2025年普通高等学校招生全国统一考试适应性测试数学试卷04（含答案解析）

这是一份2025年普通高等学校招生全国统一考试适应性测试数学试卷04（含答案解析），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（共40分）
1．已知集合均为全集的子集，若∁UA⊆B，则A∪∁UB=（ ）
A．B．C．AD．B
2．已知复数满足，则（ ）
A．1B．C．2D．
3．已知为单位向量，且在上的投影向量为，则（ ）
A．2B．3C．D．
4．国内首个百万千瓦级海上风电场一三峡阳江沙扒海上风电项目宣布实现全容量并网发电，为粤港澳大湾区建设提供清洁能源动力，风速预测是风电出力大小评估的重要工作，通常采用威布尔分布模型，有学者根据某地气象数据得到该地的威布尔分布模型：，其中为形状参数，为风速，已知风速为时，，则风速为时，（ ）
（参考数据：）
A．B．0.895C．D．
5．设，，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知是等比数列，则甲：数列为递增数列，乙：，恒成立，则甲是乙的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．过双曲线的下顶点作某一条渐近线的垂线，分别与两条渐近线相交于两点，若,则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．3
8．（本题5分）在三角形中，角，，的对边分别为，，且满足，，则△ABC面积取最大值时，（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（共18分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”是互斥事件
B．掷一枚质地均匀的骰子两次，“第一次向上的点数是1”与“两次向上的点数之和是7”是相互独立事件
C．若的平均数是7，方差是6，则的方差是
D．某人在10次射击中，设击中目标的次数为，且X∼B10,0.8，则的概率最大
10．已知函数，则（ ）
A．函数在上单调递减 B．函数为奇函数
C．当时，函数恰有两个零点
D．设数列是首项为，公差为的等差数列，则
11．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为，，，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过，的圆，同理，圆，的劣弧，的弧长分别记为，，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，若，则称其为曲面等边三角形，线段，，与曲面△ABC围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面.设，，，则下列结论正确的是（ ）
A．若平面△ABC是面积为的等边三角形，则
B．若，则
C．若，则球面的体积
D．若平面△ABC为直角三角形，且，则
三、填空题（共15分）
12．已知函数，则关于x的不等式的解集为 ．
13．已知圆：，圆：，直线与圆分别相交于四点，若，则直线的方程可以为 .（写出一条满足条件的即可）．
14．设集合A=x1,x2,x3,x4,x5xi∈−1,0,1,i=1,2,3,4,5，那么集合中满足条件“1≤x1+x2+x3+⋯+x5≤3”的元素个数为 ．（用数字作答）
四、解答题（共77分）
15．（本题13分）
已知函数，当时，有极大值.
(1)求实数的值；
(2)当时，证明：.
16．（本题15分）
已知四棱锥如图所示，其中，点M，N分别是线段SC，AB的中点．
(1)求证：平面；
(2)若二面角为直二面角，则，，求四面体SBDM的体积．
17．（本题15分）
在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立.
(1)若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；
①求甲获得第四名的概率；
②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；
(2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.
18．（本题满分17分）
已知椭圆： 的离心率为，且上焦点为，过的动直线与椭圆相交于、两点．设点，记、的斜率分别为和．
（1）求椭圆的方程；
（2）如果直线的斜率等于，求的值；
（3）探索是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出的取值范围．
19．（本题17分）
已知数列的前项积为．定义：若存在，使得对任意的，恒成立，则称数列为“数列”．
(1)若，且为“2数列”，求．
(2)若，且为“数列”，的前项的平方和为，数列是各项均为正数的等比数列，满足，求的值和的通项公式．
(3)若，，且为“数列”，的前项和为，证明：．
2025年普通高等学校招生全国统一考试适应性测试数学试卷04
参考答案
12． 13． ，（答案不唯一）
14．130
15． 【详解】（1）函数的定义域为，且，
因为时，有极大值，
所以，解得，
经检验，当时，在时有极大值，
所以；
（2）由（1）知，，
当时，要证，即证，即证：.
设，则，
因为，所以，
所以在0,+∞上单调递增，
所以，即，即，
故当时，.
16．【详解】（1）取SD的中点P，连接MP，NP，则，且，
故，，则四边形MPNB为平行四边形，
故，而平面，平面，
故平面．
（2）取AD的中点O，连接OS，因为为等边三角形，故，
因为平面平面，且平面平面，平面
故平面，而平面，所以，
又，故，
因为M为SC的中点，故M到平面BDC的距离为，
在菱形ABCD中，，故为等边三角形，
又，故，
故，
由M为SC的中点可得，点S到平面BDM的距离等于点C到平面BDM的距离，
故，即四面体SBDM的体积为4．
17．【详解】（1）①记“甲获得第四名”为事件，则；
②记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量，
则的所有可能取值为2，3，4，
连败两局：，
可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负；
，
；
故的分布列如下：
故数学期望；
（2）“双败淘汰制”下，甲获胜的概率，
在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为，
由，且
所以时，，“双败淘汰制”对甲夺冠有利；
时，，“单败淘汰制”对甲夺冠有利；
时，两种赛制甲夺冠的概率一样.
18．【详解】
解：（1）， ， ，
椭圆方程为.
（2）因为直线的斜率等于，且经过焦点F，
所以直线，
设、，
由消得，
则有，．
所以.
（3）当直线的斜率不存在时， ，，
则，，故．
当直线的斜率存在时，设其为，
则直线：，
设，，
由消得，
则有，．
所以

.
所以为定值，且定值为2.
19． 【详解】（1）由，且为“2数列”，得，即，
则，
，
，
．
（2）设数列的公比为，
由，得，
即，
则．
两式相减得，
即．
因为是首项为2的“数列”，所以，
即，
所以，
即对任意的恒成立．
因为，，
则，即，
解得，．
又由，即，得，所以．
检验可知符合要求，故数列的通项公式为．
（3）因为为“数列”，所以，
即对任意的恒成立，
因为，，所以．
再结合，，，反复利用，
可得对任意的，．
设函数，则．
由，得．
当时，f'x