苏教版 (2019)选择性必修第一册4.3 等比数列达标测试

4.3等比数列  苏教版（   2019）高中数学选择性必修第一册

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有灯(    )

A. 盏 B. 盏 C. 盏 D. 盏

2. 等比数列的各项均为正数，，是函数的极值点，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知等比数列前项和其中则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 在等比数列中，若是方程的两根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知数列前项和为且 为非零常数则下列结论中正确的是(    )

A. 数列不是等比数列
B. 时
C. 当时，
D.

6. 已知等比数列的前项和为，记，若数列也为等比数列，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 数列，，，，的前项的和为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 数列，满足，，，则数列的前项和为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 下列结论正确的是(    )

A. 数列的前项和，则数列是等差数列．
B. 数列的前项和，则
C. 数列的前项和，则数列是等比数列．
D. 数列的前项和，则

10. 已知的展开式中的所有项的二项式系数之和为，记展开式中的第项的系数为，二项式系数为，，，，，，则下列结论正确的是(    )

A. 数列是等比数列
B. 数列的所有项之和为
C. 数列是等差数列
D. 数列的最大项为

11. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，则下列结论正确的是 (    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知数列的前项和为，且，则下列选项中正确的是(    )

A.  B.
C. 数列是等比数列 D. 数列的前项和为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，，则          ．
14. 各项均为正数的等比数列的前项和为，已知，，则          ．
15. 数列满足，，则数列前项和          ．
16. 等比数列的前项和为，若，，则          ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    等比数列中，，．
    求的通项公式；
    记为的前项和．若，求．
18. 本小题分
    已知为等差数列，前项和为，是首项为的等比数列，且公比大于，，，．
    Ⅰ求和的通项公式；
    Ⅱ求数列的前项和
19. 本小题分

已知数列满足，

记，写出，，并求出数列的通项公式

求数列的前项和．

20. 本小题分

已知数列满足，．

证明：是等比数列，并求的通项公式；

证明：．

21. 本小题分

已知等差数列中，公差为整数，其前项和为满足，且是和的等比中项．

求的通项公式；

设的前项和为，求．

22. 本小题分

已知数列满足，，数列的通项公式是．
证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
设数列的前项和为，求．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前项和公式的实际应用，属于基础题．
设这个塔顶层有盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前项公式列出方程，求出的值．

【解答】

解：设这个塔顶层有盏灯，
宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的倍，
从塔顶层依次向下每层灯数是以为公比、为首项的等比数列，
又总共有灯盏，
，
解得，
则这个塔顶层有盏灯．
故选B．

2.【答案】 

【解析】

【分析】 
本题考查极值的概念及等比数列的性质，对数的运算法则．
因为，是函数的极值点，又，所以，是是方程的根，由根与系数的关系及等比数列的性质可求得答案．
【解答】
解：由题意可知．
因为，是函数的极值点，
所以，是方程的根，
故．

又因为是各项均为正数的等比数列，
所以，
则．
故选D．

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考察等比数列性质与基本不等式，属于中档题．
先利用与的关系求出的通项公式，再利用比数列性质求出，满足的代数关系。最后利用常数代换方法，求出的最小值。
【解答】
解：由题意，
又为等比数列，从而，即，化简得
从而，当且仅当，即时取等号。
故选C．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了等比数列的通项公式及其性质，一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
，是方程的两根，可得，，可得，，根据等比数列的性质可得：奇数项的符号相同，可得利用性质可得：．

【解答】

解：，是方程的两根，
，，，，
根据等比数列的性质可得：奇数项的符号相同，
．
．
故选B．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了数列的递推公式的应用，等比数列的判定，通项公式以及前项和公式的运用，属于中档题．
由数列的递推公式结合，以及等比数列定义即可确定数列为首项为，公比为的等比数列，然后结合等比数列性质判断其它选项．

【解答】

解：由，以及得．
时，，相减可得，
又，数列为首项为，公比为的等比数列，故A错误
由可得时，，故B错误
由可得当时，，，所以，故C正确
，，
则，故D错误
故选C．

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查等比数列的第二项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
设等比数列的公比为，当时，数列不可能为等比数列；当，，，，由数列为等比数列，列出方程组，求出，，由此能求出．
【解答】
解：设等比数列的公比为，
当时，，，
，不可能为等比数列；
当，，
，
，
若数列为等比数列，
则必有，解得，，
．
故选D．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查等差数列和等比数列的前项求和，以及分组转化求和法，属于中档题．
利用分组转化求和法把原式分为等差数列的和加等比数列的和，即可求解．

【解答】

解：
．
故选B．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了等差数列通项公式、等比数列通项公式及求和公式，属于中档题．
根据题干所给条件写出数列，的通项公式，并写出数列，得知数列是等比数列，再用等比数列的前项和公式即可．

【解答】

解：数列，满足，，，
数列是等差数列，首项是且公差是，是等比数列，首项是且公比是，
数列的通项公式为，
数列的通项公式为，
则数列为，设，则，，
数列是等比数列，且公比为，首项为．
则数列的前项和为，
即数列的前项和为．
故本题选B．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查数列的前项和及与的关系，考查推理与运算能力，属于中档题．
，由数列前项和求出通项公式即可判断；
，，可知正确．
，由数列前项和，可知是等比数列；
，依题意，可得当时，来判断．

【解答】

解：，数列前项和，当时，，当时，，
数列不是等差数列，故A错误；
，，
，故B正确．
，数列前项和，
当时，，
当时，适合上式，
，，
是等比数列，故C正确；
项，若，则当时，，，故D项错误
故选BC．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二项式定理，考查等差，等比数列的定义，利用赋值法解决二项式定理有关问题，属于中档题．
先利用二项式系数之和为求出，求出，，再逐一判断即可．

【解答】

解：由已知可得：，得，
所以则展开式的第项的系数为，
二项式系数为，，，，，，
对于，由可求得
则，
所以数列 不是等比数列，故A错误；
对于，令得，，故B正确；
对于，由，可得
则，
所以数列 不是等差数列，故C错误；
对于，易知最大，故D正确；
故选BD．

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了等比数列的通项公式及其性质，递推关系，不等式的性质，属于中档题．
根据等比数列的定义，性质，通项公式逐项分析即可．
【解答】
解：，，，
，，
，故A正确；
因为，故B不正确；
因为，所以无最大值，故C不正确；
因为，，数列为递减数列，
且，，所以是数列中的最大项，故D正确．
故选AD．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】

 本题主要考查数列的递推关系，等比数列的判定及求和，属于中档题 
首先利用数列的递推关系求出时，，进而得数列是首项为，公比为的等比数列，可判断，再结合等比数列求和公式判断．

【解答】

解：对于，，当时，解得， 
当时，， 
则， 即数列是首项为，公比为的等比数列，故A，项正确； 
对于，由以上分析知，故B项错误；
对于， 
，
所以数列的前项和为，故D正确．
故选ACD．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力．
设等比数列的公比为，由，，可得，，联立解出，，即可得出．

【解答】

解：设等比数列的公比为，易得，
，，
，，
解得，．
则．
故答案为：．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的前项和公式，考查学生的计算能力，属于中档题． 
分情况讨论，排除，当时，根据等比数列的求和公式得到，解得，再根据，即可求出结果．

【解答】

解：等比数列求和公式是：
当时，，
因为，所以，
则，显然不符合题意；
当时，；
，，
，，，
，即，
；
则；
故答案为．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了等差数列与等比数列的求和公式，以及分组转化求和法，属于基础题．
由题意，可得数列的奇数项是首项为，公差为的等差数列，数列的偶数项是首项为，公比为的等比数列，从而利用分组转化求和可得答案．

【解答】

解：由，可知，
数列的奇数项是首项为，公差为的等差数列，
数列的偶数项是首项为，公比为的等比数列．
所以
．
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的通项公式和前项和公式的应用，属中档题．
先确定，再根据等比数列的通项公式和前项和公式列方程组进行计算即可．

【解答】

解：设等比数列的公式为，
若，则，，因为，所以，不符合题意，所以；
时，由题意可得
解得：，．
故答案为：．

17.【答案】解：等比数列中，，．
设等比数列的公比为，
，
解得，
当时，，
当时，，
的通项公式为，，或．
记为的前项和．
当，时，，
由，得，，无解；
当，时，，
由，得，，
解得． 

【解析】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的求和，考查运算求解能力，是中档题．
利用等比数列通项公式列出方程，求出公比，由此能求出的通项公式．
当，时，，由，得，，无解；当，时，，列方程由此能求出．
 

18.【答案】解：Ⅰ设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由已知，得，而，所以，
又因为，解得，所以；
由，可得，
由，可得，
联立，解得，，由此可得；
所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为．
Ⅱ设数列的前项和为，
由，，有，
故，
，
上述两式相减，得
，
得．
所以数列的前项和为． 

【解析】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查计算能力，属于中档题．
Ⅰ设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解和的通项公式；
Ⅱ化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．
 

19.【答案】解：，，
，又，
；
，则，
，
． 

【解析】本题主要考查数列的递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
由已知可得求得，，由可得数列是等比数列，从而可求得数列的通项公式；
由已知可得，求解即可．
 

20.【答案】证明：由，
得，所以，

所以是等比数列，首项为，公比为，

所以，

因此的通项公式为

由知：，所以，

因为当时，，

于是
，

所以．

【解析】本题考查等比数列的判定和通项公式、求和公式，用放缩法证明不等式，属于中档题．
根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，又首项不为，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出的通项公式；
将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．
 

21.【答案】解：由题意，设等差数列的公差为．
因为，
又是和的等比中项，所以，
即，
则，
又，故，
所以．
由得，
所以，
， 

【解析】本题主要考查了等差数列与等比数列通项与性质及前项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
利用等差数列的性质与等比中项的性质即可得出；
利用分组转化求和法，将等比、等差部分分别求和，可得．
 

22.【答案】解：由，
得，
因为，所以，
所以，
所以数列是等比数列，其中首项为，公比为，
所以，即；
由知，
当为奇数时，，当偶数时，，
所以
． 

【解析】本题考查了递推公式，等比数列的判定、通项公式、前项和公式，分组求和法，属于中档题．
由得，故数列是等比数列，首项为，公比为，求出的通项公式，进而得出的通项公式；
当为奇数时，，当偶数时，，，利用分组求和法求解即可．