05（北京专用）-2025年高考数学模拟卷

这是一份05（北京专用）-2025年高考数学模拟卷，文件包含05北京专用-2025年高考数学模拟卷解析版docx、05北京专用-2025年高考数学模拟卷参考答案docx、05北京专用-2025年高考数学模拟卷考试版docx等3份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由，得，所以,
因为，所以,
所以.
故选：D.
2．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【详解】∵，
∴该复数在复平面内对应的点为，位于第三象限.
故选：C.
3．下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】对于ACD，、、是非奇非偶函数，故排除ACD，
对于B，是奇函数且是定义域上的增函数，故B对；
故选：B.
4．记等差数列的前n项和为.若，，则（ ）
A．49B．63C．70D．126
【答案】B
【详解】因是等差数列，故，于是
故选：B
5．已知，那么下列命题中正确的是（ ）.
A．若，则B．若，则
C．若且，则D．若，则
【答案】C
【详解】．若，当时， ，所以选项不成立；
．若，当时，则，所以选项不成立；
．因为，将两边同除以，则，所以选项成立；
．如果满足，但是，所以选项不成立．
故选：．
6．已知抛物线的焦点为F，点P为C上一点.若，则点 P的横坐标为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【详解】由题意知，，
由抛物线的定义知，，得，
即点P的横坐标为7.
故选：C
7．函数，其中，，，它的图象如图所示，则的解析式为（ ）．
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
【详解】点与代入中， ，
∴，，
故选：A．
8．“”是“直线与圆相交”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】若“直线与圆相交”，
则可得，解得，
又
故“”是“直线与圆相交”的必要不充分条件.
故选：.
9．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，其中谈到的“堑堵”是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有堑堵如图所示，其中，若，平面将堑堵分成了两部分，这两部分体积比值为（ ）

A．1:1B．1:2C．1:3D．1:4
【答案】B
【详解】由题意，，
所以，
所以.
故选：B．
10．斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用.斐波那契数列满足，.给出下列四个结论：
①存在，使得，，成等差数列；
②存在，使得，，成等比数列；
③存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列；
④存在正整数，，，，且，使得.
其中所有正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】对于①，由题意得，有，
故成等差数列，故①正确；
对于②，由，则为偶数，则、为奇数，为偶数，
则、为奇数，，故，，中有两个奇数，一个偶数，
不可能成等比数列，故②错误；
对于③，，
故当时，对任意，，，成等差数列，故③正确，
对于④，依次写出数列中的项为：
，
可得，故④正确，
故选：C.
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．在的展开式中，常数项为 .（用数字作答）
【答案】
【详解】由的展开式的通项为，
令，，则，
即在的展开式中，常数项为，
故答案为：.
12．已知双曲线．则的离心率是 ；若的一条渐近线与圆交于，两点，则 ．
【答案】
【详解】由双曲线，可得，则，
所以双曲线的离心率为；
又由双曲线的其中一条渐近线方程为，即，
因为圆的圆心为，半径，
所以圆心到渐近线的距离为，
由圆的弦长公式，可得.
故答案为：；.
13．已知正方形的边长为1，点满足，则的最大值为 ．
【答案】/
【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，
则，
因为，
所以，
所以当时，取得最大值.
故答案为：.
14．在统计调查中，对一些敏感性问题，要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题．否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况．某中学为了调查本校中学生某不良习惯A的发生情况，对随机抽出的200名中学生进行了调查．调查中设置了两个问题：
问题1：你的阳历生日日期是否偶数？ 问题2：你是否有A习惯？
调查者准备了一个不透明袋子，里面装有大小、形状和质量完全一样的5个白球和5个红球．每个被调查者随机从袋中摸出1个球（摸出的球再放回袋中并搅拌均匀），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不做．已知调查结束后，盒子里共有55个小石子．据此估计此中学学生中有习惯A的人数的百分比为 ．
【答案】5%
【详解】根据题意，被调查者回答第一个问题的概率为；其阳历生日日期是偶数的概率也是，
所以随机抽出的200名学生中，回答两个问题的人数估计各有人，
所以200人中抽取到白球并回答第一个问题为“是”的学生估计有人；
所以抽到红球并回答第二个问题为“是”的人数估计为人，
由此估计此中学学生有A习惯人数的百分比为．
故答案为：5%.
15．已知函数，给出下列四个结论：
①当时，恰有2个零点；
②存在正数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有2个零点；
④对任意只有一个零点.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】②④
【详解】令，得，
函数的零点个数，即为方程的根的个数，
方程根的个数，即为与函数的交点个数，
又函数是过定点的直线，
作出的图象如图所示，
当直线与函数有一个交点，
故有一个零点，故①错误；
当在第一象限与函数相切时，
函数有一个零点，故②正确；
函数绕着顺时针从转到时，两图象只有一个交点，
故时，函数只有一个零点，故③错误，④正确.
故答案为：②④.
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．在中，，.
(1)求A的大小；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.条件①：AC边上的高；条件②：；条件③：.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，
而，则，
又，所以.
（2）若选①，边上的高，在中，，
即，
在中，由余弦定理，得，
整理得，而，解得，
的三边已知，由三角形全等的判定知，存在且唯一，
所以的面积为；
若选②，，则，
在中，，
由正弦定理，得，
根据三角形中大角对大边可知，不存在；
若选③，，由余弦定理，得，
则，显然，即方程无解，
因此不存在，③不可选.
17．如图，在直三棱柱中， 为直角，侧面为正方形， ，分别为，的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．
【详解】（1）连接，
在中，因为分别为，的中点，所以
又平面，平面，所以平面．
（2）因为直三棱柱中，为侧棱，
所以平面，
因为平面，
所以，
又为直角，
所以
又，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
由（1），所以.
（3）建立空间直角坐标系，
则，，，．，
因此，．
设平面的法向量为n=x,y,z，
，即
令，则，于是，
设直线与平面所成角为．
所以．
18．近年来，我国新能源汽车蓬勃发展，极大地促进了节能减排.遥遥计划在，，，，，这6个国产新能源品牌或在，，，这4个国产燃油汽车品牌中选择购车.预计购买新能源汽车比燃油车多花费40000元.据测算，每行驶5公里，燃油汽车约花费3元，新能源汽车约消耗电1千瓦时.如果购买新能源汽车，遥遥使用国家电网所属电动汽车公共充电设施充电，充电价格分为峰时、平时、谷时三类，具体收费标准（精确到0.1元/千瓦时）如表：
(1)若遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌作比较，求品牌被选中的概率；
(2)若遥遥选购新能源汽车，他在18：00，18：30，19：00，19：30，…，23：30这12个时间点中随机选择一个时间点给车充电，每次充电30千瓦时（用时不超过半小时）.设X为遥遥每次充电的费用，求X的分布列和数学期望；
(3)求新能源汽车在某个时间段充电1千瓦时的平均费用.
(4)假设遥遥一年驾车约行驶30000公里，按新车使用8年计算，如果只考虑购车成本与能源消耗支出，计算说明选择新能源汽车和燃油汽车哪个的总花费更少.
【详解】（1）记事件品牌被选中，则.
（2）由题，在18：00-21：00有6个时间点，充电价格为1.0元/千瓦时，
在21：00-23：00有4个时间点，充电价格为0.7元/千瓦时，
在23：00，23：30有2个时间点，充电价格为0.4元/千瓦时，
可能的取值有，则
分布列如下：
所以元.
（3）充电1千瓦时的费用为1.8元的概率为，
充电1千瓦时的费用为1.5元的概率为，
充电1千瓦时的费用为1.2元的概率为，
所以充电1千瓦时的平均费用为元.
（4）若选择新能源汽车，则需要的能源消耗支出为元，
若选择新燃油汽车，则需要的能源消耗支出为元，
结合购车成本有，所以新能源汽车花费更少.
19．已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若关于的不等式有解，求实数的取值范围.
【详解】（1）定义域为，
，
设
恒成立
所以在上是减函数，且
则当时，，即，
则当时，，即，
所以的单调递增区间为，的单调递减区间
（2）由（1）知，所以，
令，
，
当时，，当时，，
所以在上的最小值为，
所以若关于的不等式有解，则，
即.
20．设椭圆的左、右顶点分别为，右焦点，．
(1)求椭圆方程及其离心率；
(2)已知点是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若的面积是面积的倍，求直线的方程．
【详解】（1）由题意可知，解得
，
则椭圆方程为，椭圆的离心率为.
（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为0，，设直线方程为，
取，得，
联立得，，
，得，则．
，
.
因为的面积是面积的倍，
，即，得，
直线的方程为．
21．设自然数，由个不同正整数构成集合，若集合的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合，记为集合元素的个数
(1)已知集合，集合，分别求解．
(2)对于集合，若取得最大值，则称该集合为“极异集合”
①求的最大值（无需证明）．
②已知集合是极异集合，记求证：数列的前项和．
【详解】（1）已知集合的非空子集有15个：
计算可得，即．
集合的非空子集有15个：
计算可得，即
（2）①集合共有个非空子集，的最大值为
②，

即证
不妨设，即的非空子集中元素和最小的子集的为，最大的为
集合是极异集合，，代表有个不同的正整数，
即，
所以中有个元素，由元素互异性可得
又，即可得，
因此数列的前项和.
充电时间段
充电价格（元/千瓦时）
充电服务费（元/千瓦时）
峰时
10：00-15：00和18：00-21：00
1.0
0.8
平时
7：00-10：00，15：00-18：00和21：00-23：00
0.7
谷时
当日23：00-次日7：00
0.4
54
45
36