浙教版八年级下册数学期末冲刺复习练习——平行四边形常考题（含答案）

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一、多边形
1．（1）求12边形内角和度数；
（2）若一个n边形的内角和与外角和的差是720°，求n．
2．如图，在△ABC中，∠C=100°，∠B=36°，AD平分∠CAB，求∠ADC的度数．
3．如图，在凸六边形ABCDEF中，已知∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F成立，求证：该六边形必有两条对边是平行的.
二、平行四边形的性质与判定
4．如图，AB，DE相交于点F，AD∥BE，点C在线段AB上，且AC=BE，AD=BC．连结CD，CE．
（1）求证：△ADC≅△BCE．
（2）若∠A=40∘，∠ADC=20∘，求∠CDE的度数．
5．（1）已知两条对角线a，b，利用尺规作一个菱形．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）如图，在□ABCD中，AC为对角线，过点D作AC的平行线与BC的延长线交于点E．
①求证：△ABC≌△DCE．
②若AC=BC，求证：四边形ACED是菱形．
6．综合与探究：如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=6，点D是BC边上一动点．将点D以点B为旋转中心逆时针旋转60°，旋转后的对应点为E；再将点D以点C为旋转中心顺时针旋转60°，旋转后的对应点为F．连接DE，DF，分别交AB，AC于点G，H，连接EF．
（1）【操作判断】请根据题意在图1中补全图形，判断DE与AB的位置关系______．
（2）【问题探究】当点D的位置发生变化时，点A与△DEF存在不同的位置关系．当点A在△DEF内部时，判断AG+AH的值是否发生变化？若不变，求出AG+AH的值；若变化，试说明理由．
（3）【拓展延伸】直接写出点D运动过程中AG、AH、AB之间的数量关系．
三、图形的旋转
7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为−2,3，点B的坐标为−6,0，点C的坐标为−1,0，请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1．
（2）画出△ABC绕原点O顺时针旋转90度的△A2B2C2．
（3）请直接写出：以A、B、C、D为顶点的平行四边形的第四个顶点D的所有可能坐标．
8．如图所示，点C在线段AD上，AB=AD，∠B=∠D，BC=DE.
（1）试说明：△ABC≌△ADE；
（2）若∠BAC=60°，求∠ACE的度数.
9．已知O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE．
（1）如图①，若∠COF=28°，求∠BOE的度数.
（2）如图①，猜测∠COF与∠BOE的数量关系.
（3）当射线OE绕点O逆时针旋转到如图②的位置时，∠COF与∠BOE的数量关系如何？请说明理由．
四、三角形的中位线
10．如图，DE是△ABC的中位线，延长CB至点F，使BF=12BC，连接BE和DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形．
（2）若∠ABC=90°，DF=3，求AC的长．
11．某数学兴趣小组对对角线互相垂直的四边形进行了探究．
（1）探究：如图1，若四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请你证明四边形的四条边长满足：AB2+CD2=AD2+BC2．
（2）应用一：如图2，若AF，BE分别是ΔABC中BC，AC边上的中线．且AF⊥BE垂足为P，求证：AC2+BC2=5AB2；
（3）应用二：如图3，▱ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点．若BE⊥EG，AD=25，AB=3．求线段AF的长．
12．如图，四边形ABCD中，E为边BC的中点，BD与AE交于O，BO＝DO，AO＝2EO．AC与BD交于F．
（1）求证：F是AC的中点．
（2）求S△ACD：S△ABD的值．
五、反证法
13．求证： 在直角三角形中至少有一个角不大于 45∘．
已知： 在 △ABC 中， ∠C=90∘．
求证： ∠A，∠B 中至少有一个角不大于 45∘．
证明 ： 假设
则 ∠A 45∘，∠B 45∘，
∴∠A+∠B+∠C>45∘+ + ，这与 相矛盾．所以 不能成立， 所以 ∠A，∠B 中至少有一个不大于 45∘．
14．用反证法证明下列问题：
如图，在△ABC中，点 D，E 分别在边AC，AB上，BD，CE 相交于点O.求证：BD和CE 不可能互相平分.
15． 已知： 如图， 在 △ABC 中， D 是 AB 边上的中点， DE∥BC 交 AC 于点 E．请你用反证法证明： AE=CE．
答案解析部分
1．【答案】解：（1）由题意，得
（12-2）×180°=1800°；
（2）由题意得：
（n-2）•180°-360°=720°，
解得：n=8．
2．【答案】解：∵∠C=100°，∠B=36°，
∴∠CAB=180°−∠C−∠B=44°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠BAD=12∠CAB=22°，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=58°．
3．【答案】解：如图，在CD，AF上分别取点G，H，作直线GH.
∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=720°，
且∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F，
∴∠A+∠B+∠C=360°.
∵∠A+∠B+∠C+∠CGH+∠AHG=540°，
∴∠CGH+∠AHG=180°. ∴CD∥AF.
∴该六边形必有两条对边平行
4．【答案】（1）证明：∵AD∥BE，
∴∠A=∠B．
在△ADC和△BCE中，
、AC=BE,∠A=∠B,AD=BC,，
∴△ADC≌△BCE(SAS)．
（2）、解：∵△ADC≌△BCE，
∴CD=CE，∠BCE=∠ADC=20°．
∵∠FCD=∠A+∠ADC=40°+20°=60°，
∴∠ECD=60°+20°=80°．
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠CED=(180°-80°)÷2=50°，
∴∠CDE=50°．
5．【答案】（1）解：如图，菱形ABCD即为所求．
（2）解：①证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠B=∠DCE．
∵DE∥AC，
∴∠ACB=∠E．
在△ABC和△DCE中，
∠ABC=∠DCE,∠ACB=∠E,AB=DC,
∴△ABC≌△DCE(AAS)．
②证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴AD∥CE．
又∵DE∥AC，
∴四边形ACED为平行四边形．
∵AC=BC，
∴AC=AD，
∴四边形ACED是菱形．
6．【答案】（1）解：点D按题意旋转后，如图所示：
连接BE，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=30°，
由旋转性质可知：∠DBE=60°，BD=BE，
∴△BDE是等边三角形，∠ABC=∠EBG=12∠DBE，
∴DE⊥AB，
（2）解：如图所示：
延长BA交DF于点P，
由（1）得：△BDE是等边三角形，DE⊥AB，
∴∠BDE=60°，
同理可得：DF⊥AC，∠CDF=60°，
∴∠EDF=60°，
∴∠APH=30°，
∴∠APH=∠ABC，
∴BD=PD，
∴BG=PG=12（AB+AP），
∵DF⊥AC，∠APH=30°
∴AP=2AH，
∵PG=AG+AP，AB=6，
∴AG+AP=12（AB+AP）即AG+2AH=12(AB+2AH)，
∵AB=6，
∴AG+AH=3，
因此， 当点A在△DEF内部时，AG+AH的值不发生变化，AG+AH=3.
（3）AG+AH=12AB或AH−AG=12AB
7．【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）解：如图所示，△A2B2C2即为所求，
（3）顶点D的所有可能坐标为：−7,3或−5,−3或3,3
8．【答案】（1）证明：在△ABC和△ADE中，
BC=DE,∠B=∠D,AB=AD,
所以△ABC≌△ADE(SAS).
（2）解：由（1）得△ABC≌△ADE，
所以AC=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
所以∠AEC=∠ACE=12（180°-∠DAE）=60°.
9．【答案】（1）解：∵∠COF=28°，∠COE=90°
∴∠EOF=90°−28°=62°．
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE=2∠EOF=124°，
∴∠BOE=180°−∠AOE=56°
（2）解：∵∠AOE+∠BOE=180°，
∴∠AOE=(180−∠BOE)°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠EOF=12∠AOE=(90−12∠BOE)°，
∵∠COE是直角，
∴∠COF=∠COE−∠EOF=90°−(90−12∠BOE)=12∠BOE，
故答案为：∠BOE=2∠COF
（3）解：∠BOE=2∠COF 仍然成立，理由：
∵∠COE=90°，
∴∠EOF=90°−∠COF．
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE=2∠EOF=180°−2∠COF ．
∴∠BOE=180°−∠AOE=180°−(180°−2∠COF)=2∠COF
10．【答案】（1）证明：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=12BC.
∵BF=12BC，
∴DE=BF.
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵四边形BEDF是平行四边形，
∴DF=BE=3.
∵∠ABC=90°，点E是AC的中点，
∴AC=2BE=6．
11．【答案】（1）证明：
∵AC⊥BD
如图由勾股定理得：
AB2=OA2+OB2，BC2=OC2+OB2
CD2=OC2+OD2，AD2=OA2+OD2
∴AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2=BC2+AD2
（2）证明：如图所示，连接EF.
∵AF⊥BE，
∴∠APE=∠APB=∠BPF=∠EPF=90°，
∴PA2+PE2=AE2，PF2+PB2=BF2，
PE2+PF2=EF2，PA2+PB2=AB2，
∴AE2+BF2=EF2+AB2，
∵EF=12AB，AE=12AC，BF=12BC，
∴14AC2+14BC2=14AB2+AB2，
∴AC2+BC2=5AB2
（3）解：如图3，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P，
∵点E、G分别是AD，CD的中点，
∴EG∥AC，
∵BE⊥EG，
∴BE⊥AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=25，
∴∠EAH=∠FCH，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE=12AD，BF=12BC，
∴AE=BF=CF=12AD=5，
∵AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴EF=AB=3，AP=PF，
在△AEH和△CFH中，
∠AHE=∠FHC∠EAH=∠FCHAE=CF，
∴△AEH≌△CFHAAS，
∴EH=FH，
∴EQ，AH分别是△AFE的中线，
由（2）的结论得：AF2+EF2=5AE2，
∴AF2=5×52−EF2=25−9=16，
∴AF=4．
12．【答案】（1）证明：连接OC，如图所示
∵点E是BC的中点
∴BE=CE
∵DO＝BO，
∴OE为三角形BCD的中位线，
∴OE//DC，DC＝2OE，
∵AO＝2EO，
∴CD＝AO，
∵AO//CD，
∴四边形AOCD是平行四边形，
∴F为AC中点．
（2）解：∵四边形AOCD为平行四边形，
∴S△ADC＝12S▱AOCD＝S△ADO，
∵BO=DO，
∴点O是BD的中点
∴S△ABD＝2S△ADO，
∴S△ACD：S△ABD＝S△ADO：2S△ADO＝12．
13．【答案】∠A，∠B都大于45°；>；>；45°；90°；三角形内角和为180°；假设
14．【答案】证明：如图所示，连结DE.
假设BD和CE互相平分，
则四边形EBCD是平行四边形，∴BE∥CD.
∵在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，
∴BE不可能平行于CD.
故假设不成立，
∴BD和CE不可能互相平分
15．【答案】证明：假设AE≠CE，即E不是AC的中点.
取AC边的中点F，连结DF
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF∥BC，
∵DE∥BC，与“过直线外一点有且只有一.条直线平行于这条直线”矛盾.
∴假设不成立，
∴AE= CE