2024-2025学年苏科版（2024）第二学期七年级数学期中复习卷（19） (含答案）

这是一份2024-2025学年苏科版（2024）第二学期七年级数学期中复习卷（19） (含答案），共27页。
1．（3分）（24-25七年级·江西南昌·期中）若xa=5，xb=2，则x3a-2b的值为（ ）
A．11B．10C．52D．1254
2．（3分）（2024·山西·模拟预测）如图，将△ABC沿直线AB的方向向右平移2cm后到达△A'B'C'的位置，此时点A'与点B重合，若△A'B'C'的周长为12cm，则四边形AB'C'C的周长为（ ）
A．14cmB．15cmC．16cmD．17cm
3．（3分）（24-25七年级·山东淄博·期末）已知(x+a)(x+b)=x2+mx-6，若a，b都是整数，则m的值不可能是（ ）
A．1B．-1C．-5D．-7
4．（3分）（24-25七年级·浙江宁波·期中）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB'C'，使CC'∥AB，若∠CAB=70°，则旋转角的度数是（ ）
A．35°B．40°C．50°D．70°
5．（3分）（24-25七年级·福建福州·期中）如图1是宽为a，长为ban，若9m与9n的末两位数字相同，则m-n的最小值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
8．（3分）（24-25七年级·山东济南·期末）如图，AB为一根长为25 cm的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点M、N，分别将AM、BN沿点M、N折叠，点A、B分别落在绳子上的点A'、B'处．当A'B'=5 cm时，MN的长为（ ）
A．10 cmB．25 cm
C．10 cm或15 cmD．15 cm或25 cm
9．（3分）（24-25七年级·湖北·周测）若2x4-3x3+ax2+7x+b能被x2+x-2整除，则a:b的值是（ ）
A．-2B．-12C．6D．4
10．（3分）（24-25七年级·福建泉州·阶段练习）如图，将两张边长分别为a和ba>b的正方形纸片按图1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边AB、AD的长度分别为m、n．设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．当m-n=2时，S1-S2的值为（ ）
A．-2bB．2a-2bC．2aD．2b
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25七年级·广西南宁·期末）已知m2+kmn+4n2是一个完全平方式，则k= ．
12．（3分）（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2025个图案与第1个至第4个中的第 个箭头方向相同．（填序号）
13．（3分）（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）某同学计算一个多项式乘-3x2时，因抄错符号，算成了加上-3x2，得到的答案是x2-12x+1，那么正确的计算结果是 ．
14．（3分）（24-25七年级·上海徐汇·期中）已知a2+b2=4，c2+d2=10，ac+bd=2．求ad-bc的值为 ．
15．（3分）（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=80°，D是BC上任意一点，M和N分别是点D关于AB和AC的对称点．连接AM和AN，则∠MAN的度数为 ．
16．（3分）（24-25七年级·浙江杭州·期中）有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为I1，面积为S1，图2中阴影部分周长为I2，面积为S2，若S2-S1=I1-I222，则c:b的值为 ．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25七年级·湖南长沙·期中）已知5m=4，5n=6，25p=9．
(1)求5m+n的值；
(2)求5m-2p的值；
(3)写出m，n，p之间的数量关系．
18．（6分）（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）如下图所示的是正在进行的“俄罗斯方块”游戏（网格由边长为1个单位长度的小正方形组成），现有一“T”形方块向下运动．
(1)若该“T”形方块向下平移了5个单位长度，请在图中画出平移后的图形（画上阴影）；
(2)为了使所有图案消除，在（1）的平移基础上还需进行怎样的平移？
19．（8分）（24-25七年级·安徽安庆·周测）（1）已知实数a，b满足(a-b)2=15，ab=4，求a4+b4的值；
（2）已知实数a，b满足a2+b2+3a2+b2-3=7，ab=3，求(a+b)2的值．
20．（8分）（24-25七年级·广西南宁·期中）阅读：在计算x-1xn+xn-1+xn-2+…+x+1的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
(1)【观察】① x-1x+1=_____；
② x-1x2+x+1=_____；
③ x-1x3+x2+x+1=_____；……
(2)【猜想】由此可得：x-1xn+xn-1+xn-2+…+x+1=__________；
(3)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：52024+52023+52022+52021+…+5+1的值．
21．（10分）（24-25七年级·安徽安庆·单元测试）如图是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作；
（1）将原图形绕点O逆时针旋转90°；
（2）发挥你的想象，进一步设计图案，让图案变得更加美丽．
22．（10分）（24-25七年级·广东潮州·期末）（1）探究：观察图①，图形的面积能说明的乘法公式是_________________________．
（2）运用：观察图②，用等式表示图中阴影部分的面积____________．
若x满足11-xx-8=2，求11+x2+x-82的值．
（3）拓展：如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE=DE，BE=CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草．经测量种花区域的面积和为252m2，AC=7m，求种草区域的面积．

23．（12分）（24-25七年级·山东济南·期末）【概念学习】
一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式．
【特例感知】
代数式m+n+p中任意两个字母交换位置，可得到代数式n+m+p，p+n+m，m+p+n，因为n+m+p=p+n+m=m+p+n，所以m+n+p是对称式．而交换式子m-n中字母m，n的位置，得到代数式n-m，因为m-n≠n-m，所以m-n不是对称式．
【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题：
(1)下列代数式中是对称式的有______（填序号）；
①2m⋅2n⋅2p
②-2mn
③-2m-2n
④m-n2
(2)若关于m，n的代数式km-n2+km2-n2为对称式，则k的值为______；
(3)在（2）的条件下，已知上述对称式km-n2+km2-n2=-10，且mn=1，求m-n2的值．
24．（12分）（24-25七年级·安徽安庆·单元测试）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
(1)请利用图①所得的恒等式解决如下问题：若a＋b2=5，a-b=1，求ab的值；
(2)正方形ABCD、正方形AEFG如图②所示方式摆放，边长分别为x，y．若x2+y2=34，BE=2，请直接写出图中阴影部分的面积；
(3)类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由2个正方体和6个长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式；
(4)已知 a+b=3，ab=1，利用3中的恒等式求a3+b32的值．
答案与解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25七年级·江西南昌·期中）若xa=5，xb=2，则x3a-2b的值为（ ）
A．11B．10C．52D．1254
【答案】D
【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用幂的乘方的法则，同底数幂的除法的法则进行运算即可．
【详解】解：∵xa=5，xb=2，
∴x3a-2b
=x3a÷x2b
=xa3÷xb2
=53÷22
=1254，
故选：D．
2．（3分）（2024·山西·模拟预测）如图，将△ABC沿直线AB的方向向右平移2cm后到达△A'B'C'的位置，此时点A'与点B重合，若△A'B'C'的周长为12cm，则四边形AB'C'C的周长为（ ）
A．14cmB．15cmC．16cmD．17cm
【答案】C
【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，进行求解即可，熟练掌握平移的性质，是解题的关键．
【详解】解：由平移的性质可知，AB=BB'=CC'=2cm，BC=B'C'
∵△ABC的周长为12cm，即AB+BC+AC=AB+B'C'+AC=12cm，
∴四边形AB'C'C的周长为AB+B'C'+AC+BB'+CC'=12+2+2=16cm，
故选：C．
3．（3分）（24-25七年级·山东淄博·期末）已知(x+a)(x+b)=x2+mx-6，若a，b都是整数，则m的值不可能是（ ）
A．1B．-1C．-5D．-7
【答案】D
【分析】此题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的乘法法则，得到a+b=m，ab=-6，再根据a和b为整数，进行分类讨论是解题的关键．
【详解】∵x+ax+b=x2+a+bx+ab，
∴x+ax+b=x2+mx-6，
则a+b=m，ab=-6，
∵a和b均为整数，
∴当a=1时，b=-6，此时m=a+b=-5；
当a=-1时，b=6，此时m=a+b=-1+6=5；
当a=2时，b=-3，此时m=a+b=-1；
当a=-2时，b=3，此时m=a+b=1；
综上：m=±1或±5，
故选：D．
4．（3分）（24-25七年级·浙江宁波·期中）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB'C'，使CC'∥AB，若∠CAB=70°，则旋转角的度数是（ ）
A．35°B．40°C．50°D．70°
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．先根据平行线的性质得到∠ACC'=∠CAB=70°，再根据旋转的性质得到AC=AC'，∠CAC'等于旋转角，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠CAC'，从而得到旋转角的度数．
【详解】解：∵ CC'∥AB，
∴∠ACC'=∠CAB=70°，
∵△ABC绕点A逆时针旋转至△AB'C'，
∴AC=AC'，∠CAC'等于旋转角，
∴∠AC'C=∠ACC'=70°，
∴∠CAC'=180°-2×70°=40°，
即旋转角的度数是40°．
故选：B．
5．（3分）（24-25七年级·福建福州·期中）如图1是宽为a，长为ban，若9m与9n的末两位数字相同，则m-n的最小值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】B
【分析】由题意可知9m-9n=9n9m-n-1是100的倍数，从而分析得到9m-n的末尾数字是01，设m-n=2t（t为正整数），由9m-n=92t=92t=81t，分析判断即可得到正确答案．
【详解】解：由题意知，9m-9n=9n9m-n-1是100的倍数
∵9n与100互质
∴9m-n-1是100的倍数
∴9m-n的末尾数字是01
∴m-n的数值一定是偶数，且m，n是正整数，m>n
设：m-n=2t（t为正整数）
则：9m-n=92t=92t=81t
∵812的末尾两位数字为61，813的末尾两位数字为41，814的末尾两位数字为21，815末尾两位数字为01
∴t的最小值为5，
∴m-n的最小值为10
故答案为：B
【点睛】本题考查幂的乘方，牢记相关的知识点并能灵活应用是解题的关键．
8．（3分）（24-25七年级·山东济南·期末）如图，AB为一根长为25 cm的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点M、N，分别将AM、BN沿点M、N折叠，点A、B分别落在绳子上的点A'、B'处．当A'B'=5 cm时，MN的长为（ ）
A．10 cmB．25 cm
C．10 cm或15 cmD．15 cm或25 cm
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质，两点之间的距离．
分两种情况分别计算即可：当点落在点的左侧时，当点落在点的右侧时．
【详解】解：当点A'落在点B'的左侧时，如图，
∵AM+A'M+A'B'+B'N+BN=25cm，A'B'=5cm，
∴AA'+BB'=20cm，
由折叠的性质得，AM=A'M，BN=B'N，
∴A'M+B'N=10cm，
∴MN=MA'+A'B'+B'N=15cm；
当点A'落在点B'的右侧时，如图，
∵AA'+BB'=AB+A'B'=25+5=30cm，
∴AM+BN=12AA'+12BB'=12AA'+BB'=12×30=15cm，
∴MN=AB-AM+BN=25-15=10cm，
综上所述，当A'B'=5 cm时，MN的长为15cm或10cm．
9．（3分）（24-25七年级·湖北·周测）若2x4-3x3+ax2+7x+b能被x2+x-2整除，则a:b的值是（ ）
A．-2B．-12C．6D．4
【答案】A
【分析】本题考查了整式的乘法，及用待定系数法求字母的值．由于2x4-3x3+ax2+7x+b的最高次项是2x4，而x2+x-2的最高次项是x2，因此可设
2x4-3x3+ax2+7x+b=(x2+x-2)(2x2+mx+n)，将(x2+x-2)(2x2+mx+n)按照多项式乘法法则乘开，再利用待定系数法即可求出m、n、a、b的值，再求出a:b的值即可．
熟练掌握多项式乘法法则和待定系数法是解题的关键．
【详解】设2x4-3x3+ax2+7x+b=(x2+x-2)(2x2+mx+n)，
∵(x2+x-2)(2x2+mx+n)
=2x4+mx3+nx2+2x3+mx2+nx-4x2-2mx-2n
=2x4+(m+2)x3+(n+m-4)x2+(n-2m)x-2n
∴2x4-3x3+ax2+7x+b=2x4+(m+2)x3+(n+m-4)x2+(n-2m)x-2n，
∴m+2=-3n+m-4=an-2m=7-2n=b，
解得m=-5，n=-3，a=-12，b=6，
∴a:b=(-12):6=-2，
故选：A．
10．（3分）（24-25七年级·福建泉州·阶段练习）如图，将两张边长分别为a和ba>b的正方形纸片按图1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边AB、AD的长度分别为m、n．设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．当m-n=2时，S1-S2的值为（ ）
A．-2bB．2a-2bC．2aD．2b
【答案】D
【分析】AB=m，AD=n，图①中阴影部分的面积为S1=mn-a2-b(n-a)=mn-a2-bn+ab，②中阴影部分面积为S2=mn-a2-b(m-a)=mn-a2-bm+ab，且m-n=2，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，图①中阴影部分面积为
∴S1=S四边形ABCD-S正方形A1B1C1A2-S四边形A2C2B2D1，且A1B1=a，C2B2=b，A2C2=n-a，
∴S1=mn-a2-b(n-a)=mn-a2-bn+ab；
如图所示，图②中阴影部分面积为
∴S2=S四边形ABCD-S正方形A1B1D1A2-S四边形C1D1EF，且A1A2=a，EF=b，C1F=m-a，
∴S2=mn-a2-b(m-a)=mn-a2-bm+ab，
∴S1-S2=(mn-a2-bn+ab)-(mn-a2-bm+ab)=b(m-n)，
当m-n=2时，S1-S2=b(m-n)=2b，
故选：D．
【点睛】本题主要考查图像变换与面积的关系，整式的混合运算，理解图形变换中边与边的和与差的关系是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25七年级·广西南宁·期末）已知m2+kmn+4n2是一个完全平方式，则k= ．
【答案】±4
【分析】本题主要考查了完全平方式．熟练掌握完全平方公式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．根据平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式列式进行计算，即可确定k的值．
【详解】∵m2+kmn+4n2是一个完全平方式，
∴m2+kmn+4n2=m±2n2=m2±4mn+4n2，
∴k=±4．
故答案为：±4．
12．（3分）（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2025个图案与第1个至第4个中的第 个箭头方向相同．（填序号）
【答案】1
【分析】本题考查了图形的旋转规律，解题的关键是找出图案循环的周期并通过除法运算确定对应位置．
通过分析图案的旋转规律，确定循环周期为4，用总个数除以周期，根据余数判断对应图案．
【详解】观察可知，图案每4个为一个循环周期．计算2025÷4=506⋯⋯1，其中余数为1．这表明第2025个图案经过了506个完整周期后，处于新周期的第1个位置，与第1个图案的箭头方向相同．所以第2025个图案与第1个图案箭头方向相同．
故答案为：1．
13．（3分）（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）某同学计算一个多项式乘-3x2时，因抄错符号，算成了加上-3x2，得到的答案是x2-12x+1，那么正确的计算结果是 ．
【答案】-12x4+32x3-3x2
【分析】先用错误的结果减去已知多项式求得原式，再乘以-3x2即可解答．
【详解】解：这个多项式是（x2-0.5x+1）-（-3x2）=4x2-0.5x+1，
正确的计算结果是：（4x2-0.5x+1）（-3x2）=-12x4+32x3-3x2．
故答案为-12x4+32x3-3x2．
【点睛】本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握单项式与多项式相乘运算法则是解答本题的关键．
14．（3分）（24-25七年级·上海徐汇·期中）已知a2+b2=4，c2+d2=10，ac+bd=2．求ad-bc的值为 ．
【答案】±6
【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握其运算法则，整式的化简，将式子变形得ac+bd2+ad-bc2=a2+b2c2+d2是解题的关键．
根据整式的混合运算，整式的化简等方法，将式子变形得ac+bd2+ad-bc2=a2+b2c2+d2即可求解．
【详解】解：已知a2+b2=4，c2+d2=10，ac+bd=2，
∵ac+bd2+ad-bc2
=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2-2abcd+b2c2
=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2
=a2c2+d2+b2c2+d2
=a2+b2c2+d2
=4×10
=40，
∴ac+bd2+ad-bc2=40，
∴22+ad-bc2=40，
∴ad-bc2=36，
∵±62=36，
∴ad-bc=±6，
故答案为：±6．
15．（3分）（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=80°，D是BC上任意一点，M和N分别是点D关于AB和AC的对称点．连接AM和AN，则∠MAN的度数为 ．
【答案】100°/100度
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，三角形的内角和等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解决此题的关键，利用轴对称的性质解答即可．
【详解】解：如图，连接AD，
∵点M和点N分别是点D关于AB和AC的对称点，
∴∠MAB=∠BAD，∠NAC=∠CAD，
∵∠B=50°，∠C=80°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°-80°-50°=50°，
∴∠MAN=2∠BAC=100°，
故答案为：100°．
16．（3分）（24-25七年级·浙江杭州·期中）有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为I1，面积为S1，图2中阴影部分周长为I2，面积为S2，若S2-S1=I1-I222，则c:b的值为 ．
【答案】1:3/13
【分析】本题主要考查整式的混合运算，根据题目中的数据，设大长方形的短边长为d，用含a，b，c，d的式子表示出I1，S1，I2，S2，代入S2-S1=I1-I222即可求解．
【详解】解：设大长方形的短边长为d，
∴由图2知，d=b-c+a，
∴I1=2(a+b+c)+(d-a)+(d-c)+(a-b)+(b-c)=2a+2b+2d，
S1=da+b+c-a2-b2-c2，
I2=(a-b)+(b-c)+a+b+c+d+a+c=3a+b+c+d，
S2=da+b+c-a2-b2+bc，
∴S2-S1=bc+c2，I1-I2=b-c-a+d，
∴bc+c2=b-c-a+d22，
∴bc+c2=b-c2，
∴3bc=b2，
∴b=3c，
∴c:b的值为1:3．
故答案为：1:3．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25七年级·湖南长沙·期中）已知5m=4，5n=6，25p=9．
(1)求5m+n的值；
(2)求5m-2p的值；
(3)写出m，n，p之间的数量关系．
【答案】(1)24
(2)49
(3)m+2p=2n
【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键．
（1）根据5m+n=5m×5n，代入计算即可；
（2）根据5m-2p=5m÷52p，结合25p=52p=9代入计算即可；
（3）根据5m⋅25p=5m⋅52p=4×9=36=62，结合5n=6变形即可解答．
【详解】（1）解：∵5m=4，5n=6，
∴5m+n=5m⋅5n=4×6=24．
（2）解：∵25p=52p=52p=9，
∴5m-2p=5m÷52p=4÷9=49．
（3）解：∵5m⋅25p=5m⋅52p=4×9=36=62，
又5n=6，
∴5m⋅52p=5n2，
∴m+2p=2n．
18．（6分）（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）如下图所示的是正在进行的“俄罗斯方块”游戏（网格由边长为1个单位长度的小正方形组成），现有一“T”形方块向下运动．
(1)若该“T”形方块向下平移了5个单位长度，请在图中画出平移后的图形（画上阴影）；
(2)为了使所有图案消除，在（1）的平移基础上还需进行怎样的平移？
【答案】(1)画图见解析
(2)先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度
【分析】本题考查了平移的定义及性质，掌握平移的性质是解题的关键．
（1）根据平移的定义及性质即可解答；
（2）根据平移的定义及性质，俄罗斯方块的规则即可解答；
【详解】（1）解：∵该“T”形方块向下平移了5个单位长度，
∴平移后的图形如图所示：
（2）解：为了使所有图案消除，在（1）的平移基础上还需先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度．
19．（8分）（24-25七年级·安徽安庆·周测）（1）已知实数a，b满足(a-b)2=15，ab=4，求a4+b4的值；
（2）已知实数a，b满足a2+b2+3a2+b2-3=7，ab=3，求(a+b)2的值．
【答案】（1）497；（2）10
【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值问题，掌握完全平方公式中a2+b2、a±b、ab三者之间的关系，并能熟练利用平方差公式进行运算是解题的关键．
（1）根据题意求出a2+b2，再根据a4+b4 =a2+b22-2a2b2，进行整体代换求值，即可求解；
（2）由平方差公式可求a2+b2=4，再由完全平方公式展开进行整体代换求值，即可求解；
【详解】解：（1）∵ (a-b)2=a2-2ab+b2=15，ab=4，
∴ a2+b2
=15+2ab
=15+2×4
=23，
∴ a4+b4
=a2+b22-2a2b2
=a2+b22-2(ab)2
=232-2×42，
=497．
（2）∵ a2+b2+3a2+b2-3=7，
∴ a2+b22-32=7，
∴ a2+b22=7+9=16，
∴ a2+b2=4．
∵ ab=3，
∴ (a+b)2
=a2+b2+2ab
=4+2×3=10．
20．（8分）（24-25七年级·广西南宁·期中）阅读：在计算x-1xn+xn-1+xn-2+…+x+1的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
(1)【观察】① x-1x+1=_____；
② x-1x2+x+1=_____；
③ x-1x3+x2+x+1=_____；……
(2)【猜想】由此可得：x-1xn+xn-1+xn-2+…+x+1=__________；
(3)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：52024+52023+52022+52021+…+5+1的值．
【答案】(1)x2-1；x3-1；x4-1
(2)xn+1-1
(3)52025-14
【分析】此题主要考查了平方差公式、多项式乘以多项式以及数字变化规律，正确得出式子之间的变化规律是解题关键
（1）利用平方差公式和多项式乘以多项式计算即可；
（2）利用（1）中变化规律进而得出答案；
（3）设x=5,n=2024，则5-152024+52023+52022+⋯+5+1=52025-1，即可求解．
【详解】（1）解：x-1x+1=x2-1；
x-1x2+x+1=xx2+x+1-x2+x+1=x3+x2+x-x2-x-1=x3-1；
x-1x3+x2+x+1=xx3+x2+x+1-x3+x2+x+1=x4+x3+x2+x-x3-x2-x-1=x4-1，
故答案为：x2-1；x3-1；x4-1；
（2）解：（1）总结得到，x-1xn+xn-1+xn-2+⋯+x+1=xn+1-1，
故答案为：xn+1-1；
（3）解： 设x=5,n=2024，
根据x-1xn+xn-1+xn-2+⋯+x+1=xn+1-1
则5-152024+52023+52022+⋯+5+1=52025-1，
∴52024+52023+52022+52021+…+5+1=52025-14．
21．（10分）（24-25七年级·安徽安庆·单元测试）如图是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作；
（1）将原图形绕点O逆时针旋转90°；
（2）发挥你的想象，进一步设计图案，让图案变得更加美丽．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由将原图形绕点O逆时针旋转90°可得旋转后的图形的边与原图形对应的边垂直且相等，故可画出旋转后的图形；
（2）当组成的图形为中心对称图形时，图案会更加美丽，由此可补全图形，即可得到更加完美的图形．
【详解】解：（1）∵将原图绕点O逆时针旋转90°，
∴旋转后的图形的边与原图形对应的边垂直且相等．
∴可画出旋转后的图形，如图1粗实线所示：
（2）由（1）中图形可知，当组成的图形为中心对称图形时，图案会更加美丽，
可再将原图形绕点O逆时针旋转180°，然后将原图形绕点O顺时针旋转90°，
如图2所示．
【点睛】本题考查了旋转作图和利用旋转设计图案，解题的关键是要充分利用图形的特点和网格．
22．（10分）（24-25七年级·广东潮州·期末）（1）探究：观察图①，图形的面积能说明的乘法公式是_________________________．
（2）运用：观察图②，用等式表示图中阴影部分的面积____________．
若x满足11-xx-8=2，求11+x2+x-82的值．
（3）拓展：如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE=DE，BE=CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草．经测量种花区域的面积和为252m2，AC=7m，求种草区域的面积．

【答案】（1）(a+b)2=a2+2ab+b2；（2）a2+b2=(a+b)2-2ab，5；（3）12m2
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，三角形的面积公式，用代数式表示整体的面积以及各个部分的面积是解决问题的关键．
（1）用代数式表示大正方形的面积，各个部分的面积，再根据面积之间的关系即可得出答案；
（2）根据面积之间的关系即可得出答案；
（3）由题意得出种花区域的面积为S△ADE+S△BEC=12AE2+CE2=252，求出AE⋅CE=12，则AE⋅BE=DE⋅CE=12，由三角形面积关系可得出答案．
【详解】解：（1）大正方形的边长为a+b，因此大正方形的面积为a+b2．组成大正方形的四个部分的面积分别为a2、ab、ab、b2，
由面积之间的关系可得，(a+b)2=a2+2ab+b2．
故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2；
（2）由（1）知大正方形的面积为a+b2，
∴图中阴影部分的面积=a2+b2=(a+b)2-2ab
∵11-x2+x-82=11-x+x-82-211-xx-8=32-2×2=9-4=5，
∴11-x2+x-82的值是5；
（3）∵AC⊥BD，AE=DE，BE=CE，
∴S△ADE=12AE2，S△BEC=12CE2，
∴种花区域的面积为S△ADE+S△BEC=12AE2+CE2=252，
∴AE2+CE2=25，
∵AC=7，
∴AE+CE=7，
∴AE+CE2=AE2+CE2+2AE⋅CE=72，
∴AE⋅CE=12，
又∵AE=DE，BE=CE
∴AE⋅BE=DE⋅CE=12，
∴S△ABE+S△DEC=12(AE⋅BE+DE⋅CE)=12m2．
∴种草区域的面积为12m2．
23．（12分）（24-25七年级·山东济南·期末）【概念学习】
一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式．
【特例感知】
代数式m+n+p中任意两个字母交换位置，可得到代数式n+m+p，p+n+m，m+p+n，因为n+m+p=p+n+m=m+p+n，所以m+n+p是对称式．而交换式子m-n中字母m，n的位置，得到代数式n-m，因为m-n≠n-m，所以m-n不是对称式．
【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题：
(1)下列代数式中是对称式的有______（填序号）；
①2m⋅2n⋅2p
②-2mn
③-2m-2n
④m-n2
(2)若关于m，n的代数式km-n2+km2-n2为对称式，则k的值为______；
(3)在（2）的条件下，已知上述对称式km-n2+km2-n2=-10，且mn=1，求m-n2的值．
【答案】(1)①②④
(2)-1
(3)m-n2=4
【分析】本题是新定义问题，主要考查的是整式的运算和完全平方公式的知识，掌握以上知识是解题的关键；
（1）根据对称式的含义即可做出判断；
（2）根据对称式的含义即可求解；
（3）由（2）k=-1可得m-n2+m2+n2=10，再根据mn=1，通过m2+n2-2mn=m-n2，即可求解得到m-n2的值；
【详解】（1）解：①2m⋅2n⋅2p，
∵2m⋅2n⋅2p=2m⋅2p⋅2n=2p⋅2m⋅2n，
∴2m⋅2n⋅2p是对称式；
②-2mn，
∵-2mn=-2nm，
∴-2mn是对称式；
③-2m-2n，
∵-2m-2n≠-2n-2m，
∴-2m-2n不是对称式；
④m-n2，
∵m-n2=n-m2，
∴m-n2是对称式；
综上所述：对称式有①②④，
故答案为：①②④；
（2）解：∵km-n2+km2-n2是对称式，
∴km-n2+km2-n2=kn-m2+kn2-m2，m≠n，
即km2-n2=kn2-m2，
解得：k=-1，
故答案为：-1；
（3）解：由（2）得k=-1，即km-n2+km2-n2=-10可化简为：-m-n2-m2-n2=-10，
即m-n2+m2+n2=10，
∵mn=1，
∴m-n2+m2+n2-2mn=10-2，
∴m-n2+m-n2=8，
解得：m-n2=4
24．（12分）（24-25七年级·安徽安庆·单元测试）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
(1)请利用图①所得的恒等式解决如下问题：若a＋b2=5，a-b=1，求ab的值；
(2)正方形ABCD、正方形AEFG如图②所示方式摆放，边长分别为x，y．若x2+y2=34，BE=2，请直接写出图中阴影部分的面积；
(3)类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由2个正方体和6个长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式；
(4)已知 a+b=3，ab=1，利用3中的恒等式求a3+b32的值．
【答案】(1)1
(2)8
(3)a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3
(4)9
【分析】本题考查完全平方公式和立方公式，熟练掌握数形结合是解题的关键；
（1）根据图形的面积即可求解；
（2）根据四边形ABCD和AEFG都是正方形，设BC=AB=DC=x，AE=AG=EF=y，根据S阴影=S△DFC+S△EBF，即可求解；
（3）根据题意可得，正方形体积表示为a+b3或a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3，即可求解；
（4）根据a+b=3，ab=1，结合a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3即可求解；
【详解】（1）由图1可知，大正方形面积为a+b2或a-b2-4ab，
∴a+b2=a-b2+4ab，
∴5=1+4ab，
∴ab=1
（2）由图可知，∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，
∴BC=AB=DC=x，
AE=AG=EF=y，
BE=2
∴x-y=BE=2，又x2+y2=34，
∴x-y2=x2-2xy+y2=4，
∴xy=15，
S阴影=S△DFC+S△EBF
=12xx-y+12×2×y
=12×2x+y
=x+y
x+y2=x2+y2+2xy=34+30=64，
∵x+y>0，
∴x+y=8
即阴影部分的面积为8
（3）由图3得，正方形体积表示为a+b3，
也可以表示为a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3，
∴a+b3=a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3，
即a3+b3=a+b3-3a2b-3ab2
（4）∵a+b=3，ab=1，
由3得a3+b3=a+b3-3a2b-3ab2，
=a+b3-3aba+b
=27-3×1×3
=18，
∴a3+b32=9