江苏省扬州市高邮市2024-2025学年高二下学期期中学情调研测试数学试题（解析版）

这是一份江苏省扬州市高邮市2024-2025学年高二下学期期中学情调研测试数学试题（解析版），共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】.
故选：D.
2. 已知向量，且，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，，
所以可设，
则有，，，
解得，，，
故.
故选：A.
3. 5名男生分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（ ）
A. 6B. 120C. 125D. 243
【答案】D
【解析】依题意，每名男生都可以报名参加3个运动队中的任何一个，且每人限报其中的一个，
故每名男生的报名方法都是3种，因此5名男生的不同报法种数为.
故选：D.
4. 对于空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，能得到点P在平面ABC内的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因A，B，C三点不共线，则不共线，
则点P在平面ABC内，即四点共面，
也即存在唯一的一组实数，满足，
即，
整理得：.
对于A，因，可得，
因，故此时点P不在平面ABC内，故A错误；
对于B，因，可得，
因，故此时点P不在平面ABC内，故B错误；
对于C，因，可得，
因，故点P在平面ABC内，故C正确；
对于D，由可得，
整理得：，因，故点P不在平面ABC内，故D错误.
故选：C.
5. 设，则直线能作为下列函数图象的切线的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由直线可知，其斜率为.
对于A，由可得，
即该曲线上的任何点的切线斜率均为非负数，故A错误；
对于B，由可得，原因同上可知B错误；
对于C，由可得，因有解，故C正确；
对于D，由可得，
即无解，故D错误.故选：C.
6. 在长方体中,，点E在棱BC上，且，点G为的重心，则点G到直线AE的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
由，得，
由点E在棱BC上，且，得，的重心，
则，，，，
所以点G到直线AE的距离.
故选：A
7. 若函数在存在单调减区间，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，
所以，
因为函数在存在单调减区间，
所以有解，
即有解，则，
又，且，
当时，，
所以，解得，即实数a的取值范围为.
故选：B
8. 设定义在上的函数的导函数为，若对，均有，且，则（ ）
A. B.
C. D. 是函数的极小值点
【答案】C
【解析】因为，
所以当时，由可得，，A错误；
当时，，
所以当时，，
所以当时，，为常数，
所以当时，，
因为，所以，
所以，故当时，，
因为满足关系，
所以，，又，
所以，，
所以，故，B错误；
因为，，
所以，，
所以，C正确；
因为，令可得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以是函数的极小值点，D错误；
故选：C.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 满足不等式的x的值可能为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】ABC
【解析】由可得：，即，
由化简得：，
即，解得或，
综上可得，又，故x的值可能为3，4，5，6，7.
故选：ABC.
10. 在空间直角坐标系中，，则（ ）
A. 向量在向量上的投影向量为
B. 若某直线的方向向量为，则该直线与平面平行
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 点在平面内的射影为点
【答案】AC
【解析】对于A，因为，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量为，A正确；
对于B，设平面的法向量为，
则，又，，所以，
取，可得，，
所以为平面的一个法向量，
因为，故，
所以该直线可能在平面内或与平面平行，B错误；
对于C，由已知，，
设异面直线与所成的角为，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为，C正确；
对于D，因为，，所以，
又为平面的一个法向量，所以，
所以点不在平面内，D错误，
故选：AC.
11. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 当时，函数有三个零点
B. 当时，函数有两个极值点
C. 当时，函数关于点对称
D. 当时，若，则
【答案】BCD
【解析】对于A，当时，，
则，令，得；
令，得或，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
又，，且时，，
则函数只有一个零点，故A错误；
对于B，由，，
则，
由于，
则有两个不同的实数根，根据极值点的定义，
函数有两个极值点，故B正确；
对于C，当时，，则，，
则，
则，
所以函数关于点对称，故C正确；
对于D，当时，由，
则，
当时，，
则函数在上单调递减，
即时，，
若，则，则，故D正确.故选：BCD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 设定义在R上的函数的导函数为
=_________．
【答案】4050
【解析】.
故答案为：4050
13. 已知，则_________．（用数字作答）
【答案】495
【解析】由可得，
故.
故答案为：495.
14. 已知正方体的棱长为2，是棱的中点，点在侧面内，若，则面积的最小值为_________．
【答案】
【解析】如图，分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，，，
由得，得，
故，
故由二次函数的性质可知，当时，取得最小值，
根据正方体的性质可知平面，因平面，
故，故，
故的面积最小值为，
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 己知函数，且满足．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值．
解：（1）因为，
所以，
则得，
故.
（2）令，得或，列表如下：
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，的极大值为，极小值为，
又因为，，
因此，函数在区间上的最大值为，最小值为.
16. 如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设．
（1）试用向量表示向量；
（2）若，求的值．
解：（1）因为，
由向量的线性运算法则，
可得：
.
（2）由，
所以
.
17. （1）现将学号分别为1，2，3，4，5，6，7号的七名同学站成一排，如果学号为1，2的两人之间恰好有3个人，有多少种不同的排法？（用数字作答）
（2）由1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数，且奇数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有多少个？（用数字作答）
（3）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任选5个组成一个没有重复数字的“五位凸数”（满足），这样的“五位凸数”有多少个？（用数字作答）
解：（1）先排学号为1，2的两人，有种；再在其余5人中选择3人站在学号为1，2的两人之间，有种；再将这5人看作整体与另外2人排成一排，有种；
由分步计数原理知，共种排法；
（2）不考虑限制条件，有个七位数；则4个奇数的位置一定，共有个七位数；
（3）先从7个数字中选出5个数字，有种；将选出的5个数中的最大数排在最中间，有1种；在选出5个数中的其余4个数中，选择2个排在中间数的左边，有种；
将选出的5个数中的剩下的2个数，排在中间数的右边，有1种；
由分步计数原理知，共种排法.
18. 如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角．
（1）求线段的长度；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．
解：（1）由已知，连接，因为为线段的中点，所以；
因为平面平面，又平面平面，又面，
所以平面；取边的中点记为，则；
以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，所以；
（2）由（1），，，，
所以，，，
记平面的法向量为，
所以，
不妨取，得，
所以为平面的一个法向量；
记直线与平面的所成角为，
则，
所以，直线与平面的所成角的正弦值为；
（3）设，其中，
，，
，，
，
记平面的一个法向量为，
则有，
不妨取，解得，
即；
则点到平面的距离，
整理得：即，
解得或（舍去），
所以，当点位于线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为．
19. 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数的最小值为，求a的值；
（3）证明：当时，．
解：（1）由函数，可得其定义域为，可得，
①当时，若，恒成立，恒成立，
可得，所以在内单调递减；
②当时，令，，可得；令得：，
所以在内单调递减，在内单调递增，
综上所述，当时，在内单调递减；
当时，在内单调递减，在内单调递增．
（2）由函数，可得，
①当时，在区间上恒成立，区间上单调递增，
所以（舍去）；
②当时，令，可得，
（i）当时，即，区间上单调递增，（舍）；
（ii）当时，即，
区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以；
令函数，可得，
所以函数为单调函数，所以，解得，
故关于方程的解为；
（iii）当时，即，区间上单调递减，
所以，解得（舍去）；
综上所述，实数的值为．
（3）当时，，要证，
即证，
记函数，定义域为，可得，
令，
由，可得在为单调增函数，
因为，且，
所以存在，使得，即，所以，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，
将代入得，
其中，
故，即
故当时，．
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增