江苏省扬州市高邮市2026届高三下学期期初学情调研测试 数学试卷（含解析）

这是一份江苏省扬州市高邮市2026届高三下学期期初学情调研测试 数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则中元素的个数是（ ）
A．8B．7C．6D．5
2．若，则（ ）
A．1B．C．2D．
3．若直线是圆的一条对称轴，则实数的值为（ ）.
A．B．1C．D．
4．函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则（ ）.
A．B．C．1D．
5．若偶函数满足，且当时，，则（ ）.
A．2B．C．D．
6．已知圆的半径为4.内接于此圆，且，则的取值范围是（ ）.
A．B．
C．D．
7．已知，，若曲线上存在点满足：，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．若直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则等于（ ）.
A．0B．C．或0D．0或
二、多选题
9．某研究所研究耕种深度（单位：cm）与水稻每公顷产量（单位：t）的关系，所得数据资料如下表：
经计算可知每公顷产量与耕种深度的线性回归方程为，则下列说法中正确的是（ ）.
A．每公顷产量与耕种深度呈正相关
B．耕种深度的平均数为12
C．每公顷产量的平均数为7.8
D．
10．在棱长为1的正方体中，点，分别满足，，
（，）则（ ）.
A．当时，三棱锥的体积不变
B．当时，存在使得点，到平面的距离不等
C．当时，总有
D．存在，使得面
11．已知抛物线（）的焦点为，过点作互相垂直的两条直线，分别与抛物线交于点，和点，，其，在第一象限，为坐标原点，若，则（ ）.
A．抛物线的准线方程为
B．若，则直线的斜率为
C．四边形的面积的最小值为64
D．若线段，的中点分别为点，，则与的面积之比为
三、填空题
12．在的展开式中，的系数是______.
13．在等差数列中，，，记（），则数列的最大值为______.
14．一个不透明袋子里装有除了颜色其他无区别的2个白球和3个黑球，从中不放回地每次取出1个球，直到所有白球被取出.记取球次数为，则的数学期望______.
四、解答题
15．已知中，角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若边，，边上存在一点，满足，求的长.
16．设为数列的前项和，已知，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和，并证明：.
17．如图，在梯形中，，过点作于点.现将沿翻折到的位置，使得平面平面.
(1)证明：；
(2)已知，，且，，，在同一个球面上，设该球面的球心为.
①证明：点在平面上；
②求与平面所成角的正弦值.
18．已知椭圆（）的焦距为，点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)点是椭圆上一点，过点作圆的两条切线分别交椭圆于，两点，若直线，的斜率都存在，且分别记为，.
①求的值：
②试问：的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
19．已知，函数.
(1)证明：曲线是中心对称图形；
(2)当时，函数为减函数，求实数的最小值
(3)当时，证明：方程有三个不等实根.
耕种深度/cm
10
12
14
16
18
每公顷产量/t
6.0
7.0
7.5
9.0
9.5
参考答案
1．B
【详解】数集表示的是自然数集，
，，
， ，
中元素的个数是.
2．D
【详解】由题意得，
由复数的模长公式得，故D正确.
3．A
【详解】由题意得圆心为，而直线是圆的一条对称轴，
则在直线上，可得，解得.
4．A
【详解】因为函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，
所以，解得，则，得到.
5．C
【详解】由题意得，且是偶函数，
而当时，，则，故C正确.
6．A
【详解】以为坐标原点，轴，建立坐标系，如图，
则，，
设，
，
则，
7．A
【详解】由，知，.
因为点满足：，即 ，且，
所以点在以为焦点的双曲线的左支上，设其方程为，
则其焦距，实轴长，所以，，所以，
所以点在双曲线的左支上，其渐近线方程为.
由曲线方程得.
因为曲线上存在点满足：，
所以直线与双曲线的左支有交点，所以.
故选：A.
8．D
【详解】由，得，则，又，
所以曲线在处的切线方程为，
即，
由，得，则，又，
所以曲线在处的切线方程为，
即，
则，即，
则，
即，解得或.
当时，由得；
当时，由得.
故或,
则或.
9．ACD
【详解】对于A，因为线性回归方程为，
所以每公顷产量与耕种深度呈正相关，故A正确，
对于B，由题意得耕种深度的平均数为，故B错误，
对于C，由题意得每公顷产量的平均数为，故C正确，
对于D，因为回归方程必过，所以将代入回归方程，
可得，解得，故D正确.
10．AD
【详解】如图，作出符合题意的图形，以为原点建立空间直角坐标系，
对于A，当时，点是的中点，
则三棱锥的体积为
为定值，故A正确，
对于B，当时，点是的中点，
此时，，，，，，
而，，
因为，所以，解得，故，
而，，
设面的法向量为，
则，令，解得，，
可得，而，，
设，到平面的距离分别为，
由点到平面的距离公式得，，
则恒成立，即不存在使得点，到平面的距离不等，故B错误；
对于C，当时，可得，，，
则，，
而
，则不成立，故C错误，
对于D，由题意得，，，，
则，，，
因为面，所以，解得，
则存在，使得面，故D正确.
11．ABD
【详解】（）的焦点为，
过点作互相垂直的两条直线，分别与抛物线交于点，和点，，
两条直线，，都存在斜率，
设直线的方程为，
将直线代入，得到，
整理得到，
设，，则，
，在上，，
，
，，，
，
，，，，
，
选项A，，抛物线的准线方程为，故选项A正确；
选项B，，，，
，
，，
，，
，，或，
在第一象限，在第二象限，，舍去，
，直线的斜率为，故选项B正确；
选项C，，
，
，同理可得，
，
当且仅当时，即时，等号成立，
四边形的面积的最小值为，故选项C错误；
选项D，，，线段，的中点分别为点，，
，，，
直线的方程为，且在直线上，，
，同理可得，
，
直线的方程为，
设，解得，
则直线与轴的交点为，，
，，，故选项D正确.
故选：ABD.
12．240
【详解】展开式的通项公式为：，
令，解得：，的系数为.
13．6160
【详解】设公差为，因为，，所以，
解得，则，
令，可得，解得，
则当时，，当时，，
而，，，，，，
则，，，，，
结合数列的正负情况可得，当时，恒成立，
则数列的最大值为.
14．4
【详解】由题意得，
，，
，，
由期望公式得.
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
因为，所以，又，所以，
因为，所以，所以，所以，所以.
（2）法一：
在边上，且，所以.
，
，，
，
所以，
法二：
由余弦定理得，所以，所以.
因为，所以，
所以，在直角三角形中，.
在和中，分别由正弦定理得：
，
因为，，，所以，
又因为均为三角形的内角，所以，
因为，所以.
由，
得，
即，
，，，，
，
.
16．(1)1.
(2)，证明见解析
【详解】（1）因，所以①，
当时，由①得：②，
则①②得：（），
即，则（），
则是等差数列，且公差为2，又，则，
即1.
（2）法一：
，
③，
④，
③④得：
，
，
，
，
是单调递增数列，，
，，.
综上：.
法二：
，
，
，
，
是单调递增数列，，
，，.
综上：.
17．(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②.
【详解】（1）因为平面平面，平面平面，
又易知，平面，所以平面，
又平面，所以.
（2）法一：①在平面内作的垂直平分线，交于，连接，，
因为，，所以，，因为，，
所以，因为，，所以，
所以在以为球心，为半径的球面上，即与重合，故点在平面上；
②记点到平面的距离为，由，可得，
由（1）知平面，又平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，又，，则，
所以，
则，解得，又，
记与平面所成角为，则，
即与平面所成角的正弦值为.
法二：①以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
若在同一个球面上，设球的半径为，则，
设，则，
解得，即点在平面上；
②，，.
设平面的法向量为，则，
取，则，
记与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为.
18．(1)
(2)①；②是，
【详解】（1）法一：
由题意椭圆的焦点在轴上，且，则，
由椭圆的定义得，
解得，则，
则椭圆方程为；
法二：
因为，所以，即椭圆方程为（），
又在椭圆上，所以，解得
则椭圆方程为.
（2）易知圆的圆心为，且原点在圆外，即，如下图：
①令，，则直线方程为，即，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，即，
化简得，同理得，
则是方程的两根，显然，
由韦达定理可知，
因为点在椭圆上，所以，则
则，即
②法一：
设，，
则，，，点到直线的距离为，
因为，所以，则，
，
由，得，同理，
则，则，
所以.
②法二：
设，，则，
因为，所以直线方程为，
所以，
因为，两点在椭圆上，所以，，
则，
所以，
又，
所以
，
则.
②法三：
设，
（i）若直线与轴平行，由对称性，，，
因为，所以不妨设有，则，
则，解得，即，
则，.
（ii）若直线不与轴平行，设直线方程为，（），直线与轴交点为,
则,
由，得，
由，得，
，
所以,
因为,所以,
即，得，
显然，即，
.
综上
19．(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）令，解得，则函数定义域为，
因为
，
所以关于点中心对称，即曲线是中心对称图形.
（2）当时，记，
其中，则，
因为函数为减函数，所以恒成立
因为，当且仅当时等号成立，故，
而成立，可得，解得，故的最小值为.
（3）当时，，
当时，，
令，则，
则函数在区间上单调递减，
而，，可得，
由零点存在性定理得存在使得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，则，，
而，可得方程在区间上有一解，
由曲线的对称性知，方程在区间上也有一解，
故方程在区间上有三解.