江苏省高邮市2024-2025学年高一下学期期中学情调研测试数学试卷（解析版）

这是一份江苏省高邮市2024-2025学年高一下学期期中学情调研测试数学试卷（解析版），共63页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数的零点是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，得，
所以函数的零点是.
故选：C
2 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】.故选：C
3. 设，是平面内两个不共线的非零向量，已知，，，若，，三点共线，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知，，则，
又，，三点共线，
则与共线，，
即，解得，
故选：D.
4. 的值等于（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】，
，
因，则，
则.
故选：A.
5. 如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知为线段上一点，
设，，
则，
又，则，所以，
则，解得，
故选：D.
6. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则使得有两组解的a的值可以为（ ）
A. 10B. 8C. 5D. 4
【答案】B
【解析】有两组解，需满足，即，，
所以a的值可以为8，B正确，ACD错误.
故选：B
7. 已知的内角，，所对的边分别为，，，若，则角的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由已知，
则中，由正弦定理可得，
则，即，
又由余弦定理可知，
所以，当且仅当，即时等号成立，
又，
所以，
故选：A.
8. 在中，点D是边中点，且，若点P为平面内一点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为D为的中点，
所以，
所以
不妨以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，

因为，则，，
设，则，
所以，.即：的最小值为.
故选：D.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列有关向量的说法，正确的有（ ）
A. 若是等边三角形，则向量，的夹角为60°
B. 两个非零向量，若，则与共线且反向
C. 若，，则可作为平面向量的一组基底
D 已知非零向量，满足，则A，B，C，D四点构成一个梯形
【答案】BC
【解析】对于A，因是等边三角形，则，
由向量夹角的定义可知，
，的夹角为120°，故A错误；
对于B，，可得，
即，
即，则，因，则，则与共线且反向，故B正确；
对于C，因，则与不共线，则可作为平面向量的一组基底，故C正确；
对于D，由，则，则直线或四点共线，故D错误.
故选：BC
10. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于选项A：因为，整理可得，即，故A正确；
对于选项B：，故B正确；
对于选项C：因为，则，可得，
可知可能为第一、二、三，四象限，即的符号无法判断，故C错误；
对于选项D：因为，故D正确；
故选：ABD.
11. 如图，已知的内接四边形ABCD中，，，，则（ ）
A. 四边形ABCD的面积为
B. 该外接圆的半径为
C. 过D作交BC于F点，则
D.
【答案】BCD
【解析】对于A：连接，
由题意可知，则，
在中，由余弦定理可得，
即，解得，
所以，
且，则，即，
所以四边形的面积
，
故A错误；
对B：该四边形的外接圆为即为的外接圆，设外接圆的半径为，
在中，由正弦定理可得，
即，故B正确；
对于C：由题意可得：，
过作，
垂足，则为的中点，可得，
在方向上的投影向量即为，
所以，故C正确；
对于D：过作，
垂足，则为的中点，可得，
过作，垂足，可得，
故，即在方向上的投影向量为，
所以，故D正确；
故选：BCD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 已知向量，的夹角为45°，且，，则______.
【答案】
【解析】因为向量，的夹角为45°，且，，
所以.
故答案为：.
13. 已知，则______．
【答案】
【解析】，
．
故答案为：.
14. 在非钝角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点P是的重心且，则角______；若，，则______.
【答案】 ①. ②. 2
【解析】因为，则，
整理可得，
显然，则，即，
又因为，可得；
因为点P是的重心，则，
可得，
即，整理可得，解得或（舍去）.
故答案为：；2.
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，，其中，.
（1）求；
（2）求.
解：（1），，
.
（2），，所以

16. 已知是同一平面内的三个向量，其中.
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求在方向上的投影向量（用坐标表示）.
解：（1）法一：因为，可设，
因为，可得，解得，
所以或.
法二：设，
因为且，可得，解得或，
所以或.
（2）因与垂直，可得，
所以，可得，解得，
所以向量在方向上的投影向量.
17. 如图，在平面四边形ABCD中，，，，，.
（1）求线段AC的长度；
（2）求的值.
解：（1），，
，，
在中，由余弦定理得：
，；
（2）在中，由正弦定理得：，
，，
，，
在中，由正弦定理得：，
，.
18. 已知函数的最小正周期为.
（1）求的解析式；
（2）若关于x的方程在区间上有相异两解，.
①求实数m的取值范围；
②当时，函数取最大值，设，求.
解：（1）由题，
因为的最小正周期为，且，所以，解得，
所以；
（2）①由，即，
关于x的方程在区间上有相异两解，，
也即函数与的图象在区间上有两个交点，
由，得，
又在上单调递增，在上单调递减，
作出在区间上的图象如图，
由图可知，要使函数与的图象在区间上有两个交点，
则有，所以实数m的取值范围.
②解法一：由①和正弦函数的对称性可知，与关于直线对称，
则有，所以，
则有，即，
也即，整理得，所以，
故
解法二：由①和正弦函数的对称性可知，与关于直线对称，
则有，所以，
，其中，
则当，即时，取最大值，
则，
则有
19. “费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知点P为的费马点，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角B；
（2）若，求的值；
（3）若，，求实数的最小值.
解：（1）因为，
由正弦定理得，
即，
所以，所以，
即，又所以，得；
（2）由即①，
由余弦定理得②，
由①②得，由且点为的费马点，
则，
故，
化简得：，
即；
（3）设，，，
在，，中，由余弦定理得，
，
，
又则得，，
即，
由，则，
故，
即有，解得或（舍去），
当且仅当且且，解得时，等号成立，
故实数的最小值为.