2025年普通高等学校招生全国统一考试适应性测试数学试卷05（含答案解析）

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1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知为虚数单位，复数，则（ ）
A．B．2C．D．
2．已知集合，.若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
3．函数的图象在点处的切线方程为
A．B．C．D．
4．已知、满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知正方形的边长为，在边上，则的最大值为（ ）
A．1B．C．2D．
6．当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．我国的刺绣有着悠久的历史，如图，(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含个小正方形，则的表达式为（ ）
A．B．C．D．
8．已知直三棱柱中，，当该三棱柱体积最大时，其外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．2023年10月3日第19届杭州亚运会跳水女子10米跳台迎来决赛，中国“梦之队”包揽了该项目的冠亚军.已知某次跳水比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为，平均数为，若随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为，平均数为，下面说法正确的是（ ）
A．新数据的极差可能等于原数据的极差
B．新数据的中位数可能等于原数据的中位数
C．若，则新数据的方差一定大于原数据方差
D．若，则新数据的第40百分位数一定大于原数据的第40百分位数
10．华为5G通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：，其中，.已知定义在R上不恒为0的函数，对任意有：且满足，则（ ）
A．B．C．是偶函数D．是奇函数
11．如图，小明同学发现家里的两个射灯在墙上投影出两个相同的椭圆，其外轮廓曲线形如心形，经过他进一步的探究发现曲线也表示心形曲线，设为曲线上一点，为坐标原点，则下列小明关于曲线的说法正确的是（ ）
A．曲线只经过4个整数点（即横、纵坐标均为整数的点）
B．
C．
D．设曲线上一点，且，则的面积的最大值为3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．安排6名志愿者扶贫干部到甲、乙、丙三个贫困村做扶贫工作，每人只做1个村的脱贫工作，甲村安排1名，乙村安排2名，丙村安排3名，则不同的安排方式共有 种．
13．已知双曲线：的渐近线与抛物线相切，则的离心率为 .
14．已知定义在上函数，已知定义在上函数满足，设函数与图象交点为，则的值为 ；的值为 （用表示）．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．如图，在四棱锥中，平面平面，底面为菱形，，AB=2PA=2PB=2,E是的中点.
证明：平面平面.
求二面角D−AP−E的余弦值.
16．在中，内角所对的边分别为，且.
(1)证明：.
(2)若是的中点，求的最大值.
17．交通强国，铁路先行，每年我国铁路部门都会根据运输需求进行铁路调图，一铁路线l上有自东向西依次编号为1，2，…，21的21个车站.
(1) 为调查乘客对调图的满意度，在编号为10和11两个站点多次乘坐列车P的旅客中，随机抽取100名旅客，得出数据（不完整）如下表所示：
完善表格数据并计算分析：依据小概率值的独立性检验，在这两个车站中，能否认为旅客满意程度与车站编号有关联？
根据以往调图经验，列车P在编号为8至14的终到站每次调图时有的概率改为当前终到站的西侧一站，有的概率改为当前终到站的东侧一站，每次调图之间相互独立.已知原定终到站编号为11的列车P经历了3次调图，第3次调图后的终到站编号记为X，求X的分布列及均值.
附：，其中.
18．已知椭圆：的左顶点为，右焦点为，离心率为，为椭圆上一点，轴，且的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两点，为的中点，作射线交椭圆于点，交直线：于点，且满足，证明：直线过定点，并求出此定点的坐标．
19．设为非空集合，函数的定义域为.若存在使得对任意的均有，则称为函数的一个值，为相应的值点.
(1)若.证明：是函数的一个值点，并写出相应的值；
(2)若.分别判断函数是否存在值？若存在，求出相应的值点；若不存在，说明理由；
(3)若，且函数存在值，求函数的值，并指出相应的值点.
车站编号
满意
不满意
合计
10
28
40
11
3
合计
85
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
2025年普通高等学校招生全国统一考试适应性测试数学试卷05
答案解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知为虚数单位，复数，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】利用复数的除法运算化简，由此求得的模.
【详解】因为，所以.
故选：A.
2．已知集合，.若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】用列举法表示集合，根据求的值.
【详解】由得，解得，
∴.
∵，，
∴，解得.
故选：A.
3．函数的图象在点处的切线方程为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意求出，再由点斜式写出切线方程，即可选出答案．
【详解】由，则，所以函数的图象在点处的切线方程为．
故选A．
4．已知、满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，代入等式，利用两角和与差的正弦公式化简可得出，结合已知条件可求得的值.
【详解】，，
所以，，
，
所以，，
，因此，.
故选：D.
5．已知正方形的边长为，在边上，则的最大值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【分析】
建立平面直角坐标系，得出，，的坐标，设出点坐标，利用坐标运算求解即可．
【详解】由题意，建立如图所示坐标系，
则，，，
设，，
则，，
，
所以，
所以，
故当时，有最大值．
故选：C．
6．当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】根据给定条件，转化为方程根的个数列式计算即得.
【详解】依题意，曲线与的交点个数即为方程根的个数，
由，得，，
则或或，
解得或或，因此方程在上有3个解.
所以当时，曲线与的交点个数为3.
故选：A
7．我国的刺绣有着悠久的历史，如图，(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含个小正方形，则的表达式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先分别观察给出正方体的个数为：1，，，，总结一般性的规律，将一般性的数列转化为特殊的数列再求解．
【详解】解：根据前面四个发现规律： ， ， ，，，
累加得： ，
，
故选：．
8．已知直三棱柱中，，当该三棱柱体积最大时，其外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】要使三棱柱的体积最大，则面积最大，故令，则，再结合余弦定理得，进而得，当且仅当时，取得最大值，此时为等腰三角形，，再求解三棱柱外接球的半径即可得答案.
【详解】解：因为三棱柱为直三棱柱，
所以，平面
所以，要使三棱柱的体积最大，则面积最大，
因为，
令
因为，所以，
在中，，
所以，，
所以，，
所以，当，即时，取得最大值，
所以，当时，取得最大值，此时为等腰三角形，，
所以，，
所以，
所以，由正弦定理得外接圆的半径满足，即，
所以，直三棱柱外接球的半径，即，
所以，直三棱柱外接球的体积为.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．2023年10月3日第19届杭州亚运会跳水女子10米跳台迎来决赛，中国“梦之队”包揽了该项目的冠亚军.已知某次跳水比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为，平均数为，若随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为，平均数为，下面说法正确的是（ ）
A．新数据的极差可能等于原数据的极差
B．新数据的中位数可能等于原数据的中位数
C．若，则新数据的方差一定大于原数据方差
D．若，则新数据的第40百分位数一定大于原数据的第40百分位数
【答案】ABC
【分析】根据极差、中位数、平均数和方差的概念，以及百分位数的概念及计算方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，若随机删去任一轮的成绩，恰好不是最高成绩和最低成绩，此时新数据的极差可能等于原数据的极差，所以A正确；
对于B中，不妨假设，
当时，若随机删去的成绩是，此时新数据的中位数等于原数据的中位数，所以B正确；
对于C中，若，即删去的数据恰为平均数，根据方差的计算公式，分子不变，分母变小，所以方差会变大，所以C正确；
对于D中，若，即删去的数据恰为平均数，在按从小到大的顺序排列的5个数据中，
因为，此时原数据的分位数为第二数和第三个数的平均数；
删去一个数据后的4个数据，从小到大的顺序排列，可得，
此时新数据的分位数为第二个数，
显然新数据的分位数小于原数据的分位数，所以D错误.
故选：ABC.
10．华为5G通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：，其中，.已知定义在R上不恒为0的函数，对任意有：且满足，则（ ）
A．B．C．是偶函数D．是奇函数
【答案】AD
【分析】先根据定义化简得，再按照赋值法依次判断.
【详解】根据定义可得：，
.
令，则，A正确；
令，则，令，则，B错误；
令，则，又定义域为R，是奇函数，故C错误，D正确.
故选：AD
11．如图，小明同学发现家里的两个射灯在墙上投影出两个相同的椭圆，其外轮廓曲线形如心形，经过他进一步的探究发现曲线也表示心形曲线，设为曲线上一点，为坐标原点，则下列小明关于曲线的说法正确的是（ ）
A．曲线只经过4个整数点（即横、纵坐标均为整数的点）
B．
C．
D．设曲线上一点，且，则的面积的最大值为3
【答案】ACD
【分析】对于A，将曲线C变形求得，进而根据依次取值、和即可求出曲线经过的整数点；对于B，结合A得，同理以及检验时，是不成立的可判断；对于C，记是以x轴非负半轴为始边，以所在射线为终边的角，依据题意取，进而用和表示，再将其代入曲线方程可求得而得解；对于D，分和两种情况结合用和表示即可计算解得，进而由面积公式即可得解.
【详解】对于A，曲线C的方程可化为，所以，即，
又，令，得；令，得；令，得或；
所以曲线C只经过4个整数点，分别是，故A正确；
对于B，由A得即，且当时，，
同理曲线C的方程可化为，所以，即，
当时，；但当时，是不成立的，故B错误；
对于C，记是以x轴非负半轴为始边，以所在射线为终边的角，
由于曲线C关于y轴对称，不妨取，
则，代入曲线方程可得，
则，
因为，所以，所以，
所以，所以，所以，故C正确；
对于D，因为，所以，
由于曲线C关于y轴对称，考虑（i）取，则点，点，
则，
所以，
由于，则当时，，
所以的最大值为；
考虑（ii）取，则点，点，
则，
所以，由于，，
则当时，，所以的最大值为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．安排6名志愿者扶贫干部到甲、乙、丙三个贫困村做扶贫工作，每人只做1个村的脱贫工作，甲村安排1名，乙村安排2名，丙村安排3名，则不同的安排方式共有 种．
【答案】60
【分析】先选一个人安排到甲村，再从剩下的5个人中选2个人安排到乙村，最后把剩下的3个人安排到丙村，根据乘法分步原理得解.
【详解】解：先选一个人安排到甲村，有种方法；再从剩下的5个人中选2个人安排到乙村，有,最后把剩下的3个人安排到丙村，有种方法，根据乘法分步原理共有种方法.
故答案为：60
13．已知双曲线：的渐近线与抛物线相切，则的离心率为 .
【答案】
【解析】将渐近线方程与抛物线方程联立，利用相切只有一个实数解，求出，再由关系，即可求解.
【详解】把代入得，
∴，所以.
故答案为:.
14．已知定义在上函数，已知定义在上函数满足，设函数与图象交点为，则的值为 ；的值为 （用表示）．
【答案】
【分析】根据的解析式计算的值，则可求；先判断出的对称性，然后根据的对称性，分析出图象交点的对称性，由此求解出的值.
【详解】因为 ，
所以，
所以，所以；
因为，所以的图象关于点对称，
又因为，所以的图象也关于点对称，
所以图象的交点关于点对称，
则
所以，
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
【点睛】结论点睛：对称性的常用结论如下：
（1）若函数满足或或，则的一条对称轴为；
（2）若函数满足或或，则的一个对称中心为.
四、解答题
15．如图，在四棱锥中，平面平面，底面为菱形，，AB=2PA=2PB=2,E是的中点.
(1)证明：平面平面.
(2)求二面角D−AP−E的余弦值.
【答案】(1)证明见解析．
(2)
【分析】（1）取中点，连接，证明平面，分别以OA,OC,OP为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法证明面面垂直；
（2）用空间向量法求二面角．
【详解】（1）取中点，连接，如图，
因为四边形是菱形且，所以和都是正三角形，又是中点，
所以OC⊥AB,AE⊥CD，，从而有OC//AE，
又CE//AO，所以是矩形．
又AB=2PA=2PB，所以，所以，即是等腰直角三角形，
所以，，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
分别以OA,OC,OP为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，E(−1,3,0)，，
PB=(1,0,−1),PC=(0,3,−1),PA=(−1,0,−1),PE=(−1,3,−1),PD=(−2,3,−1)，
设平面的一个法向量是，则
PB⋅m=x−z=0PC⋅m=3y−z=0，取得m=(3,1,3)，
设平面的一个法向量是，则
PA⋅n=−x0−z0=0PE⋅n=−x0+3y0−z0=0，取得n=(3,0,−3)，
m⋅n=3+0−3=0，所以，
所以平面平面；
（2）设平面的一个法向量是，
则PD⋅t=−2a+3b−c=0PA⋅t=−a−c=0，取得t=(3,1,−3)，
设二面角D−AP−E的大小为，由图知为锐角，
所以csθ=cst,n=t⋅ntn=3+0+37×6=427．
16．在中，内角所对的边分别为，且.
(1)证明：.
(2)若是的中点，求的最大值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用倍角正余弦公式及差角正弦公式，将已知等式化为，即可证结论；
（2）应用余弦定理得，再由基本不等式求最值，进而确定角的最大值.
【详解】（1）因为，
所以则，
整理得，即.
因为，所以，即.
（2）由（1）及题设，有，
所以
，
所以，当且仅当时，等号成立.
故的最大值为.
17．交通强国，铁路先行，每年我国铁路部门都会根据运输需求进行铁路调图，一铁路线l上有自东向西依次编号为1，2，…，21的21个车站.
(1)为调查乘客对调图的满意度，在编号为10和11两个站点多次乘坐列车P的旅客中，随机抽取100名旅客，得出数据（不完整）如下表所示：
完善表格数据并计算分析：依据小概率值的独立性检验，在这两个车站中，能否认为旅客满意程度与车站编号有关联？
(2)根据以往调图经验，列车P在编号为8至14的终到站每次调图时有的概率改为当前终到站的西侧一站，有的概率改为当前终到站的东侧一站，每次调图之间相互独立.已知原定终到站编号为11的列车P经历了3次调图，第3次调图后的终到站编号记为X，求X的分布列及均值.
附：，其中.
【答案】(1)表格补充见解析；在这两个车站中，旅客满意程度与车站编号有关联.
(2)X的分布列见解析，X的均值为.
【分析】（1）根据题目所给数据补充表格即可；先零假设为：旅客满意程度与车站编号无关，接着依据表格数据计算的值，比较与的大小，再结合独立性检验的思想方法即可下结论得解.
（2）先由题得X的取值，接着依次计算每个取值相应的概率即可得X的分布列，再根据均值公式即可直接计算求解X的均值.
【详解】（1）补充列联表如下：
零假设为：旅客满意程度与车站编号无关，
则，
所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为旅客满意程度与车站编号有关联.
（2）由题X的可能取值为，
则； ；
； ，
所以X的分布列为
所以.
18．已知椭圆：的左顶点为，右焦点为，离心率为，为椭圆上一点，轴，且的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两点，为的中点，作射线交椭圆于点，交直线：于点，且满足，证明：直线过定点，并求出此定点的坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）根据离心率和的面积列式计算得到，则可得椭圆方程；
（2）当直线斜率存在且不为0时,设：（），与椭圆联立，利用韦达定理求出，，进而可得的方程，与联立可得，与椭圆联立可得，再根据可得的关系，代入：可得定点，再分别验证斜率为0和斜率不存在的情况即可.
【详解】（1）因为，
，则，
又，
解得，故椭圆的方程为；
（2）当直线斜率存在且不为0时，设：（），
由，
得：，，
故，
则：，与：联立得，：，
：与：联立得：，
因为，则，
即，解得，则：，恒过点，
当时，易知，
由得，则：过点，
当斜率不存在时，设，易知，
由得，则：过点,
综上，直线过定点.
19．设为非空集合，函数的定义域为.若存在使得对任意的均有，则称为函数的一个值，为相应的值点.
(1)若.证明：是函数的一个值点，并写出相应的值；
(2)若.分别判断函数是否存在值？若存在，求出相应的值点；若不存在，说明理由；
(3)若，且函数存在值，求函数的值，并指出相应的值点.
【答案】(1)证明见解析，为相应的值；
(2)不存在值，理由见解析，存在值，是相应的值点；
(3)值为，值点为.
【分析】（1）根据正弦函数的值域和值的定义即可证明；
（2）计算即可判断，对取，再利用值的定义即可判断；
（3）分析得函数的值即为最大值，值点即最大值点，再利用导数求出其最大值和最大值点即可.
【详解】（1）函数的定义域为R.对，以及任意x∈R，
由及知，
即，所以是函数的一个值点，为相应的值.
（2）函数的定义域为R.
对任意，取，仍有，但，
所以函数不存在值.
函数的定义域为R.
由易知，
当时，对任意x∈R，均有，即；
又对任意，取，
则，
即，所以是函数仅有的一个值，
是相应的值点.
（3）函数的定义域为，
由题设，该函数存在值，设相应值点为，
则即对任意成立，
故函数的值即为最大值，值点即最大值点.
，令得，
显然当时，恒成立，则函数在上单调递增，此时无最大值，舍去，
所以，解得，列表如下：
所以若函数存在值，
则值为，值点为.
车站编号
满意
不满意
合计
10
28
40
11
3
合计
85
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
车站编号
满意
不满意
合计
10
28
12
40
11
57
3
60
合计
85
15
100
X
8
10
12
14
P
0
ℎx
↗
极大值
↘