数学第4章 数列4.3 等比数列当堂检测题

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1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．递推公式形式的定义：eq \f(an,an－1)＝q(n∈N*且n>1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或\f(an＋1,an)＝q，n∈N*)).
考点二：等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
考点三：等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N*)．
考点四：等比数列通项公式的推广和变形
等比数列{an}的公比为q，则
an＝a1qn－1①＝amqn－m②＝eq \f(a1,q)·qn.③其中当②中m＝1时，即化为①.当③中q>0且q≠1时，y＝eq \f(a1,q)·qx为指数型函数．
等比数列的应用及性质
考点五：实际应用题常见的数列模型
1．储蓄的复利公式：本金为a元，每期利率为r，存期为n期，则本利和y ＝a(1＋r)n.
2．总产值模型：基数为N，平均增长率为p，期数为n， 则总产值y ＝ N (1 ＋ p)n.
考点六：等比数列的常用性质
设数列{an}为等比数列，则：
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.
(2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列．
(3)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列．
(4)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))，{aeq \\al(2,n)}都是等比数列，且公比分别是q，eq \f(1,q)，q2.
(5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))也都是等比数列，公比分别为pq和eq \f(p,q).
【题型归纳】
题型一：等比数列中的基本运算
1．（2023下·河南许昌·高二校考期中）已知数列是等比数列，，，则公式q等于（ ）
A．B．3C．3D．
2．（2023下·广东佛山·高二校联考阶段练习）在正项等比数列中，，，则的公比（ ）
A．2B．C．2或D．或
3．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知为递增的等比数列，且满足，，则（ ）
A．B．1C．16D．32
题型二：等比中项的应用
4．（2023下·西藏日喀则·高二统考期末）已知等差数列的公差为2，前项和为，若成等比数列，则（ ）
A．16B．64C．72D．128
5．（2023下·福建·高二校联考期末）已知等比数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023下·湖北武汉·高二武汉市洪山高级中学校联考期中）在等比数列中，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
题型三：等比数列下标的性质及其应用
7．（2023下·河南信阳·高二信阳高中校考阶段练习）已知数列是等比数列，函数的零点分别是，则（ ）
A．2B．C．D．
8．（2023下·河南周口·高二统考期中）在等比数列中，，则等于（ ）
A．64B．C．D．8
9．（2023下·黑龙江鸡西·高二鸡西市第四中学校考期中）等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．B．C．D．
题型四：等比数列子数列的性质
10．（2023上·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）在等比数列中，，，则（ ）
A．B．C．32D．64
11．（2022·四川乐山·统考一模）在等比数列中，如果，，那么（ ）
A．B．C．D．
12．（2021·全国·高二周测）设是等比数列，且，，则（ ）
A．12B．2C．30D．32
题型五：等比数列与其它知识交汇问题
13．（2022·高二）已知等比数列中，公比q＝2，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
14．（2022上·贵州黔西·高三校考）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项错误的是（ ）
A．B．
C．是数列中的最大项D．
15．（2023上·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考）已知公比为正数的等比数列的前n项积为，且满足，，若对任意的，恒成立，则k的值为（ ）
A．50B．49C．100D．99
题型六：等比数列的证明
16．（2023·全国·高二课堂例题）已知数列的首项．
(1)若为等差数列，公差，证明数列为等比数列；
(2)若为等比数列，公比，证明数列为等差数列．
17．（2023上·高二课时练习）已知数列的递推公式为
(1)求证：为等比数列；
(2)求的通项公式．
18．（2023下·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）已知数列的首项，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式.
【双基达标】
一、单选题
19．（2023·全国·高二随堂练习）将公比为q的等比数列，，，，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列，，，…．此数列是（ ）．
A．公比为q的等比数列B．公比为的等比数列
C．公比为的等比数列D．不一定是等比数列
20．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高二校联考期中）在等比数列中，，则（ ）
A．B．C．D．
21．（2023下·辽宁沈阳·高二校联考期中）在等比数列中，若，则（ ）
A．8B．6C．4D．3
22．（2023上·江苏盐城·高二盐城市第一中学校考期中）已知数列满足，若， 则（ ）
A．2B．3C．4D．8
23．（2023上·安徽阜阳·高二阜阳市第三中学校考期中）设数列是公比为的等比数列，.若数列的连续四项构成集合，则公比为（ ）
A．16B．4C．D．
24．（2023上·河北衡水·高二衡水市第二中学校考期中）在等比数列中，，，成等差数列，则（ ）
A．B．C．2D．4
25．（2023·全国·高二随堂练习）若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项．
(1)求45和80的等比中项；
(2)已知两个数和的等比中项是2k，求k．
26．（2023上·广东·高三校联考阶段练习）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为8.
(1)求等差数列的通项公式；
(2)若，，成等比数列，求数列的前10项和.
【高分突破】
一、单选题
27．（2023上·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期中）已知等比数列，是方程的两个实数根，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
28．（2023上·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛．从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为．现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（ ）．
参考数据：
A．17.9万亿B．19.1万亿C．20.3万亿D．21.6万亿
29．（2023上·湖南长沙·高二长郡中学校考期中）已知数列满足且.若是递增数列，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
30．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列中，，则数列的通项（ ）
A．B．
C．D．
31．（2023下·辽宁铁岭·高二校联考期末）已知数列满足，．设，若对于任意的，．恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
32．（2023下·山东日照·高二统考期末）已知等差数列的公差为，前n项和为，且，，成等比数列，则（ ）
A．
B．
C．当时，的最大值是或
D．当时，的最小值是或
33．（2023上·甘肃临夏·高二校联考期中）已知等比数列中，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．是等比数列
C．D．单调递增
34．（2023上·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）在数列中，，，下列结论正确的是（ ）
A．数列是等比数列
B．数列是等差数列
C．
D．数列是递增数列
35．（2023上·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）下列命题中错误的是（ ）
A．若 a，b，c 是等差数列，则 是等比数列
B．若 a，b，c 是等比数列，则是等差数列
C．若 a，b，c 是等差数列，则是等比数列
D．若 a，b，c 是等比数列，则是等差数列
36．（2023下·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，数列是等比数列B．当时，数列是等差数列
C．当时，D．当时，数列存在最大值
三、填空题
37．（2023下·黑龙江大庆·高二大庆中学校考开学考试）在正项等比数列中，，则 .
38．（2023下·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考阶段练习）若，b，c为实数，数列是等比数列，则b的值为
39．（2023上·福建龙岩·高二校考阶段练习）在等比数列中， ，，且，则 .
40．（2023上·福建龙岩·高二校联考期中）某教育网站本月的用户为1000人，网站改造后，预计平均每月的用户都比上一个月增加，则从本月起，使网站用户达到5000人至少需要经过 个月（结果保留整数，参考数据：）.
41．（2023下·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知数列是公差不为0的等差数列，数列为等比数列，数列的前三项分别为1，2，6，则数列的通项公式为 ．
四、解答题
42．（2023上·高二课时练习）已知数列为等比数列．
(1)若，，求的值；
(2)若，，求的值．
43．（2023上·高二课时练习）已知数列为等比数列．
(1)若，，求；
(2)若，，求和q；
(3)若，，求.
44．（2023上·高二课时练习）斐波那契数列满足条件：，．按如下步骤将分解为两个等比数列，之和，最后可以得出的通项公式：
(1)若等比数列满足条件，求的公比q．
(2)若等比数列，同时满足条件，，且，求和的通项公式．
(3)设，试写出斐波那契数列的通项公式．