2025年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）数学试题（含参考答案）

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数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（）
A． B． C． D．
2．函数的最小正周期是（）
A． B． C． D．
3．（）
A．2 B．4 C． D．6
4．已知向量，则（）
A．2 B．1 C．0 D．
5．双曲线的渐近线方程为（）
A． B． C． D．
6．底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（）
A． B． C． D．
7．在中，，则的面积为（）
A．6 B．8 C．24 D．48
8．已知函数，若当时，，则a的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知是抛物线的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（）
A．
B．
C．以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D．当时，的面积为
10．在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．则（）
A．双曲正弦函数是增函数 B．双曲余弦函数是增函数
C．双曲正切函数是增函数 D．
11．下面四个绳结中，不能无损伤地变为右图中的绳结的有（）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函，若，则____________．
13．有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为____________．
14．已知曲线，两条直线、均过坐标原点O，和C交于M、N两点，和C交于P、Q两点，若三角形的面积为，则三角形的面积为____________．
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（13分）为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物（单位：只）试验，得到如下列联表：
（1）求，t；
（2）记未服用药物A的动物患疾病B的概率为p，给出P的估计值；
（3）根据小概率值的独立性检验，能否认为药物A对预防疾病B有效?
附：，
16．（15分）已知数列中，
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求的通项公式；
（3）令，证明:．
17．（15分）已知函数．
（1）设，求曲线的斜率为2的切线方程；
（2）若是的极小值点，求b的取值范围．
18．（17分）已知椭圆C的离心率为，左、右焦点分别为，
（1）求C的方程；
（2）已知点，证明：线段的垂直平分线与C恰有一个公共点；
（3）设M是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程．
19．（17分）在平面四边形ABCD中，，，将
沿AC翻折至，其中P为动点．
（1）设，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上．
（i）证明：平面平面；
（ii）求球O的半径
（2）求二面角的余弦值的最小值．
药物
疾病
合计
未患病
患病
未服用
100
80
服用
150
70
220
合计
250
400
0．050
0．010
0．001
3．841
6．635
10．828