数学选择性必修第一册4.3 等比数列课文内容ppt课件

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第4章 数列
4.3.3　等比数列的前n项和
第一课时　等比数列的前n项和公式
课标要求
1.探索并掌握等比数列的前n项和公式.2.理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.
素养要求
在探索等比数列的前n项和公式的过程中，发展学生的数学运算和逻辑推理素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
一、等比数列的前n项和公式1.思考　设{an}为等比数列，首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，试推导Sn.
提示　法一　(错位相减法)Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1①.在①式两边同乘q，得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn②.由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，
2.填空　
温馨提醒　(1)等比数列前n项和公式的推导方法一采用的是错位相减法，就是在前n项和式子的两边同乘公比，通过相减，可以抵消相同的项，从而得到等比数列前n项和Sn.这种方法一般适用于数列{anbn}前n项和的求解，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且q≠1.(2)当q＝1时，等比数列前n项和公式不能用错位相减法推导，因为此时等比数列是常数列，所以Sn＝na1.
B
由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是一个关于n的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为________.
(2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是关于n的________函数(常数项为0的一次函数)，则数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是正比例函数y＝a1x图象上的一群孤立的点.
相反数
正比例
温馨提醒　我们可以得到利用等比数列前n项和判断数列{an}是否为等比数列的变形：Sn＝Aan＋B(a≠0，a≠1，AB≠0)，且A＋B＝0.
3.做一做　如果数列{an}的前n项和Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)，那么数列{an}________等比数列.(填“是”或“不是”).
是
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
题型一　等比数列前n项和公式的应用
迁移1　设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，求此数列的公比q.
迁移2　在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.
(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.
例2 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－2，求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列.
题型二　等比数列前n项和公式的函数特征应用
解　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1.当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式.
法一　由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，故{an}不是等比数列.法二　由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn＝A·qn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2，－2≠－1，故{an}不是等比数列.
训练2 若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.
题型三　利用错位相减法求数列的前n项和
例3 设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q.已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
训练3 求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0).
课堂小结
1.牢记2个公式
课堂小结
2.掌握2种方法 (1)等比数列的通项公式和前n项和公式的基本量法. (2)错位相减法.3.注意1个易错点 前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则Sn等于(　　)
D
2.在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5等于(　　) A.33 B.72 C.84 D.189
C
解析　由S3＝a1(1＋q＋q2)＝21且a1＝3，得q2＋q－6＝0.∵q>0，∴q＝2.∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝q2·S3＝22×21＝84.
3.等比数列{an}中，a1a2a3＝1，a4＝4，则a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝(　　)
B
C
BD
32
3n－1
2n－1
9.在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和.
解②得q＝3或q＝1.由于a1(q－1)＝2，因此q＝1不合题意，应舍去.故公比q＝3，首项a1＝1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和Tn.
解　bn＝an·3n＝(2n－1)·3n，∴数列{bn}的前n项和
11.(多选)在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是其前n项和，若a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是(　　 ) A.q＝2 B.数列{Sn＋2}是等比数列 C.S8＝510 D.数列{log2an}是公差为2的等差数列
ABC
解析　∵a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，∴a1(1＋q3)＝18，a1(q＋q2)＝12，又公比q为整数，故a1＝q＝2，故A正确；
∴数列{Sn＋2}是首项为4，公比为2的等比数列，故B正确；由B知S8＝29－2＝510，故C正确；由B知log2an＝n，数列{log2an}是公差为1的等差数列，故D错误.
－2
13.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上. (1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？
解　因为点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，所以an＋1＝3Sn＋1，当n≥2时，an＝3Sn－1＋1.于是an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)，所以an＋1－an＝3an，所以an＋1＝4an.又当n＝1时，a2＝3S1＋1，得a2＝3a1＋1＝3t＋1，所以当t＝1时，a2＝4a1，此时，数列{an}是等比数列.
(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.
C
显然当n＝1时，也适合，所以an＝2n－1(n∈N*).令2an－n＝bn，所以bn＝2n－n，