初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）不等式的性质教案

这是一份初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）不等式的性质教案，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学用具等内容，欢迎下载使用。
11.1.2 不等式的性质
一、教学目标
1.进一步巩固对不等式的性质的理解.
2.会根据不等式的性质把不等式逐步化为x＞m或x＜m的形式，并能在数轴上表示其解集.
3.知道符号“≥”和“≤”的意义及在数轴上表示不等式的解集时，实心圆点与空心圆圈的区别.
4.学会运用类比和化归思想来解不等式，培养学生观察、分析和归纳的能力．
二、教学重难点
重点：用不等式的性质解不等式.
难点：不等式的性质的应用.
三、教学用具
多媒体课件
教学过程设计
环节一 复习回顾
【复习导入】
1.上节课我们学习了不等式的性质，请你说说不等式的性质有哪些呢？
不等式的性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
即，如果a＞b，那么a±c＞b±c．
不等式的性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
即，如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc．
不等式的性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
即，如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc．
2.想一想，我们知道解方程的依据是等式的性质，同样解不等式的时候，依据就是不等式的性质. 那对比方程的求解过程，你知道如何解不等式吗？
设计意图：通过复习不等式的性质，进一步加深对不等式的性质的理解，为本节课学习利用不等式的性质解决问题做了充分准备．
环节二 探究新知
【探究】
1.通过例1中4个简单的不等式探究如何利用不等式的性质解不等式，可类比方程的解法进行求解，同时让学生说一说解方程和解不等式的相同点和不同点.
利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1)x – 7＞26；(2)3x＜2x＋1；
(3) 23x＞50； (4) – 4x＞3．
分析：解不等式，就是要借助不等式的性质使不等式逐步化为x＞a或x＜a(a为常数)的形式．
解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边加7，不等号的方向不变，所以 x－7＋7＞26＋7，
x＞33．在数轴上表示如下图：
(2)根据不等式的性质1，不等式两边减2x，不等号的方向不变，所以3x – 2x＜2x + 1 – 2x，
x＜1．在数轴上表示如下图：
(3)根据不等式的性质2，不等式两边乘32，不等号的方向不变，所以32×23x＞32×50，
x＞75．在数轴上表示如下图：
根据不等式的性质 3，不等式两边除以 – 4，不等号的方向改变，所以−4x−4＜3−4，x＜– 34．
总结：不等式的解集的表示方法主要有两种：
(1)用式子形式(如x＞2)，即用最简单形式的不等式x＞a 或 x＜a(a为常数)表示；
(2)数轴，用数轴表示不等式的解集时应确定两点：一是确定“边界点”，若解集包含“边界点”，则用实心圆点；若解集不包含“边界点”，则用空心圆圈；二是确定“方向”，大于“边界点”向右画，小于“边界点”向左画.
这两种形式分别是用“数”和“形”表示不等式的解集．
设计意图：在认识不等式性质的基础上，通过4个简单的例题，巩固对不等式性质的理解，体会其在解不等式中的作用.
2.探究“≥”与“＞”、“≤”与“＜”的意思有什么区别？
在表示两个数量大小关系时，我们会经常用到像a≥b或a≤b这样的式子，如一天内的温度变化t≥19℃且t≤28℃.
提出问题：符号“≥”与“＞”的意思有什么区别？
“≥”是“不等号”与“等号”的合写形式，读作“大于或等于”，也可以说是“不小于”.也就是 “≥”比“＞”多了一层相等的含义.
同理，“≤”是“不等号”与“等号”的合写形式，读作“小于或等于”，也可以说是“不大于”.即，“≤”比“＜”多了一层相等的含义.
追问：“≥”与“≤”是否具有与前面所说的不等式类似的性质呢？
通常我们把用符号“≥”和“≤”表示大小关系的式子，也称为不等式，它们同样具有类似前面所说的不等式的性质.
3.借助实际生活中的问题，进一步了解巩固含有“≥、≤”的不等式的解法和应用.
一个长方体形状的鱼缸长 10 dm，宽 3.5dm，高 7dm．若鱼缸内已有水的高度为 1 dm，现准备向鱼缸内继续注水．用V(单位：dm³)表示新注入水的体积，写出V的取值范围并在数轴上表示．
解：新注入水的体积V与已有水的体积的和不能超过容器的容积，即
V＋10×3.5×1≤10×3.5×7，
V≤210．
又由于新注入水的体积 V 不是负数，因此，V 的取值范围是：V≥0并且V≤210．
这样的解集如何在数轴上表示呢？
在表示 0 和210的点上画实心圆点，表示取值范围包含这两个数.
总结：解决实际问题时，不等式的解决要符合实际意义.
设计意图：解决此实际问题，一是让学生体会“≥、≤”这两个符号的意义，二是它的解集在数轴上对应的是包含两端点的范围，这里并没有把解集写成连写的形式，只是为后面学习一元一次不等式组的解集分散难点.
环节三 应用新知
【典型例题】
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
例1用不等式表示下列语句并写出解集，并在数轴上表示解集：
(1)c的4倍大于或等于8；(2)c的一半小于或等于3；(3)d与5的差不大于–2；(4)d与5的和不小于0.
注意：大于或等于、不小于都用“≥”表示；不大于、小于或等于都用 “≤”表示.
解：(1)4c≥8，c≥2
（2）12c≤3，c≤6
(3)d – 5≤– 2，d≤3
(4)d+ 5≥0，d≥– 5
例2 用炸药爆破时，如果导火索燃烧的速度是0.8 cm/s，人跑开的速度是每秒4 m，为了使点导火索的战士在爆破时能够跑到100 m以外(不含100 m)的安全区域，这个导火索的长度应大于多少厘米？请将解集在数轴上表示出来.
解析：设导火索要xm长，根据导火索燃烧的速度为0.8cm/s，人跑开的速度是4m/s，为了使点导火索的战士在爆破时能跑到离爆破点100m的安全地区，可列不等式求解．
解：设导火索的长度是xcm，
根据题意得：x0.8＞1004.
解得：x＞20.
在数轴上表示x的取值范围如图所示：
设计意图：巩固、加深学生用不等式的性质解不等式的理解和认识.
环节四 课堂练习
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边减5，不等号的方向不变，
x+5–5＞–1–5
x＞–6
用数轴表示为：
(2)根据不等式的性质1，不等式两边减3x，不等号的方向不变，
4x–3x＜3x–5–3x
x＜–5
用数轴表示为：
(3)根据不等式的性质2，不等式两边乘7，不等号的方向不变，
7× 17x＜7× 67
x＜6
用数轴表示为：
(4)根据不等式的性质3，不等式两边除以–8，不等号的方向改变，
−8x−8＜ 10−8
x＜ – 54
用数轴表示为：
2.用不等式表示下列语句并写出解集，并在数轴上表示解集：
(1)x的3倍大于或等于1；(2)x与3的和不小于6；(3)y与1的差不大于0；(4)y的 1 2小于或等于–2.
解：(1)3x≥1，x≥13
用数轴表示为：
(2)x+3≥6，x≥3
用数轴表示为：
(3)y – 1≤0
y≤1
用数轴表示为：
(4) 14 y≤– 2
y≤– 8
用数轴表示为：
在某次的知识竞赛中共有 20 道题．对于每一道题，答对了得 10 分，答错了或不答扣 5 分，至少要答对几道题，其得分不少于 80 分？
解：设答对的题数是x，则答错或不答的题数为(20－x).
根据题意，得10x－5(20－x)≥80，
x≥12.
答：至少要答对12道题，其得分不少于80分．
环节五 归纳总结
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

设计意图：回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯.