北师大版（2024）七年级下册（2024）乘法公式第3课时教学设计

这是一份北师大版（2024）七年级下册（2024）乘法公式第3课时教学设计，共6页。教案主要包含了学生任务分析，学生起点分析，教学目标，教学过程设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
一、学生任务分析
完全平方公式是平方差公式之后的又一个乘法公式。掌握完全平方公式可以更简便地进行该类型的多项式与多项式的乘法运算，也为将来学习因式分解、解一元二次方程等知识奠定基础。
作为整式的乘法公式的第3课时，本课时内容是在学生已经学习了整式乘法及平方差公式的基础上，通过多项式乘多项式的乘法法则推导完全平方公式。运用完全平方公式进行计算，对简化某些整式的运算、增强学生用简便方法进行计算的意识有较大好处。了解完全平方公式的几何背景，进一步体会数形结合思想，也为下一课时进一步理解完全平方公式，利用公式进行稍复杂的计算和数的简便运算奠定基础。
二、学生起点分析
学生在前面的学习中已经经历了探索和推导平方差公式的过程，并能运用公式进行简单的计算。同时，前面有理数运算、整式的加减和乘法运算等基础知识和基本技能的学习，为本节课的学习奠定了基础。七年级的学生对数形结合的方法仅处于初步认识阶段，在理解公式的几何背景方面有一定的困难，但计算矩形的面积对学生来讲难度不大。
在前面的学习中，学生已经初步感受了探索和应用平方差公式的过程，获得了一些数学活动的经验，具备一定的符号意识和逻辑推理能力。同时，在相关知识的学习中，学生经历了很多探究学习的过程，具有一定的独立探究意识以及合作交流的能力。
三、教学目标
1.经历探索完全平方公式的过程，发展推理能力。
2.理解完全平方公式，能利用公式进行简单的计算和推理。
3.了解完全平方公式的几何背景，发展几何直观。
教学重点：理解并掌握完全平方公式的运算法则。
教学难点：从广泛意义上理解公式中字母的含义，会运用完全平方公式进行计算。
四、教学过程设计
本节课设计六个教学环节：【第一环节】知识回顾，结构关联；【第二环节】自主探究，归纳新知；【第三环节】合作探究，加深认知；【第四环节】典例剖析，巩固新知；【第五环节】总结提升，完善认知；【第六环节】布置作业，课后提升。
【第一环节】知识回顾，结构关联
1.活动内容
前面我们学习了平方差公式，你还记得我们是如何探究得到平方差公式的吗？你认为接下来还有哪些类型的多项式乘多项式可以借助公式进行简便运算呢？
2.活动目的
通过回顾前面所学内容，让学生进一步了解本章知识结构，通过复习平方差公式的探究思路和方法，形成对探究完全平方公式的内容和思路的整体架构，提高学生对知识和方法的应用和迁移能力。
3.实际效果
教学时，学生比较容易回答平方差公式的内容和探究方法，教师要注意引导学生进一步认识哪种类型的多项式乘多项式适合用平方差公式解决，为区分本节课即将学习的完全平方公式做好铺垫。在第二个问题中，教师可以引导学生发现(a+b)2和(a-b)2此类多项式乘多项式，并追问：“你打算如何展开研究呢？”让学生充分交流和表达，体会数学知识与方法之间的联系，帮助学生对相关内容形成结构化认识。
【第二环节】 自主探究，归纳新知
1.活动内容
计算下列各式：
(1)(m + 3)2； (2)(2 + 3x)2。
观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？你能再举一些类似的例子吗？与同伴进行交流。
用字母来表示以上算式：(a + b)2 = a2 + 2ab + b2。
两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们乘积的两倍。
2.活动目的
本环节让学生计算两个具体的乘法算式，引导学生观察这些算式及其运算结果，从中发现规律，归纳概括出公式(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2，并用自己的语言进行表达。学生从已有的知识经验出发，体会完全平方公式的发现和推导过程，通过观察、思考、分类，概括完全平方公式的内容，发展抽象能力和推理能力等。
3.实际效果
学生很容易根据多项式乘多项式的乘法法则独立计算，完成后，教师出示计算过程及答案：
(1) (m+3)2
=(m+3)(m+3)
=m2+3m+3m+9
=m2+2×3m+9
=m2+6m+9。
(2) (2+3x)2
=(2+3x)(2+3x)
=4+2×3x+2×3x+9x2
=4+2×2×3x+9x2
=4+12x+9x2。
此环节，学生可以独立完成，并呈现出自己的思考过程。教师要注意引导学生发现此类算式的共同特征。通过观察不难发现，两个算式都是(首项+尾项) 2的形式，计算的结果都是首项²+2×首项×尾项+尾项²。
学生可自主探究后得出结论，自己举例子，经历从特殊到一般的过程，进而验证猜想。此类算式可以用公式(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2来表示，进而追问学生：你能用自己的语言叙述这一公式吗？此外，教师要注意帮助学生认清完全平方公式的本质。
【第三环节】合作探究，加深认知
1.活动内容
思考·交流
（1）你能用下图解释上面的公式吗？
（2）如何计算(a - b) 2 ？你是怎样做的？与同伴进行交流。
尝试·思考
请你设计一个图形解释这一公式。
2.活动目的
“思考·交流”环节提供了一个几何图形，要求学生用这个图形解释公式(a + b) 2=a2 +
2ab+b2，使学生“看到”公式的代数式结构的几何意义，了解公式的几何背景。问题（2）让学生从代数运算的角度，推导两数差的完全平方公式，进一步培养学生逻辑推理能力。“尝试·思考”环节让学生类比公式(a+b) 2=a2+2ab+b2的几何背景，用图形解释公式(a-b)2=a2+
2ab+b2，经历从代数运算到几何解释的过程，增强学生的数形结合意识。
3.实际效果
本环节可以通过小组合作交流完成，教师巡视，听取学生的看法、见解，随时参与讨论。对于问题（1），可以引导学生从图形面积的角度进行探究，了解完全平方公式的几何背景。学生不难发现整个大正方形的面积有两种表现形式：①利用面积公式表示为(a + b) 2 ； ②利用割补法表示为a2 + 2ab + b2。对于问题（2），有的学生利用多项式乘多项式将(a - b) 2化为(a - b)(a - b)进行计算，有的学生将(a - b) 2看成[a + (- b)] 2进行计算，两种方法皆可。“尝试·思考”环节，学生难以想到如何利用几何图形进行表示，教师可以启发学生从问题（1）入手，构造以(a - b)为边长的正方形，即可画出以下图形：
经历前面的学习活动后，学生不难总结出两个完全平方公式，(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2，(a - b)2=a2 - 2ab + b2，教师还要注意引导学生尝试用语言描述两个公式以加深学生对完全平方公式的理解：两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加（或减）这两数积的两倍。
【第四环节】 典例剖析，巩固新知
1.活动内容
例1 利用完全平方公式计算：
（1）(2x−3)2 ； （2）(4x+5y)2； （3）(mn − a)2 。
随堂练习：
（1）计算：① ；②；③。
（2）已知a + b = -3，求的值。
2.活动目的
本环节主要利用完全平方公式进行简单的计算，例题的三个题目在设计上有一定的梯度，让学生体会公式在简化运算中的作用，从而更好地理解知识。教学时，教师可要求学生指出每一个算式中与公式中的字母a，b相对应的分别是什么，体会公式中字母所表示的广泛含义。
随堂练习进一步加深学生对完全平方公式的认识，完善学生的认知结构，帮助学生熟练掌握完全平方公式，及时巩固所学，并能在解题中通过灵活的变形来运用公式解决问题，提高学生的运算能力。
3.实际效果
例题剖析中，教师要规范解答过程。在学生观察并与教师互动过程中，教师在黑板上板书以下过程。
解：（1）(2x-3)2 = (2x)2 -2·2x·3+32 = 4x2 -12x+9；
（2）(4x+5y)2 = (4x)2 +2·4x·5y+(5y)2 = 16x2 + 40xy + 25y2；
（3）(mn-a)2 = (mn)2 -2·mn·a+a2 = m2n2 - 2amn + a2。
教师需注意提醒学生：①当a，b表示数与字母的乘积时，要先加括号，再按照去括号法则进行计算。②在计算结果的三项式中，首平方、尾平方的符号为正，中间二倍首尾的符号需结合首项和尾项的符号来确定。
随堂练习的问题（1），学生不难作答，但教师需注意观察学生的答题是否规范；对于问题（2），可先让学生讨论交流，如果学生确实没有思路，教师可给予适当的引导。
【第五环节】 总结提升，完善认知
1.活动内容
（1）回顾借助几何图形解释或分析问题的过程，对于形与数的联系，你有哪些感悟？
（2）通过本节课的学习，你学会了哪些数学思想方法？
（3）你知道完全平方公式和平方差公式有何不同之处吗？
2.活动目的
通过反思和小结，梳理本节课所学的知识点和数学思想方法，细化知识结构，从而完善学生的认知结构，帮助学生整体把握单元知识，提升学生的数学观念，形成学科的核心素养。
3.实际效果
课堂小结并不只是回顾课堂上学习的知识点，还要尽量让学生畅谈自己的切身感受。教师要及时对发言的学生给予鼓励与肯定，帮助学生进一步梳理本节课所学，引导学生有所思考，达到巩固所学知识的目的。
【第六环节】 布置作业，课后提升
1.活动内容
（1）基础训练：习题1.3第3，4，7题。
（2）拓展练习：习题1.3第13题。
2.活动目的
通过课堂上的学习学生已经初步认识了完全平方公式，设计的分层作业在巩固学生所学的基础上，进一步培养学生的抽象和推理能力，为不同水平的学生提供发展的空间和机会。
3.实际效果
学生可以根据自己的学习情况，自主选择基础训练和拓展练习。
五、教学反思
本节课是整式的乘法这一章中的重点，它是多项式乘法特殊形式下的一种简便运算。学生需要熟练掌握公式的适用范围和使用方法，以提高运算速度。授课过程中，应注重让学生总结公式的特点，说明利用公式计算过程中容易出现的问题和特别注意的细节，然后再进行逐层深入的练习，巩固完全平方公式的应用。在实际教学中教师还可适当分层地提供一些必要的训练，使学生能够准确地进行基本的运算，并能说明每一步的算理，培养学生的基本运算能力和有条理表达的能力。
本节课设计了较多的学生探究活动，既加深学生对公式的识记，又提高他们应用公式的本领。教学中，教师应该有意识地培养学生的推理能力，鼓励学生通过合情推理进行大胆猜测，然后利用代数运算验证猜测或解决问题，同时鼓励学生有条理地表达自己的思考过程。
多元化评价本节课中学生的表现。教学中，教师要持续关注学生能否积极地参与数学活动，能否对提出的问题有自己的解决思路，在用代数和几何方法验证完全平方公式时能否进行合情推理，能否灵活地运用公式等。