2025年高考数学三轮复习考前冲刺练习17 排列组合与二项式定理（选填题）（2份，原卷版+教师版）

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近三年新高考数学排列组合与二项式定理选填题考查情况总结​
考点：涵盖排列问题（2024年新课标Ⅱ卷方格表选方格）、分类加法计数（2023年新课标Ⅰ卷）、分层抽样组合计数（2023年新课标Ⅱ卷）、二项式展开式系数（2022年新课标Ⅰ卷）、相邻排列问题（2022年新课标Ⅱ卷），侧重计数原理与公式应用。​
题型：均为选填题，分值5分，注重实际情境中的计数与二项式定理简单计算。
2025年新高考排列组合与二项式定理选填题高考预测​
题型与分值：预计为选填题，分值5分。​
考查方向：延续排列组合实际应用（如分组、排队），二项式定理求特定项系数，或与概率等简单结合，强化计数原理（分类、分步）及公式运用，考查分析与计算能力。
1.分类计数原理（加法原理）
.
2.分步计数原理（乘法原理）
.
3.排列数公式
==.(，∈N*，且)．注:规定.
4.组合数公式
===(∈N*，，且).
5.排列数与组合数的关系
.
6．单条件排列
以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列.
（1）“在位”与“不在位”
①某（特）元必在某位有种；
②某（特）元不在某位有（补集思想）（着眼位置）（着眼元素）种.
（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
①定位紧贴：个元在固定位的排列有种.
②浮动紧贴：个元素的全排列把k个元排在一起的排法有种.注：此类问题常用捆绑法；
③插空：两组元素分别有k、h个（），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有种.
（3）两组元素各相同的插空
个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
当时，无解；当时，有种排法.
（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为.
7．分配问题
（1）(平均分组有归属问题)将相异的、个物件等分给个人，各得件，其分配方法数共有.
（2）(平均分组无归属问题)将相异的·个物体等分为无记号或无顺序的堆，其分配方法数共有
.
8.二项式定理 ;
二项展开式的通项公式
.
典例1
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．
【答案】 24 112
【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解.
【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有种选法；
每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为：
，
，
，
，
所以选中的方格中，的4个数之和最大，为.
故答案为：24；112
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果.
典例2
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
【答案】64
【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.
【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种；
（2）当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种；
②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种；综上所述：不同的选课方案共有种.故答案为：64.
典例3
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．种B．种
C．种D．种
【答案】D
【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.
【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取，
根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种.故选：D.
典例4
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）的展开式中的系数为 （用数字作答）．
【答案】-28
【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为，所以的展开式中含的项为，的展开式中的系数为-28故答案为：-28
典例5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
【答案】B
【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，
故选：B
【名校预测·第一题】（黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟数学试题）
若在的展开式中，含项的系数为80，则 ．（用数字作答）
【答案】2
【来源】黑龙江省哈尔滨第三中学校2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题
【分析】利用展开式的通项公式求出第 项，令的指数为3得的系数，列出方程解得．
【详解】展开式的通项为，令 的展开式中的系数为 ，
∵展开式中x3的系数为80，∴ .∴.故答案为：2.
【名校预测·第二题】（山东省泰安第一中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题）
二项式的展开式中，常数项为（ ）
A．24B．6C．D．
【答案】D
【来源】山东省泰安第一中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题
【分析】根据给定条件，求出展开式的通项，进而确定常数项并求解.
【详解】依题意，展开式中的通项公式为，
显然无解，由，得，所以所求常数项为.故选：D
【名校预测·第三题】（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟试卷）
2024年4月26日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有（ ）
A．16种B．32种C．48种D．64种
【答案】B
【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷
【分析】先排两位指令长，然后用四名宇航员的排列总数减去“80后”， “90后”相邻的排法，即可求解.
【详解】两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，有种排法，
剩下的四名宇航员共有种排法，其中两位“80后”彼此相邻，两位“90后”彼此相邻且分别在左侧或右侧的排法共有种，所以两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有种.故选：.
【名校预测·第四题】（辽宁省本溪市高级中学2025届高三下学期4月月考数学试题）
中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的选择方法共有 种（用数字作答）
【答案】
【来源】辽宁省本溪市高级中学2025届高三下学期4月月考数学试题
【分析】对甲的所选吉祥物进行分类讨论，结合分类加法和分步乘法计数原理可得结果.
【详解】由于三人都喜欢牛、羊这两种吉祥物，分以下几种情况讨论：
若甲选牛或羊作吉祥物，则乙有种选择，丙有种选择，此时，不同的选择方法种数为种；
若甲选马作吉祥物，则乙有种选择，丙有种选择，此时，不同的选择方法种数为种.
综上所述，不同的选择方法种数为种.故答案为：.
【名校预测·第五题】（河南省郑州外国语学校2024-2025学年高三调研数学试卷）
现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ）
A．每人都安排一项工作的不同方法数为54
B．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
【答案】D
【来源】河南省郑州外国语学校2024-2025学年高三调研考试（八）数学试卷
【解析】对于选项 ，每人有4种安排法，故有种；对于选项 ，5名同学中有两人工作相同，先选人再安排；对于选项，先分组再安排；对于选项 ，以司机人数作为分类标准进行讨论即可.
【详解】解：①每人都安排一项工作的不同方法数为，即选项错误，
②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为，即选项B错误，
③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：（），即选项C错误，
④分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有 ,从余下四人中安排三个岗位，故有；第二种情况，安排两人当司机，从丙、丁、戊选两人当司机有 ,
从余下三人中安排三个岗位，故有；所以每项工作至少有一人参加，
甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是，即选项D正确，故选：D．
【名师押题·第一题】将两个1，两个3，一个5排成一行，则不同的排法种数为 .（用数字作答）
【答案】
【分析】先给两个1找两个位置，再给两个3找两个位置，最后剩的一个位置排5即可.
【详解】第一步选2个空给两个1有种选法，第二步选剩下的3个空给两个3有种选法，
最后剩一个空排5即可，根据分步乘法计数原理有种排法，故答案为：.
【名师押题·第二题】若二项式展开式中的常数项为160，则 ．
【答案】2
【分析】求出二项展开式的通项，令的指数等于零，再根据题意建立等量关系，即可求出.
【详解】由题二项式展开式的通项公式为：，
所以当时的项为常数项，解得.故答案为：2.
【名师押题·第三题】已知的展开式中项的系数为60，则实数的值为 .
【答案】
【分析】写出的二项展开式，根据题意求出的系数，进而列出等式求解即可.
【详解】，的二项展开式的通项为，
令得，，的展示式中的系数为；令得，，的展开式中的系数为40，依题意，解得，
故答案为：．
【名师押题·第四题】一个质点从平面直角坐标系的原点出发，每秒末必须等可能向右、或向左、或向上、或向下跳一个单位长度，则此质点在第10秒末到达点的跳法共有 种．（用数字作答）
【答案】9450
【分析】结合题意先分三类，每类由乘法原理结合组合数计算，再由分步加法原理求和.
【详解】
质点第10秒末到达点共跳了10次，可分三类情况讨论：
第一类，向右跳4次，向上跳4次，向下跳2次，有种；
第二类，向右跳5次，向左跳1次，向上跳3次，向下跳1次，有种；
第三类，向右跳6次，向左跳2次，向上跳2次，有种；
根据分类计数原理得，共有（种）．故答案为：9450.
【名师押题·第五题】甲、乙等5名志愿者参加2025年文化和旅游发展大会的、、、四项服务工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加项工作，乙必须参加项工作，则不同的安排方法数有（ ）
A．36种B．42种C．54种D．72种
【答案】B
【分析】按照B项工作安排的人数分为两类，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解即可.
【详解】安排B项工作的人数分为两类，
第一类，B项工作仅安排1人，因为甲不参加B项工作，乙必须参加D项工作，从甲、乙以外的3人中选一人参加B项工作有种方法，再安排A，C，D项工作，若D项工作安排两人，则有种方法，若D项工作安排一人，则有种方法，所以B项工作仅安排1人共种方法，第二类，B项工作安排2人，有种方法，由分类加法计数原理，得共有种方法.故选：B.
【名师押题·第六题】为拓展学生数学视野，鼓励学生多读数学书，学校举办了“数学图书在哪”的抽奖活动.如图，在一个5×5的方格表中，按如下规则放置了一些图书，小方格中的数字表示与其有公共顶点的小方格的图书的总本数，且有数字的小方格上没有图书，其余方格内无限制，且每一个方格只能放1本图书.则所有可能的图书排列方式总数为（ ）
A．160B．192C．224D．256
【答案】B
【分析】根据数字的约束，确定哪些方格可以放置图书，通过分析每个数字的约束，确定可以放置图书的方格，并计算最大可能的图书数目，使用排列组合的方法，计算所有满足条件的图书放置方式的总数.
【详解】如图所示，灰色代表图书位置，此时有11本图书，接下来说明不可能有12本图书，考虑数字控制的区域，假设有一种方式可以达到8本图书，首先左上角区域只有2本图书（下图左），在大图中去掉后变成了下图中间的样子，并且图中应有6本图书.类似的，下方数字2代表周围单元格中有2本图书，再去掉后形如下方右侧图形，此时需要填4本图书，但只剩下三个空方格，矛盾!故最多有7本，结合不受限制的区域，最多能抽中本书.
接下来求所有可能的方法数，
情形一：
如图所示，?处有图书时，在左上数字2的周围有两种情形，若数字3右侧方格无图书，
则4周围的图书排布方式已经固定，此时下方数字2的排布方式也被固定，
此时中间数字3周围只有两本图书，矛盾，∴中间数字3右侧必有图书.
此时如上右图阴影区域中有且仅有一本图书，故下方数字2左侧或右侧有一本图书.
若下方数字2左侧有一本图书，则右侧没有图书，此时4周围的图书排布已经固定，
则此时3周围图书也已经符合题意，只有一种情形.
若下方数字2右侧有一本图书，此时考虑下方数字2周围还应存在的一本图书的位置，
若在2右上方，即上左图中☆位置，则满足题意，并且此时3周围也满足题意，
4周围还剩一本图书，共有两种选择，共两种；
若不在2右上方，则4周围图书的排布已经符合题意，
3周围还应有一本图书，共有两种选择.
综上，在情形一中，根据分类加法和分步乘法计数原理，共有种可能.
情形二：
如图所示，?处无图书时，左上数字2的图书排布被固定，与情形一类似讨论，可知3右侧必有图书，
此时根据3周围应还有2本图书得到下方的2左右两侧均无图书（否则下方2周围图书数目大于2），
故4周围的图书排列方式被固定，∴3周围还应有一本图书，共有两种选择，故情形二共有2种可能.
∴共有种.
故选：B.
年份
题号
分值
题干
考点
2024年新高考II卷
14
5
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．
全排列问题；写出基本事件
2023年新高考I卷
13
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
分类加法计数原理；实际问题中的组合计数问题
2023年新高考II卷
3
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．种 B．种
C．种 D．种
分步乘法计数原理及简单应用；实际问题中的组合计数问题；抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算
2022年新高考I卷
13
5
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）的展开式中的系数为 （用数字作答）．
两个二项式乘积展开式的系数问题
2022年新高考II卷
5
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．24种
C．36种D．48种
元素（位置）有限制的排列问题；相邻问题的排列问题