2025年普通高等学校招生全国统一考试适应性测试数学试卷01（含答案解析）

这是一份2025年普通高等学校招生全国统一考试适应性测试数学试卷01（含答案解析），共24页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A. [－1，1]∪[3，＋∞) B. [－3，－1]∪[0，1]
C. [－1，0]∪[1，＋∞) D. [－1，0]∪[1，3]
2. 双曲线 C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F，点 B在 y轴的正半轴上，直线 BF与 C在第一象限的交点为 P， BP→=4PF→，且 BP→⋅BF→=20a2，则 C的离心率为（ ）
A. 102 B. 5 C. 2 D. 62
3.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递增.若实数满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 飞机的线和山项在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔15km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为 18°，经过 3100h后又看到山顶的俯角为 78°，则山顶的海拔高度为（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，在▱ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且 AM→=34AB→， AN→=23AD→，连接AC，MN交于P点，若 AP→=λAC→，则λ的值为（ ）
A. 35 B. 37 C. 613 D. 617
6. 边长为2的正方形ABCD，点P在正方形内（含边界），满足 AP→=xAB→+yAD→，现有下列结论：
①当点P在线段BD上时，则 x+y=1
② x+y的取值范围为 0,4
③当点P在线段BD上时， x2+2y2的最小值为 23
④ AP→⋅AC→+AB→的最大值为12
则结论中正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7. 已知函数在x=1处取得极值，且，，若 fx的单调递减区间为，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 在平面直角坐标系中，已知点为抛物线：上一点，若抛物线在点处的切线恰好与圆：相切，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题.每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9.设数列的前n项和为，且，若，则下列结论正确的有( )
A.
B. 当时，取得最小值
C. 当时，n的最小值为7
D. 当时，取得最小值
10. 某网络销售平台，实施对口扶贫，销售某县扶贫农产品.根据2020年全年该县扶贫农产品的销售额(单位：万元)和扶贫农产品销售额占总销售额的百分比，绘制了如图的双层扇形图.根据双层扇形图(季度和月份后面标注的是销售额或销售额占总销售额的百分比)，下列说法正确的是（ ）
A. 2020年的总销售额为1000万元
B. 2月份的销售额为8万元
C. 4季度的销售额为280万元
D. 12个月的销售额的中位数为90万元
11. 在圆O的内接四边形中，，，，则（ ）
A.
B. 四边形的面积为
C.
D.
12. 如图，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为直线BD，CA上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当，时，点D到直线PQ的距离为
B. 线段PQ的最小值为
C. 平面平面BCD
D. 当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.函数的部分图象如图所示，若，且，则___________，___________.
14. 已知函数对于任意，都有，且当时，.若函数恰有3个零点，则的取值范围是___________.
15. 已知函数f(x)＝ 2−x,x≤−1,x+1,x>−1.则f(f(－2))=_______.
16. 在等腰梯形ABCD中，，，P是腰AD上的动点，则的最小值为______________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 x+2y=0，且焦点到渐近线的距离为1．
(1)求双曲线 C的方程；
(2)若双曲线 C的右顶点为 A， B(0,−b)，过坐标原点的直线 l与 C交于E，F两点，与直线AB交于点 M，且点E，M都在第一象限， △AFM的面积是 △AEM面积的 5倍，求直线 l的斜率．
18.已知等差数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等?
（3）在（2）的条件下，设，数列的前项和为.求：当为何值时，的值最大?
19.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，且4Sn＋1＝3Sn－9(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足3bn＋(n－4)an＝0(n∈N*)，记{bn}的前n项和为Tn.若Tn≤λbn，对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．
20. (一款游戏规则如下：掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面向前跳2步，若出现反面向前跳1步.
(1)若甲、乙二人同时参与游戏，每人各掷硬币2次，
①求甲向前跳的步数大于乙向前跳的步数的概率；
②记甲、乙二人向前跳的步数和为X，求随机变量X的分布列和均值.
(2)若某人掷硬币若干次，向前跳的步数为n(n∈N*)的概率记为pn，求pn的最大值.
21. 数列{an}，{bn}的每一项都是正数， a1=8， b1=16，且 an， bn， an+1成等差数列， bn， an+1， bn+1成等比数列．
(1)求数列 a2， b2的值;
(2)求数列{an}，{bn}的通项公式;
(3)记 1cn=1an+1an+1，记 1cn的前n项和为 Sn，证明对于正整数n都有 Sn0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，
得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3]．
2. 【答案】A
【解析】设双曲线的左焦点为 F1，连接 BF1， F1P，
由 BP→=4PF→，则 BF→=5PF→，又 BP→⋅BF→=4PF→×5PF→=20a2，
所以 PF=a，则 BP=4a， BF=5a，
根据双曲线的性质有 BF1=5a，又 F1P−PF=2a，所以 F1P=3a，
所以 BF12=BP2+F1P2，所以 PF1⊥BP，即 ∠FPF1=π2，
又 FF12=PF2+F1P2，即 10a2=4c2，即 c2a2=104，所以 e=ca=102．
故选：A.

3. 【答案】A
【解析】由，得，
因为函数是定义在上的偶函数，
所以可化为
因为在区间单调递增，
所以，所以，
所以，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以，解得，
即的取值范围是，
故选：A.
4. 【答案】D
【解析】如图，
∴在△ABC中，，
∴，
过C作于D，
∴，
∴山顶的海拔高度为
故选：D.
5. 【答案】D
【解析】∵ AM→=34AB→， AN→=23AD→，
∴ AP→=λAC→=λAB→+AD→=43λAM→+32λAN→，
设 NP→=μNM→，则 AP→−AN→=μAM→−AN→即 AP→=μAM→+1−μAN→，
∴ 43λ+32λ=1，
∴λ= 617.
故选：D.
6. 【答案】C
【解析】①当点 P在线段 BD上时， P,B,D三点共线，所以 x+y=1，故①正确；
②建立平面直角坐标系，如图所示，根据题意可得，
A0,0， B2,0， C2,2， D0,2，
设 P为 m,n， m,n∈0,2，
因为 AP→=xAB→+yAD→，
所以 m,n=x2,0+y0,2，所以 m=2xn=2y，
所以 m+n=2x+y，所以 x+y=12m+n，
又因为 m,n∈0,2，所以 m+n∈0,4，所以 x+y∈0,2，故②错误；
③由①知， x+y=1， x∈0,1，
则 x2+2y2=x2+21−x2=3x2−4x+2=3x−232+23，

当 x=23时，取得最小值 23，故③正确；
④ AC→+AB→=2,2+2,0=4,2, AP→=m,n，
所以 AP→⋅AC→+AB→=4m+2n， m,n∈0,2，
4m+2n=4m+2n=25×4m+2n25，
4m+2n25表示点 Pm,n到直线 4x+2y=0的距离，如图所示，点 C2,2到直线 4x+2y=0的距离最大，最大值为 4×2+2×225=655，
所以 4m+2n的最大值为 25×655=12，故④正确.

故选：C.
7. 【答案】D
【解析】由可得，
由条件可得，故，
由c>5a>0可得，故.
对于方程，
Δ
，当且仅当3a=-b时取等号，与矛盾，故等号不成立，即Δ＞0，故方程 f'x=0有两个实数根：，，由，得，故，
因为函数的单调递减区间为 m,n，容易判断m=1，于是.
故选：D.
8. 【答案】C
【解析】由点为抛物线上一点，可得，解得，
所以抛物线的方程为，
由y= 14x2，可得y`= 12x，则，
所以抛物线在处的切线斜率为，则切线方程为，即．
圆的圆心为，半径为，
又抛物线在点处的切线恰好与圆相切，可得，
解得或（舍去）．
故选：C．
9. 【答案】ABD
【解析】由得，
∴，
累加得，，
故，当时，满足上式，
∴，
当时，，∴，故选项A正确；
由于函数 ，其图象对称轴为，当时函数递增，
故当时，单调递增，又，
∴单调递增，且，
∴当时，单调递减，当时，单调递增，且，
∴当时，取得最小值，故选项B正确；
当时，单调递增，
又，
∴当时，n的最小值为8，故选项C错误；
当时，；当时，；当时，，
∴当时，考虑最小值，
又当时，恒为正且单调递减，恒为负且单调递增，
∴单调递增，∴当时，取得最小值，故选项D正确，
故选：．
10. 【答案】AC
【解析】对A：根据双层扇形图得3季度的销售额为300万元，3季度的销售额占总销售额的百分比为30％，所以2020年的总销售额为 30030%=1000（万元），故A正确；
对B：2月份销售额为
1000× 1601000×100%−5%−6%=50（万元），故B错误；
对C：4季度销售额为1000×28%=280（万元），故C正确；
对D：根据双层扇形图得12个月的销售额从小到大（单位：万元）：50,50,60，60,60,80,90,100,100, 110,120,120，所以12个月的销售额的中位数为：
12×80+90=85（万元），故D错误.
11. 【答案】ABD
【解析】由题意，，故，
在中，由余弦定理，
在中，由余弦定理，
故，解得，
又，故
故，解得，A正确；
，B正确；
在中，，
在中，，
，C错误；
，
又
，故，D正确.
故选：ABD.
12. 【答案】BCD
【解析】取的中点，连接，由题意可知：，
因为，所以，
又易知，
因为，，，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面，故C正确；
以为原点，分别为轴建立坐标系，
则，
当，时，，，
，，
所以点D到直线PQ的距离为，故A错误；
设，，由得，，
，
当时，，故B正确；
当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，
，，，，
设PQ与AD所成的角为，
则，
所以PQ与AD所成角的余弦值为，故D正确.
13. 【答案】
【解析】由题设，又，则，
，则，故，
由且是y轴左侧第一个零点，故，即，则，
由图知：关于函数图象中y轴右侧第一个零点对称，即对称，
所以，
由，且，
所以，
而，则
.
故答案为：，.
14. 【答案】
【解析】由对任意都成立，所以函数的图像关于直线对称，
先作出函数在上的图像，再作出这部分图像关于直线对称的图像，
得函数的图像，如图所示：
令，得，令，则函数的零点个数即函数的图像与函数的图像的交点个数，
因为，所以的图像关于轴对称，
且恒过定点，当函数的图像过点时，，
过点作函数的图像的切线，
设切点为处的切线方程为，
又切线过点，所以，所以切线的斜率为，
即当时，的图像与函数的图像相切，
由图可知，当且仅当时，
和恰有3个交点，即恰三个零点.
故答案为：.
15. 【答案】5
【解析】根据函数f(x)＝ 2−x,x≤−1,x+1,x>−1.可得f(－2)＝22＝4，则f(f(－2))＝f(4)＝4＋1＝5.
16. 【答案】 332
【解析】以A为原点，射线AB为x轴正半轴建立直角坐标系，如图所示，
因为，过点D作DE⊥AB交AB于点E，所以AE= 12，
所以，即，
所以B(2,0)，，设，其中，
，，
∴，
∴ 2PB→−PC→=4a2−2a+7=4a−142+274，
∴当a= 14时， 2PB→−PC→取最小值 332．
故答案为： 332．
17. 【答案】解 (1)双曲线 C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线为 y=±bax，又一条渐近线方程为 x+2y=0，
所以 ba=12，
又焦点到渐近线的距离为1，即 c12+22=1，所以 c=5，
又 c=a2+b2，所以 a2=4， b2=1，则双曲线 C的方程为 x24−y2=1；
(2)由(1)可得 A2,0， B0,−1，
则直线 AB的方程为 y=12x−1，
设 l:y=kx， Ex1,y1， F−x1,−y1， Mx2,y2，由题意可知 0