01（北京专用）-2025年高考数学模拟卷

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11． 12． 13．
14． 15．②③
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．（13分）
【详解】（1）因为，，所以，………………………2分
所以，，………………………3分
所以………………………5分
（2）因为角的终边与角的终边关于轴对称，………………………7分
所以，， ………………………10分
所以.……………………………………………13分
17．（13分）
【详解】（1）取中点为，连接，如下所示：……………………1分
在三角形中，分别为的中点，故可得//，；………………………2分
根据已知可得AD//，，故//，……………………………3分
则四边形为平行四边形，故DE//，…………………………………4分
又面面，故DE//面.…………………………………6分
（2）作于点，如下图所示：…………………………7分
则．………………………8分
在△中，，，则，，………………………………9分
由平面知，直线与平面所成角为，
故，即在△中，有，则，…………………………………11分
所以，四棱锥的体积 ．……………………13分
18．（14分）
【详解】（1）某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，
样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为，获得优秀的女生人数为，………………………2分
所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为；
估计高三女生立定跳远单项的优秀率为．………………………………………4分
（2）由题设，的所有可能取值为，……………………………5分
则；…………6分
；…………8分
；…………10分
．…………11分
则的分布列为：…………………………………………………12分
则的数学期望.…………………………………………14分
19．（15分）
【详解】（1）当时，，则，，…………………2分
∴，∴切线方程为，即.…………………4分
（2）由题意得，，即，
亦即,…………………6分
设，易得恒成立.
∴在上单调递增; …………………8分
易知：①当时，，恒成立,此时恒成立；…………………10分
②当时， 等价于，
由①②知恒成立，则恒成立
设，则.…………………12分
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，…………………14分
∴，∴，即的取值范围是.…………………15分
20．（15分）
【详解】（1）由题意可得，，
所以，……………………………………3分
所以椭圆C的标准方程为.……………………………………4分
（2）
假设存在x轴上的定点，使得.
则结合图可得，所以.……………………………………5分
由题意，直线的斜率一定存在，设直线的方程为，
设，，……………………………………6分
由得，， ……………………………………7分
，则，……………………………………8分
且.……………………………………9分
因为直线ET的斜率为，直线的斜率为，
由得.……………………………………10分
因为，，
所以，
即，…………………………………12分
所以，……………………………………13分
所以，则，
所以在x轴上存在一个定点，使得．……………………………………15分
21．（15分）
【详解】（1）由“创新集”的定义得：，
令，得，则；
所以为二元“创新集”. ……………………………………2分
（2）若，且是二元“创新集”，
不妨设，
则由韦达定理知，是一元二次方程的两个根，
由，可得或，……………………………………4分
所以或.……………………………………5分
（3）若是正整数，不妨设中，
由，所以，……………………………………6分
当时，，所以，
所以，显然无解，
所以时，不存在“创新集”.……………………………………8分
当时，，故只能，求得，
所以.……………………………………10分
当时，由，
则有成立，……………………………………11分
但对时，恒成立，
所以对恒成立，……………………………………12分
所以对不成立，
所以时不存在“创新集”.……………………………………14分
综上所述：“创新集”只有.……………………………………15分1
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