数学三轮复习考前冲刺练习13直线与圆选填题教师版docx、2025年高考数学三轮复习考前冲刺练习13直线与圆选填题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
近三年新高考数学直线与圆选填题考查情况总结​
考点：涵盖切线问题（切线长、方程，如2023年新课标Ⅰ卷）、弦长与面积（利用圆的性质求参数，如2023年新课标Ⅱ卷）、圆与圆位置关系（公切线方程，如2022年新课标Ⅰ卷）、点线对称及位置关系求参数（如2022年新课标Ⅱ卷）。​
题型：以填空题为主，分值5分，侧重考查直线与圆的几何性质、方程求解及位置关系的综合运用，注重计算与推理能力。
2025年新高考直线与圆选填题高考预测​
题型与分值：预计为填空题，分值5分。​
考查方向：延续对切线（方程、性质）、弦长面积的考查，可能涉及点线对称问题，或与其他知识综合（如几何最值），强化几何直观与运算求解能力，注重对直线与圆位置关系的深度理解与应用。
1.两点间的距离公式
，，
2.中点坐标公式
，，为的中点，则：
3.三角形重心坐标公式
4.直线的斜率与倾斜角的定义及其关系
斜率：表示直线的变化快慢的程度；，直线递增，，直线递减，
倾斜角：直线向上的部分与轴正方向的夹角，范围为
直线的斜率与倾斜角的关系：
5.两点间的斜率公式
，，
6.直线的斜截式方程
，其中为斜率，为轴上的截距
7.直线的点斜式方程
已知点，直线的斜率，则直线方程为：
8.直线的一般式方程
9.两条直线的位置关系
平行的条件
①斜截式方程：，，
②一般式方程：，，
重合的条件
①斜截式方程：，，
②一般式方程：
，，
垂直的条件
①斜截式方程：，，
②一般式方程：
，，
10.点到直线的距离公式
点，直线，点到直线的距离为：
11.两条平行线间的距离公式
，，
12.圆的标准方程
，其中圆心坐标为，半径为
13.圆的一般方程
（）
配方可得：，
圆心坐标为，半径为
14.表示圆的充要条件：
15.点与圆的位置关系
已知点，圆的方程为：
若，点在圆内
若，点在圆上
若，点在圆外
16.直线与圆的位置关系
直线，圆
代数关系，其中为联立方程根的个数，
几何关系，其中为圆心到直线的距离
17.圆上一点的切线方程
18.圆与圆的位置关系
设圆的半径为，设圆的半径为，两圆的圆心距为
若，两圆外离，若，两圆外切，若，两圆内切
若，两圆相交，若，两圆内含，若，同心圆
两圆外离，公切线的条数为4条；两圆外切，公切线的条数为3条；
两圆相交，公切线的条数为2条；两圆内切，公切线的条数为1条；
两圆内含，公切线的条数为0条；
19.弦长公式
设，，
则
或：
20.圆上一点到圆外一点的距离的最值
21.圆上一点到圆上一点的距离的最值
22.圆上一点到直线距离的最值
23.过圆内一点的最长弦和最短弦
最长弦：直径；最短弦：垂直于直径
典例1
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，因为，则，
可得，则，
，即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且，设两切线斜率分别为，
则，可得，
所以，即，可得，则，
且，则，解得.故选：B.

典例2
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
【答案】（中任意一个皆可以）
【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出．
【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案为：（中任意一个皆可以）．
典例3
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
【答案】或或
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】[方法一]：显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，
于是，故①，于是或，
再结合①解得或或，
所以直线方程有三条，分别为，，填一条即可
[方法二]：设圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径，
则，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；又由方程和相减可得方程，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，直线OC与直线的交点为，设过该点的直线为，则，解得，从而该切线的方程为填一条即可
[方法三]：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
典例4
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；
【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，所以所在直线即为直线，所以直线为，即；圆，圆心，半径，依题意圆心到直线的距离，即，解得，即；故答案为：
【名校预测·第一题】（广东省深圳市高级中学2024-2025学年高三下学期数学试题）
已知，，若直线上存在点P，使得，则的取值范围为 .
【答案】
【来源】广东省深圳市高级中学高中园2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试题
【分析】根据得出点的轨迹方程，再根据直线与点的轨迹有公共点，利用圆心到直线的距离与半径的关系求解的取值范围.
【详解】设点，已知，，则，.
因为，可得：，整理得.所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 因为直线上存在点满足条件，所以直线与圆有公共点.
可得圆心到直线的距离.因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离小于等于半径，即，则.两边同时平方可得，即.得.所以不等式的解集为，即的取值范围是.
故答案为：.
【名校预测·第二题】（吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三下学期数学试题）
设直线被圆所截弦的中点的轨迹为，则曲线与直线的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【答案】A
【来源】吉林省长春市东北师范大学附属中学2024-2025学年高三下学期期初考试数学试题
【分析】求出直线恒过定点，由圆的性质可得，进而可得点的轨迹是一个以为直径的圆，求出该圆的方程，求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，即可求解．
【详解】由可得，所以该直线恒过定点，由圆的性质可得：，所以中点的轨迹是以为直径的圆（去除O点），所以圆心为，半径为，所以点的轨迹方程为：，则圆心到直线的距离，所以直线与圆的位置关系是相交．故选：A
【名校预测·第三题】（贵州省贵阳市第一中学2025届高三下学期数学试卷）
已知直线：与圆：交于，两点，则的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【来源】贵州省贵阳市第一中学2025届高三下学期月考（六）（3月）数学试卷
【分析】由几何法求弦长的充要条件时的取值范围，再求其真子集即可.
【详解】的充要条件是：圆心，到的距离，即，故的充分不必要条件是的真子集.故选：A．
【名校预测·第四题】（湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年数学试题）
设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P，点P到直线的距离为d，则d的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期开学检测数学试题
【分析】根据直线方程求出定点 的坐标，判断两直线的交点 的轨迹为圆，利用点到直线的距离公式判断直线与圆相切，即可求出 的取值范围
【详解】动直线 过定点 ，动直线 即 过定点 .因为，所以直线与直线垂直，又直线的斜率一定存在， 点 在以 为直径的圆上（去除点），圆心为 ，
半径 ，圆心 到直线 的距离为
所以圆与直线 相切（切点不是点），的最小值为0；圆的直径，且点到直线 的距离为，所以，即 的取值范围为 .故选：A .
【名校预测·第五题】（湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下数学试卷）
（多选）已知圆，直线（其中为参数），则下列选项正确的是（ ）
A．圆的半径B．直线与圆相交
C．直线不可能将圆的周长平分D．直线被圆截得的最短弦长为
【答案】BD
【来源】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷
【分析】对于A，根据条件得到圆心为，半径为，即可求解；对于B，根据条件可得直线过定点，且定点在圆内，即可求解；对于C，当直线过圆心时，直线平分圆，即可求解；对于D，当时，直线被圆截得的弦长最短，由弦长公式，即可求解.
【详解】对于选项A，由，得到，所以圆圆心为，半径为，所以选项A错误，对于选项B，由，得到，由，得到，所以直线过点，又，所以点在圆内，故直线与圆相交，则选项B正确，对于选项C，当直线过点，即时，直线平分圆的周长，所以选项C错误，对于选项D，当时，圆心到直线的距离最大，直线被圆截得的弦长最短，此时弦长为，所以选项D正确，故选：BD.
【名师押题·第一题】已知过原点的直线与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ．
【答案】
【分析】先由弦长、半径求出弦心距，再分斜率存在和不存在两种情况设出直线方程，结合点到直线的距离公式列式求解即可.
【详解】圆的圆心，半径，直线截圆所得弦长，则弦心距当过原点的直线斜率不存在时，的方程为，圆心到直线的距离为1，不符合题意要求；当过原点的直线斜率存在时，的方程可设为，由，可得，此时的方程为综上，直线的方程为.故答案为：.
【名师押题·第二题】若圆被直线所截得的弦长为10，过点作圆的切线，其中一个切点为，则的值为 .
【答案】
【分析】利用垂径定理来求弦长，得用勾股定理来求切线长，即可解决问题.
【详解】由弦长为，结合垂径定理可得：，解得，
结合已知点，可得：，所以，
故答案为：.
【名师押题·第三题】已知点，圆上一动点P，以线段PF为直径的圆交轴于A，B两点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出圆心的轨迹方程，再利用动点到圆上的点的取值范围的求法，求出，注意排除特殊位置.
【详解】
设，， 由为的中点，可得，即，又在圆上，则可得，即，即圆心的轨迹是以为圆心 ，为半径的圆，而，则的范围为，即，又当时，圆心，半径为，此时圆与轴相切，不符合题意，此时.故的范围为.故选：B.
【名师押题·第四题】已知圆与圆相交于两点，则四边形的面积等于 .
【答案】9
【分析】法一：准确画图，可得四边形是边长为3正方形，进而求得其面积；
法二：将两圆方程做差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系即可求得，利用两点间距离公式求得，进而求得四边形的面积.
【详解】由已知，圆，圆，圆心，半径，圆心，半径，
法一：如图，准确画图，容易发现四边形是边长为3正方形，其面积为9；
法二：将两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程为：到距离为，所以，即，又，所以，四边形的面积.故答案为：9.
【名师押题·第五题】已知，，点P满足，当取到最大值时，的面积为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由可得点P轨迹方程，然后由直线与圆D相切时，最大，可得答案.
【详解】设，由得，即，则点P轨迹为的圆心为，半径为的圆.当直线与圆D相切时，最大，则．又，，所以．又，所以．
故选：D．
年份
题号
分值
题干
考点
2023年新高考I卷
6
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．
C．D．
切线长；给值求值型问题；余弦定理解三角形；已知点到直线距离求参数
2023年新高考II卷
15
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
圆的弦长与中点弦
2022年新高考I卷
14
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
判断圆与圆的位置关系；圆的公切线方程
2022年新高考II卷
15
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
由直线与圆的位置关系求参数；求点关于直线的对称点；直线关于直线对称问题
不存在