2025年普通高等学校招生全国统一考试适应性测试数学试卷03（含答案解析）

这是一份2025年普通高等学校招生全国统一考试适应性测试数学试卷03（含答案解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x2−x−3>0}，B={−2,−1,1,2,3}，则A∩B=( )
A. {−2}B. {1,2}C. {−2,3}D. {−2,2,3}
2.若1+z1−i=z1+i，则z=( )
A. −12+12iB. 12+12iC. −12−12iD. 12−12i
3.已知向量a和b满足(a+b)⊥b，|a+b|= 2，则a⋅(a+b)=( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
4.某人通过手机APP记录锻炼情况，得到11月份每天的锻炼时间(单位：ℎ)如下表：
据表中数据，下列结论一定正确的是( )
A. 30天锻炼时间的中位数不超过1.2ℎB. 30天锻炼时间的平均数不低于1.1ℎ
C. 30天锻炼时间的极差不超过2.5ℎD. 30天锻炼时间的众数不低于1.5ℎ
5.已知圆锥的底面半径和球的半径相等，且它们的表面积相等，则该圆锥和球的体积之比为( )
A. 13B. 14C. 22D. 154
6.记函数f(x)=sin2x，x∈[0,π2]的图象为曲线段C，直线y=m与C交于A，B两点，直线y=6m与C交于D，E两点.若|AB|=2|DE|，则m=( )
A. 12B. 14C. 18D. 116
7.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，点A，B分别在C的左、右两支上，AB//OF(O为坐标原点)，且∠AFB=60∘，∠BFO=45∘，则C的离心率为( )
A. 6+ 22B. 3+ 22C. 6+ 2D. 3+1
8.已知三次函数f(x)=2ax(x−b)2的定义域和值域都为[a,b]，则b=( )
A. −12B. 0C. 1D. 32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为CC1的中点，则( )
A. A1C1//平面ABEB. AC1//平面BDE
C. BE⊥平面A1B1ED. BE⊥平面B1D1E
10.已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)=f′(x).若f(x)是奇函数，且f(x)−g(x)=ax，(a>0且a≠1)则( )
A. f(x)+g(x)=a−xB. g(x)≤−1
C. g′(x)=f(x)D. f(2x)=−2f(x)g(x)
11.设曲线C:x4+4y2=4与x轴交于A、B两点，P是C上一点(P不在坐标轴上)，则( )
A. 曲线C是轴对称图形B. △PAB的面积小于 2
C. 曲线C围成的封闭图形面积小于πD. ∠APB为钝角
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知{an}是等比数列，若a4a5=3a7，a3=6，则a6= .
13.若α和β都为锐角，cs(α+β)= 22，csαsinβ= 25，则sin(α−β)= .
14.设m，n∈N∗，m≤10，n≤10，函数f(x)=emx−nx(e是自然对数的底数，e≈2.718).从有序实数对(m,n)中随机抽取一对，使得f(x)恰有两个零点的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC的三个内角A，B，C所对边为a，b，c，若B=2C，b:c=4: 5.
(1)求csB的值;
(2)若a=11，求△ABC的面积.
16.(本小题15分)
如图，四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠ADC=60∘，PA=PD.
(1)证明：PC⊥AD;
(2)若PA=AD=4，PB=2 7，求平面PAB与平面ABCD所成二面角的正弦值.
17.(本小题15分)
已知数列{an}满足：{an+an+1}是公差为6的等差数列，{an+an+1+an+2}是公差为9的等差数列，且a1=1.
(1)证明：{an}是等差数列;
(2)设b是方程2x3+3x−2=0的根，数列{ban}的前n项和为Sn，证明：Sn0)，经过点(2,0)的直线与C交于A，B两点，直线l平行于AB且与C切于点D.当直线AB与x轴垂直时，OA⊥OB.
(1)求C的方程;
(2)若直线OD与AB交于点M，求M的横坐标;
(3)求△ABD的面积的最小值.
19.(本小题17分)
已知函数f(x)及其导函数f′(x)定义域都为区间I，A，B，C是曲线W:y=f(x)，x∈I上任意不同的三点.若点A，B，C的横坐标依次成等差数列，且W在点B处的切线的斜率大于直线AC的斜率，则称f(x)在I上为“中值偏移”函数.
(1)设f(x)=aex−x.
①讨论f(x)的单调性;
②若f(x)是R上的“中值偏移”函数，求实数a的取值范围;
(2)证明：g(x)=−x2+xlnx在(0,+∞)上为“中值偏移”函数.锻炼时间
小于0.5
[0.5,1)
[1,1.5)
[1.5,2)
不小于2
天数
2
6
10
8
4
2025年普通高等学校招生全国统一考试适应性测试数学试卷03
答案解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了交集及其运算以及一元二次不等式的解法 ，属于基础题.
先求解集合A，根据交集的定义即可求解.
【解答】
解：由题意可得A={x|x2−x−3>0}={x|x 12+ 132}，
B={−2,−1,1,2,3}，
则A∩B={−2,3}，
故选C.
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查复数的运算法则，属于基础题．
利用复数的运算法则计算出结果.
【解答】
解：由1+z1−i=z1+i得：(1+z)(1+i)=z(1−i)，
即1+i+z(1+i)=z(1−i)，即z(1−i−1−i)=1+i，
即−2iz=1+i，
则 z=1+i−2i=(1+i)i−2i⋅i=−1+i2=−12+12i，
故选A.
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了向量的数量积的运算，向量垂直的判断，属于基础题.
由向量垂直可求得(a+b)⋅b=0，即可得a⋅b+b2=0，再由|a+b|= 2，可得a2+a⋅b=2.
【解答】
解：因为(a+b)⊥b，所以(a+b)⋅b=0，则a⋅b+b2=0，
又|a+b|= 2，可得a2+b2+2a⋅b=2，即可得a2+a⋅b=2，
则a⋅(a+b)=2，
故选：D.
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查极差，平均数、中位数、众数，属于基础题．
根据中位数的定义即可判断A，根据平均数的计算即可求解B，根据极差的定义即可求解C，根据众数的定义即可求解D.
【解答】
解：
A选项：该组数据的中位数在[1,1.5)之间，无法判断不超过1.2ℎ，故A错误；
B选项：平均数最小值=0×2+0.5×6+1×10+1.5×8+2×430=1.1，
所以平均数不低于1.1，故B正确；
C选项：无法判断极差的最大值，极差不超过2.5ℎ错误，故C错误；
D选项：该组数据的众数在[1,1.5)之间，众数不低于1.5ℎ错误，故D错误．
故选：B.
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查圆锥和球的表面积和体积，属于基础题.
由表面积相等求得l=3r，利用圆锥和球的体积公式即可求解.
【解答】
解：设圆锥的底面半径r，母线长为 l，则球的半径也为r.
因为圆锥的表面积S圆锥=πr2+πrl，球的表面积为S球=4πr2，
则πr2+πrl=4πr2，即l=3r，
则V圆锥=13πr2⋅2 2r=2 23πr3，球的体积为V=43πr3，
则V圆锥V球=2 23πr343πr3= 22
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了正弦函数的对称性，二倍角余弦公式，诱导公式，属于中档题.
利用正弦函数的图象可知函数f(x)=sin2x，x∈[0,π2]关于x=π4对称，
直线y=m与x=π4相交于点M，直线y=6m与x=π4相交于点N，设Ax1,y1,Dx2,y2均在对称轴的左侧，由题意可得π4−x1=2π4−x2，以及sin2x1=msin2x2=6m，即可得出关于m的方程，求解出m的值.
【解答】
解：函数f(x)=sin2x，x∈[0,π2]关于x=π4对称，
直线y=m与x=π4相交于点M，直线y=6m与x=π4相交于点N，
设Ax1,y1,Dx2,y2均在对称轴的左侧，
由|AB|=2|DE|，可知：AM=2DN，所以π4−x1=2π4−x2，所以x1=2x2−π4，
由题意可得：sin2x1=msin2x2=6m，
所以sin2x1=sin4x2−π2=−cs4x2
=−1−2sin22x2=−1+2×6m2
故−1+2×6m2=m，
解得：m=18或m=−19(舍去).
故选C.
7.【答案】A
【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率，属于较难题.
由双曲线的对称性，设双曲线的右焦点为F′，连接BF′，则四边形AFF′B为等腰梯形，在三角形BFF′中应用正弦定理与双曲线定义即可求解离心率.
【解答】解：设双曲线的右焦点为F′，连接BF′，由双曲线的对称性，四边形AFF′B为等腰梯形，
所以∠AFF′=∠FF′B=60∘+45∘=105∘，
∵AB//OF，
∴∠ABF′=75∘，∠ABF=∠BFO=45∘，
∴∠FBF′=30∘，
在△BFF′中由正弦定理可得：FF′sin30∘=BFsin105∘=BF′sin45∘，
∵sin105∘=sin(60∘+45∘)=sin60∘cs45∘+cs60∘sin45∘= 6+ 24，
∴2c12=BF 6+ 24=BF′ 22，
∴BF=( 6+ 2)c，BF′=2 2c，
由双曲线的定义可得|BF|−|BF′|=2a，
即( 6+ 2)c−2 2c=2a，
所以( 6− 2)c=2a，
所以e=2 6− 2= 6+ 22.
故选A.
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的值域，属于较难题.
由题意易知b>a，且a≠0，再对a、b与0的关系进行讨论，利用导数求解.
【解答】
解：由题意易知b>a，且a≠0，
又f(a)=2a2(a−b)2>f(b)=0，f′(x)=2a(3x−b)(x−b)，
令f′(x)=0，解得x=b或b3，
①当b>a>0，且a≥b3时，函数f(x)在[a,b]上单调递减，
则f(a)=2a2(a−b)2=b,f(b)=a=0，不合题意；
②当b>a>0，且a0，求得点B处的切线斜率g′x0以及直线AC的斜率k，得到g′x0−k=1+x02dln1−dx01+dx0−12ln1−d2x02，令t=dx0∈0,1，构造函数，利用导数证明g′x0−k>0即可.