九年级上学期期中数学试题（华东师范） (4)

这是一份九年级上学期期中数学试题（华东师范） (4)，共13页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（每小题3分，共36分）
1. 把化为一般形式，得（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式为，即可解答．
【详解】解：把化为一般形式，得：，
故选：A．
2. 抛物线的对称轴为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练运用对称轴公式．也可以运用配方法写成顶点式求对称轴．先根据抛物线的解析式得出、的值，再根据其对称轴方程即可得出结论．
【详解】解：抛物线中，，
对称轴是直线．
故选：B．
3. 点关于原点的对称点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了了关于原点对称的点的坐标．根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，可得答案．
【详解】解：点关于原点的对称点为，
故选：C．
4. 下列方程中有实数根的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查根的判别式，一元二次方程（a≠0）的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．熟知此部分知识是解题关键．分别计算出每个方程根的判别式的值，再进一步判断即可．
【详解】解：A．此选项方程根的判别式，此方程没有实数根，不符合题意；
B．此选项方程根的判别式，此方程没有实数根，不符合题意；
C．此选项方程根的判别式，此方程没有实数根，不符合题意；
D．此选项方程根的判别式，此方程有两个不相等的实数根，符合题意；
故选：D．
5. 把化为顶点式，得（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的顶点式形式，熟练掌握二次函数的顶点式是解题关键．直接用配方法将二次函数解析式化成顶点式即可求解．
【详解】解：，
故选：B．
6. 下列车标，不是中心对称图形为（ ）
A. HB. NC. WD. X
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，对四个选项进行分析．
【详解】解：选项A、B、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
选项C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：C．
7. 已知，有两等实根，则（ ）
A. 4B. C. 8D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式等于0，即可求得的a值．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，
故选：D．
8. 如图为，则（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）③常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于．
【详解】解：抛物线开口向下，与轴的交点在轴的上方，
，，
，
，
故选项A正确；
故选：A．
9. 将点绕原点顺时针转，所得的点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，数形结合．点在第一象限，到原点的距离为，将它顺时针旋转，所得的点在第四象限，且到原点的距离为，由此就可得到所求点的坐标．
【详解】解：将点绕顺时针旋转90°，所得的点在第四象限，到原点的距离为，因而该点的坐标为．
故选：A．
10. 若的，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，由一元二次方程的两根分别为，，得到，根据二次项系数为1可得答案．
【详解】解：关于的一元二次方程的两根分别为，，
．
故选：B．
11. 如图的抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，由图知抛物线顶点：，故设，又因为交轴于，代入解析式即可．
【详解】解：图知抛物线顶点：，
故设，
又抛物线交轴于，
，
解得：，
抛物线的解析式为：，
故选：C．
12. 直线关于原点对称的直线为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了关于原点的点的坐标，掌握关于原点对称的点的特征是解答本题的关键．若两条直线关于原点对称，则这两条直线平行，即值不变；与轴的交点关于原点对称，即值互为相反数．
【详解】解：直线关于原点对称的直线为．
故选：D．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13. 的根为__________．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，方法是根据平方根的意义开平方即可得出答案．
【详解】解：，
，．
故答案为：，．
14. 将抛物线向右平移4个单位长度，所得的抛物线为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象的平移．熟练掌握平移规律，是解题的关键．根据平移规律，左加右减，进行解题即可．
【详解】解：抛物线向右平移4个单位长度得：；
故答案为：．
15. 若，__________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程和分式的求值，先解方程，再把在值代入式子计算即可．
【详解】解：，
，
解得，
．
故答案：2．
16. 将抛物线绕原点旋转，所得的抛物为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的旋转变换，在绕抛物线顶点旋转过程中，二次函数的开口大小和顶点坐标都没有变化，绕其顶点旋转后，抛物线的开口方向相反．根据关于原点对称的两个点的坐标关系直接写出函数解析式即可．
【详解】解：将抛物线绕原点旋转，
所得的抛物为，
整理得：；
故答案为：
三、解答题（本题满分68分）
17. 解方程
（1）
（2）
【答案】（1），；
（2），．
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法，
（1）利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答；
（2）利用解一元二次方程公式法进行计算，即可解答．
【小问1详解】
解：，
，
，
或，
，；
【小问2详解】
，
整理得：，
，
，
，．
18. 设．
（1）求曲线与y轴交点．
（2）求曲线与x轴的交点．
（3）作出大致图象（三点法）．
【答案】（1）二次函数图象与轴的交点坐标是
（2）图象与轴的交点坐标为，
（3）画图见解析
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数基本知识，涉及到函数与坐标轴的交点、二次函数图象．
（1）令得：，即可得到二次函数图象与轴的交点坐标；
（2）令，即，解方程可得答案，
（3）利用描点法画二次函数图象．
【小问1详解】
解：∵
∴当时，
这个二次函数图象与轴的交点坐标是．
【小问2详解】
令，即，
解得：，
图象与轴的交点坐标为，．
【小问3详解】
列表
描点画图如下：
19. 如图，等边绕点B旋转角度，得到．

（1）若顺时针旋转，则多大？
（2）旋转完成后，与谁重合？
【答案】（1）
（2）与重合．
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质可得，可得；
（2）由旋转的性质可得．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
小问1详解】
解：是等边三角形，
，，
等边绕点旋转角度，得到，
，
，；
【小问2详解】
，
与重合．
20. 在关于x方程中，求证：
（1）若，则原方程有实根．
（2）若a与c异号，则原方程有两异实根．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
（1）证明根的判别式即可；
（2）证明根的判别式即可．
【小问1详解】
证明：若，则方程为，
，
原方程有实根；
【小问2详解】
证明：、异号，，
，
，
原方程有两异实根．
21. 面积为2的正方形，如图．
（1）写出A、B、C、D的坐标．
（2）把边绕某点旋转到与重合，怎么转？
（3）将边平移到与重合，怎么平移？
【答案】（1），，，；
（2）线段绕点顺时针旋转与线段重合；
（3）把线段先向右平移1个单位，再向下平移1个单位与线段重合．
【解析】
【分析】（1）先求出正方形的边长，进而可得出的长，据此得出结论；
（2）根据，两点的坐标即可得出结论；
（3）根据两点的坐标即可得出结论．
本题考查的是点的坐标、平移与旋转，熟知各坐标轴上点的坐标特点是解题的关键．
【小问1详解】
解：正方形的面积为2，
，
，，
，
，，，；
【小问2详解】
边绕某点旋转到与重合，，，
线段绕点顺时针旋转与线段重合；
【小问3详解】
边平移到与重合，，，
把线段先向右平移1个单位，再向下平移1个单位与线段重合．
22. 顶点为且过原点的抛物线，如图所示．
（1）求其解析式．
（2）动矩形的顶点B、C在抛物线上，A、D在x轴上，设，矩形的周长为l，求l随t变化的函数关系式．若l有最值，求之，否则说明理由．
【答案】（1）
（2）当时，有最大值10．
【解析】
【分析】此题主要考查了用顶点式求二次函数解析式，矩形的性质以及二次函数最值问题，正确表示线段的长度是解题的关键．
（1）设抛物线的解析式为，代入求即可；
（2）利用（1）中解析式用表示出矩形的周长，再根据二次函数的性质求出最值即可．
【小问1详解】
解：由题意设抛物线的解析式为，
代入得，，
解得，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
抛物线的对称轴为直线，，
，
，
动矩形的顶点、在抛物线上，
，，
矩形的周长为：
，
当时，有最大值10．…
…
…
0
0
…