02（北京专用）-2025年高考数学模拟卷

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
11． 12． 13． 14. 23 15.①④
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
又因为，
由余弦定理可得，
即，则，所以.----------------------------6分
（2）对于①：边上的中线长为，
在，由余弦定理得
即，解得，
则，
所以的面积为；----------------------------13分
对于②：因为，解得，
则，
所以的面积为；----------------------------13分
对于③：若，这与相矛盾，不合题意；----------------------------13分
17．（14分）
【详解】（1）如图，设与交于点，连接.
因为分别为的中点，底面是菱形，
所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为为的中点，所以为的中点，
因为为的中点，所以，
又平面，平面，所以平面.----------------------------6分
（2）连接，因为是边长为的等边三角形，为的中点，
所以.
因为底面是菱形且，易知为等边三角形，所以.
易知，所以，所以.
因为，所以，所以.----------------------------8分
所以两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，----------------------------10分
设平面的法向量为，
则，得，
取，则，所以.----------------------------12分
设平面的法向量为，
则，得，
则，取，则，所以.----------------------------14分
所以，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值.----------------------------14分
18．（13分）
【详解】（1）由题意，理论或操作至少一项成绩为优异的学生共有人，
则，得，
又，得．----------------------------3分
（2）由（Ⅰ）知，从20位理论成绩为优异的学生中抽取1人，实践成绩也为优异的概率为，
所以从全市理论成绩为优异的学生中，随机抽取2人，至少有一个人操作的成绩为优异的概率为．----------------------------6分
（3）由题意，，
设理论成绩为X，，则X取值为，
对应的人数分别为，所以参赛学生理论竞赛的平均成绩为
，----------------------------9分
所以参赛学生理论成绩的方差为
因为，所以当时，方差最小.----------------------------13分
19．（15分）
【详解】（1）由题意可知，解得
，
则椭圆方程为，椭圆的离心率为.----------------------------4分
（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为0，，设直线方程为，
取，得，
联立得，，
，得，则．----------------------------8分
，
.----------------------------12分
因为的面积是面积的倍，
，即，得，
直线的方程为．----------------------------15分
20．（15分）
【详解】（1）由题，在处，，，
所以曲线在处的切线方程为.----------------------------3分
（2）解法一：由（1）可得，
因为，故f'x与同号．
令，因为与在上单调递增，
所以在上单调递增，----------------------------5分
因为，所以是的唯一零点，
所以是的唯一解，----------------------------6分
f'x与的情况如下：
所以的单调递增区间是，递减区间是.----------------------------8分
解法二：当时，，，所以f'x