九年级上学期期中数学试题（华东师范） (2)

这是一份九年级上学期期中数学试题（华东师范） (2)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题（每小题3分，共36分）
1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
详解】解：由题意得，，
解得，，
故选：B．
2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式，分母有理化，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母不能带根号，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、不是最简二次根式，故A不符合题意；
B、不是最简二次根式，故B不符合题意；
C、不是最简二次根式，，故C不符合题意；
D、最简二次根式，，故D符合题意；
故选：D．
3. 若3x＝5y（y≠0），则下列各式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积可得答案．
【详解】解：A、，可以化成：xy＝15，故此选项错误；
B、，可以化成：xy＝15，故此选项错误；
C、，可以化成：5x＝3y，故此选项错误；
D、，可以化成：3x＝5y，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积．
4. 已知是关于的一元二次方程的解，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将代入方程求解．
【详解】解：∵是关于一元二次方程的解
∴，即
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，理解概念，正确代入计算是解题关键．
5. 等腰三角形的底和腰是方程的两根，则这个三角形的周长为（ ）
A. 8B. 8或10C. 10D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查三角形的三边关系以及因式分解法解一元二次方程，熟记三角形三边关系以及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题关键，还需要注意的是对等腰三角形腰长和底的分类讨论．
详解】解：，
，
解得：或4，
①当等腰三角形腰长为2，底为4时，
，不能构成三角形；
②当等腰三角形腰长为4，底为2时，
，，能构成三角形．
∴周长为．
故选：C．
6. 抛物线的顶点是（ ）
A. （﹣1，﹣6）B. （﹣1，6）C. （1，﹣6）D. （1，6）
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据顶点式的特点求顶点坐标．
【详解】解：∵是抛物线的顶点式，
∴顶点坐标为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．
7. 将抛物线y＝﹣2x2+1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，则所得的抛物线的函数表达式为（ ）
A. y＝﹣2x2B. y＝﹣2（x+2）2+2
C. y＝﹣2（x﹣2）2+2D. y＝﹣2（x﹣2）2+1
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线平移不改变a的值，根据平移口诀“左加右减，上加下减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式．
【详解】解：将抛物线y＝﹣2x2+1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，则所得的抛物线的函数表达式为y＝﹣2（x﹣2）2+1+1，
即y＝﹣2（x﹣2）2+2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式．
8. 用配方法将二次函数化为的形式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】加上一次项系数一半的平方凑成完全平方式，将一般式转化为顶点式即可．
【详解】解：
，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数一般式到顶点式的转化，熟练掌握配方法是解题的关键．
9. 若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的对称轴为轴，根据对称性可得时的函数值与时的函数值相等，等于，由解析式可知开口向上，则时，随x的增大而减小，即可判断，，的大小关系．
【详解】解：由二次函数可得，对称轴为轴，
时的函数值与时的函数值相等，等于，
时，随x的增大而减小，
∵，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
10. 如图，已知在中，点、、分别是边AB、、上的点，，，且，那么等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理，由得到，则利用比例性质得到，然后利用可得到．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C
11. 已知二次函数的图像如图，则一次函数y＝ax+c的大致图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据二次函数图像得出a，c的值，进而利用一次函数性质得出图像经过的象限．
【详解】解：根据二次函数开口向上则a＞0，根据c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＜0，
故一次函数y＝ax+c的大致图像经过一、三、四象限，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图像以及一次函数的性质，根据已知得出a，c的符号是解题关键．
12. 如图，直线与抛物线分别交于A(−1，0)，B(2，−3)两点，那么当时，x的取值范围是（ ）
A. 或B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象得出取值范围即可．
【详解】解：因为直线与抛物线分别交于A（-1，0），B（2，-3）两点，
所以当时，-1＜x＜2，
故选：D．
【点睛】此题考查二次函数与不等式，关键是根据图象得出取值范围．
二、填空题（每小题3分，共12分）
13. 一元二次方程的二次项系数是______；一次项系数是______；常数项是______．
【答案】 ①. ②. 1 ③.
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式：，首先把一元二次方程化为一般形式，然后进行解答即可．
【详解】解：∵
∴
∴二次项系数为，一次项系数为1，常数项为，
故答案为：；1；．
14. 已知，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键，直接根据比例的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
15. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程没有实数根的条件是，代入求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程没有实数根，
∴，即，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程没有实数根的条件是是解题的关键．
16. 甲、乙、丙三名同学每人抽取一张卡片，每张卡片上有一个形如的二次函数的解析式，其中只有一人与其他两人抽到的解析式不同．下面是他们对抽到的解析式所对应的图象的描述：
甲：开口向下；
乙：顶点在第三象限；
丙：经过点（，），（，）．
根据描述可知，抽到与其他两人解析式不同的是___________（填“甲”，“乙”或“丙”）．
【答案】甲
【解析】
【分析】根据可知，函数图象过，再根据丙的描述，画出图象即可进行判断．
【详解】解：，
当时，；
∴图象过，
根据丙的描述，可得的图象如下：
∴抛物线的开口朝上，顶点在第三象限，
∴乙，丙两位同学描述的是同一函数图象，
∴抽到与其他两人解析式不同的是：甲；
故答案为：甲．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
三、解答题（共72分）
17. 计算及解方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）；
（2）；
（3），；
（4），．
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的性质化简，二次根式的混合运算即可求解；
（2）运用乘法公式进行二次根式的混合运算即可求解；
（3）根据因式分解法解一元二次方程即可求解；
（4））根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
∴或
∴，；
【小问4详解】
解：，
，
或，
∴，．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，平方差公式，解一元二次方程的方法，掌握其运算法则是解题的关键．
18. 如图是边长为1的正方形网格，的顶点均为格点．
（1）在该网格中画出（的顶点均在格点上），使；
（2）请说明它们相似的理由．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
（1）将的各边都缩小到原来的，画出图形即可；
（2）利用相似三角形的判定定理解答．
【小问1详解】
解：如图，即为所求．
【小问2详解】
证明：由网格知，，，，
，
．
19. 海南某中学2020年投资16万元新增一批电脑，以后每年以相同的增长率进行投资，2022年投资25万元，求该学校这两年为新增电脑投资的年平均增长率．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用——增长率模型．设该学校这两年为新增电脑投资的年平均增长率为x，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设该学校这两年为新增电脑投资的年平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：该学校为新增电脑投资的年平均增长率为 ．
20. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴正半轴上，边、的长分别是方程的两个根，D是上的一动点（不与A、B重合）．
（1）填空： ______， ______．
（2）若动点D满足与相似，求直线的解析式．
【答案】（1）8；3 （2）
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法求出方程的两个根，即可求解；
（2）分两种情况解答，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵、的长分别是方程的两个根，
∴，，
故答案是：8；3；
【小问2详解】
解：若．
则，
即，
所以．
若，可得（与题意不符，舍去）
设直线解析式为，则，
即，
直线的解析式为．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，熟练掌握一元二次方程的解法，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
21. 如图①，已知二次函数与轴相交于、两点，与轴相交于点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图②，连结、．
①求直线的表达式；
②在对称轴上是否存在一个点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标和此时的周长；若不存在，请说明理由；
③点为抛物线在第四象限内图象上一个动点，是否存在点，使得的面积最大？若存在，请求出点的坐标和此时面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）①直线为；②存在一个点，使的周长最小，，的周长最小值为；③存在，此时面积的最大值为．
【解析】
【分析】(1)运用待定系数法计算即可．
(2) ①运用待定系数法计算即可；②判定、是对称点，确定直线的解析式，计算当时的函数值即可确定坐标，进而确定最小周长．③设，过点作交直线于点，则，根据面积法构造二次函数，根据二次函数的最值计算即可．
【小问1详解】
解：∵二次函数与轴相交于、两点，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解：①中，当x=0时，，
∴C0,−3，
设直线为，
把，C0,−3代入得，
，
解得k=1，，
∴直线为；
②存在，点．理由如下：
∵抛物线与轴交于、两点，C0,−3，
∴、关于二次函数对称轴对称，
∴，，，
∴的周长为，
根据两点之间线段最短得，当在直线上时，最短，即的周长最小，
∵直线的解析式为，
∴当x=1时，，
∴点，
∴的周长最小值为；
③存在，设，过点作交直线于点，则，
∵，C0,−3，
∴，
故当时，取得最大值，且为，
当时，，
∴．
∴存在，此时面积的最大值为．
【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一次函数的解析式，构造二次函数计算三角形的最值，熟练掌握待定系数法，灵活构造二次函数是解题的关键．
22. 如图，在菱形中，m、n、t分别是菱形的两条对角线的长和边长，其中，这时我们把关于x的形如“”的一元二次方程称为“菱系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）填空：
①当，时，______；
②用含m，n的代数式表示值，______；
（2）求证：关于x的“菱系一元二次方程”必有实数根；
（3）若是“菱系一元二次方程”的一个根，且菱形的面积是25，是菱形的边上的高，求的值；
（4）在①问的基础上()，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．是否在y轴上存在一点P，使得为等腰三角形．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）5；
（2）见详解 （3）5
（4）或或或
【解析】
【分析】（1）由菱形的对角线互相垂直平分得出、的长，再利用勾股定理可得，从而得出答案；
（2）此方程的判别式，结合可得答案；
（3）代入方程得，据此知，，结合知，再由菱形面积是25知，即，求出的值，从而得出答案；
（4）分三种情况，由等腰三角形的性质可得出答案．
【小问1详解】
解：①∵四边形是菱形，
∴，
当、时，，，
则，即；
②由题意知，，，
则，
，
故答案为：5；；
【小问2详解】
证明：，
这里，，，，
，
，
，
关于的“菱系一元二次方程” 必有实数根；
小问3详解】
解：是“菱系一元二次方程” 的一个根，
，
，
，
，
，
菱形面积25，
，即，
，
解得：(舍负)，即，
∵，
∴，
．
【小问4详解】
解：在轴上存在一点，使得为等腰三角形，
理由：设，由①得，，
则，，，
若，
，
或(舍去)，
；
若，
，
或，
或；
若，
，
，
．
综上所述，点的坐标为或或或．