专题03 二次根式的化简求值的类型（高效培优期中专项训练）数学新教材人教版八年级下册+答案

这是一份专题03 二次根式的化简求值的类型（高效培优期中专项训练）数学新教材人教版八年级下册+答案，共17页。试卷主要包含了若2=−a−b，则，化简2−2的值为，阅读下面的文字后，回答问题等内容，欢迎下载使用。
考点01 利用二次根式的性质直接化简
考点02 二次根式结合乘法公式进行化简求值
考点03 二次根式结合分式进行化简求值
考点04 双重二次根式的化简
考点01 利用二次根式的性质直接化简
1．若(a−b)2=−a−b，则（ ）
A．|a+b|＝0B．|a﹣b|＝0C．ab＝0D．a2+b2＝0
【答案】C
【解答】解：根据二次根式性质x2=|x|转化等式可知：
(a−b)2=|a−b|，
(a−b)2=−a−b，
∴|a﹣b|＝﹣a﹣b，
∵绝对值具有非负性，
∴﹣a﹣b≥0，
即a+b≤0，
对等式两边平方：
（a﹣b）2＝（﹣a﹣b）2，
∴a2﹣2ab+b2＝a2+2ab+b2，
∴﹣4ab＝0，
∴ab＝0，
验证其他选项：
取a＝0，b＝﹣1，满足ab＝0，
此时|a+b|＝1≠0，
故A错误；
取a＝0，b＝﹣1，|a﹣b|＝1≠0，
故B错误；
取a＝0，b＝﹣1，a2+b2＝1≠0，
故D错误，
故选：C．
2．已知|a|＝4，b2=6，且(a−b)2=b−a，则a+b的值为（ ）
A．﹣2或﹣10B．2或10C．10D．﹣10
【答案】B
【解答】解：∵|a|＝4，b2=6，
∴a＝±4，b＝±6，
∵(a−b)2=b−a，
∴a﹣b＜0，
∴a＝4，b＝6或a＝﹣4，b＝6，
∴a+b＝10或2，
故选：B．
3．实数a在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣1|+(a−2)2=（ ）
A．2a﹣3B．1C．﹣3D．﹣1
【答案】B
【解答】解：观察数轴可知：1＜a＜2，
∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，
∴原式＝a﹣1+（2﹣a）
＝a﹣1+2﹣a
＝1，
故选：B．
4．已知1≤x≤3，则(1−x)2+(3−x)2化简后的结果是（ ）
A．2B．4﹣2xC．﹣2D．2x﹣4
【答案】A
【解答】解：∵1≤x≤3，
∴1﹣x≤0，3﹣x≥0，
∴原式＝x﹣1+3﹣x＝2．
故选：A．
5．已知实数a，b在数轴上的对应点如图，化简：|a+b|−a2−a2+2ab+b2的结果为（ ）
A．aB．﹣3a﹣2bC．﹣aD．a+b
【答案】C
【解答】解：观察数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|，
∴a+b＜0，
∴原式=|a+b|+a2−(a+b)2
＝﹣a﹣b﹣a﹣（﹣a﹣b）
＝﹣a﹣b﹣a+a+b
＝﹣a
故选：C．
6．化简(x−2025)2−(x−2026)2的值为（ ）
A．﹣1B．1C．2025D．2026
【答案】B
【解答】解：由条件可知x﹣2026≥0，
∴x≥2026，
则(x−2025)2−(x−2026)2
＝|x﹣2025|﹣（x﹣2026）
＝x﹣2025﹣x+2026
＝1，
故选：B．
7．若−b3+(b−a)3有意义，则a2+b2=（ ）
A．a+bB．a﹣bC．﹣a+bD．﹣a﹣b
【答案】D
【解答】解：由条件可得−b3≥0(b−a)3≥0，
由﹣b3≥0得b3≤0，即b≤0；
由（b﹣a）3≥0得b﹣a≥0，即a≤b，
∴a≤b≤0，
∴a2+b2=|a|+|b|=−a−b．
故选：D．
8．已知a＞0，ab＜0，则(b−a−4)2−(a−b+1)2的值为 3 ．
【答案】3
【解答】解：∵ab＜0，∴a、b异号，
∵a＞0，∴b＜0，
∴b﹣a﹣4＜0，a﹣b+1＞0，
∴原式＝a﹣b+4﹣（a﹣b+1）
＝a﹣b+4﹣a+b﹣1
＝3，
故答案为3．
9．已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：(b+c−a)2+(c−a−b)2−(b−c−a)2．
【答案】3b﹣a﹣c．
【解答】解：由题意得a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b，
(b+c−a)2+(c−a−b)2−(b−c−a)2
＝|b+c﹣a|+|c﹣（a+b）|﹣|b﹣（c+a）|
＝b+c﹣a+a+b﹣c﹣（a+c﹣b）
＝3b﹣a﹣c．
10．阅读下面的文字后，回答问题：
对题目“化简并求值：m+1−6m+9m2，其中m＝5”，甲、乙两人的解答不同：
甲的解答：原式＝m+(1−3m)2=m+1﹣3m＝1﹣2m＝1﹣2×5＝﹣9
乙的解答：原式＝m+(1−3m)2=m+3m﹣1＝4m﹣1＝4×5﹣1＝19
（1）你认为 甲 的解答是错误的，原因是未能正确运用二次根式的性质： a2=|a| ；
（2）模仿上面正确的解答，化简并求值：m2−10m+25+9−6m+m2，其中m=72．
【答案】（1）甲，a2=|a|；
（2）2．
【解答】解：（1）当m＝5时，1﹣3m＜0，
∴(1−3m)2=|1﹣3m|＝3m﹣1，
∴我认为甲的解答是错误的，原因是未能正确运用二次根式的性质：a2=|a|，
故答案为：甲，a2=|a|；
（2）m2−10m+25+9−6m+m2
=(m−5)2+(3−m)2
＝|m﹣5|+|3﹣m|
当m=72时，m﹣5＜0，3﹣m＜0，
∴原式＝5﹣m+m﹣3
＝2．
考点02 二次根式结合乘法公式进行化简求值
11．若a+b=3，ab＝1，则a3b+2a2b2+ab3的值为（ ）
A．1B．3C．6D．9
【答案】B
【解答】解：由题意得，a3b+2a2b2+ab3
＝ab（a2+2ab+b2）
＝ab（a+b）2．
又∵a+b=3，ab＝1，
∴a3b+2a2b2+ab3＝ab（a+b）2＝1×3＝3．
故选：B．
12．若m=6+1，n=6−1，则m2﹣n2的值为（ ）
A．14+46B．7+46C．46D．26
【答案】C
【解答】解：由条件可知m+n=6+1+6−1=26，m−n=6+1−(6−1)=2，
∴m2−n2=(m+n)(m−n)=2×26=46．
故选：C．
13．已知x=6+1，y=6−1，则代数式x2+y2+xy的值等于 19 ．
【答案】19．
【解答】解：∵x=6+1，y=6−1，
∴x+y＝26，xy＝6﹣1＝5，
∴x2+y2+xy＝（x+y）2﹣xy＝（26）2﹣5＝24﹣5＝19．
故答案为：19．
14．阅读下列材料：我们知道(13+3)(13−3)=4，因此将813−3的分子分母同时乘以“13+3”，分母就变成了4，即813−3=8(13+3)(13−3)(13+3)=8(13+3)4，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若m=20252026+1，则代数式m3+2m2﹣2025m+2026的值是 2026 ．
【答案】2026．
【解答】解：∵m=2025×(2026−1)(2026+1)×(2026−1)=2026−1，
∴m+1=2026．
∴（m+1）2＝2026，即m2+2m+1＝2026．
∴m3+2m2﹣2025m+2026
＝m3+2m2+m﹣2026m+2026
＝m（m2+2m+1）﹣2026m+2026
＝2026m﹣2026m+2026
＝2026．
故答案为：2026．
15．已知a=5+3，b=5−3，求下列各题的值：
（1）ab；
（2）a2﹣3ab+b2．
【答案】（1）2；
（2）10．
【解答】解：（1）原式=(5+3)(5−3)
＝5﹣3
＝2；
（2）原式＝a2﹣2ab+b2﹣ab
＝（a﹣b）2﹣ab
=[5+3−(5−3)]2−2
=(23)2−2
＝12﹣2
＝10．
16．已知：x=7+3，y=7−3，求下列代数式的值．
（1）xy；
（2）x2﹣y2．
【答案】（1）4；
（2）421．
【解答】解：（1）∵x=7+3，y=7−3，
∴xy=(7+3)(7−3)=(7)2−(3)2=4；
（2）x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），
当x=7+3，y=7−3时
原式=(7+3+7−3)(7+3−7+3)
=27×23
=421．
17．已知x=2+1，y=2−1．
（1）求代数式xy的值；
（2）先化简代数式x2−2xy+y2x2−y2，再求它的值．
【答案】（1）1；
（2）22．
【解答】解：（1）∵x=2+1，y=2−1，
∴xy=(2+1)(2−1)=(2)2−12=2−1=1；
（2）原式=(x−y)2(x+y)(x−y)=x−yx+y，
∵x=2+1，y=2−1，
∴原式=2+1−(2−1)2+1+(2−1)=222=22．
18．已知x=12+3，y=12−3，求下列代数式的值：
（1）x2﹣y2；
（2）yx+xy．
【答案】（1）−83；
（2）14．
【解答】解：（1）∵x=12+3=2−3，y=12−3=2+3，
∴x−y=2−3−2−3=−23，x+y=2−3+2+3=4，
xy=(2−3)×(2+3)=22−(3)2=4−3=1，
∴x2−y2=(x+y)(x−y)=4×(−23)=−83；
（2）yx+xy
=x2+y2xy
=(x−y)2+2xyxy
=(−23)2+21
＝12+2
＝14．
19．计算：
（1）(2−1)2+2(5+2)；
（2）已知x=3+1，y=3−1，求下列各式的值：
①x2+2xy+y2；
②x2﹣y2．
【答案】（1）3+10；
（2）①12；②43．
【解答】解：（1）(2−1)2+2(5+2)=2−22+1+10+22
=3+10；
（2）①∵x=3+1，y=3−1，
∴x2+2xy+y2
＝（x+y）2
=(3+1+3−1)2
=(23)2
＝12；
②x2﹣y2
＝（x+y）（x﹣y）
把x=3+1，y=3−1代入（x+y）（x﹣y）得，
(3+1+3−1)×(3+1−3+1)
=23×2
=43．
20．已知a=15+2，b=15−2．
（1）求a2﹣ab+b2的值；
（2）若m为b的小数部分，求m的值；
（3）在（2）的条件下，求m3+3m2﹣5m+2022的值．
【答案】（1）17；
（2）5−2；
（3）2021．
【解答】解：（1）∵a=5−2(5+2)(5−2)=5−2，b=5+2(5−2)(5+2)=5+2，
∴a﹣b=5−2﹣（5+2）＝﹣4，ab＝（5+2）（5−2）＝1，
∴a2﹣ab+b2＝（a﹣b）2+ab＝（﹣4）2+1＝17；
（2）由（1）可知，b=5+2，
∵4＜5＜9，即2＜5＜3，
∴4＜5+2＜5，
∴5+2的整数部分是4，小数部分是5+2﹣4=5−2，
即m=5−2；
（3）∵m=5−2，
∴m2=(5−2)2=9−45，
∴m3+3m2﹣5m+2022
＝m2（m+2）+m2﹣5m+2022
=m2(5−2+2)+m2−5m+2022
=5m2+m2−5m+2022
=5(9−45)+9−45−5(5−2)+2022
=95−20+9−45−55+10+2022
＝2021．
考点03 二次根式结合分式进行化简求值
21．已知a+b＝5，ab＝3，则ab+ba的值为 533 ．
【答案】533．
【解答】解：由条件可知a＞0，b＞0，
∴ab+ba=ab+ba=a+bab=53=533，
故答案为：533．
22．已知a+b＝﹣6，ab＝7．则代数式aab+bba的值为（ ）
A．−2277B．2277C．3677D．−3677
【答案】A
【解答】解：∵a+b＝﹣6，ab＝7，
∴a＜0，b＜0，a2+2×7+b2＝36，
∴a2+b2＝22，
aab+bba
=aabb2+baba2
=−aabb−baba
=−a2abab−b2abab
=−(a2+b2)abab
=−2277，
故选：A．
23．计算：9a9a+a+9a29a2+a+9a39a3+a+⋯+9a89a8+a= 4 （其中a＞0）
【答案】4
【解答】解：第一项与最后一项相加得：
9a9a+a+9a89a8+a，
=9a(9a8+a)(9a+a)(9a8+a)+9a8(9a+a)(9a+a)(9a8+a)，
=9a9a8+9aa+9a8a+9a89a9a9a8+9aa+a9a8+aa，
＝1，
同理可得：第二项与倒数第二项的和也是1；第三项与倒数第三项的和也是1；
所以原式＝1+1+1+1＝4．
故应填：4．
24．已知x=3+23−2，y=3−23+2，求1x+1y的值．
【答案】﹣14．
【解答】解：由条件可得xy=3+23−2×3−23+2=1，
x+y=3+23−2+3−23+2=(3+2)2(3−2)(3+2)+(3−2)2(3−2)(3+2)=−(7+43)−(7−43)=−14，
∴1x+1y=y+xxy=−141=−14．
25．先化简，再求值：x−3x−1÷x−3x2+2x+1−1x−1，其中x=2+1．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式=x−3x−1•(x+1)2x−3−1x−1=x2+2xx−1，
当x=2+1时，
原式=(2+1)2+2(2+1)2+1−1=8+522．
26．先化简，再求值：a−ba+b−a−2ab+ba−b，其中a＝3，b=13．
【答案】0．
【解答】解：a−ba+b−a−2ab+ba−b
=(a+b)(a−b)a+b−(a−b)2a−b
=a−b−（a−b）
=a−b−a+b
＝0；
∴当a＝3时，原式＝0．
27．已知a=12+5，求1−2a+a2a−1−a2−2a+1a2−a的值．
【答案】25−1．
【解答】解：先将a分母有理化可得：
a=12+5=15+2=5−2(5+2)(5−2)=5−2，
∴1a=2+5，
a−1=5−2−1=5−3=5−9＜0，
∴原式=(a−1)2a−1−(a−1)2a(a−1)
=(a−1)2a−1−−(a−1)a(a−1)
=a−1+1a
=5−2−1+2+5
=25−1．
28．已知x=2+1，y=2−1，求x−2xy+yx−y+x+2xy+yx+y−2x−yx的值．
【答案】2−1．
【解答】解：x−2xy+yx−y+x+2xy+yx+y−2x−yx
=(x)2−2xy+(y)2x−y+(x)2+2xy+(y)2x+y−2x−yx
=(x−y)2x−y+(x+y)2x+y−2x−yx
=x−y+x+y−2(x)2x+yx
=2x−2x+yx
=yx
=xyx，
当x=2+1，y=2−1时，原式=2−12+1=(2−1)2=2−1．
29．已知y=x−12+12−x+8，求x−4yx−2y−x+y+2xyx+xy÷(1x+1y)的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵y=x−12+12−x+8，
∴x−12≥0且12−x≥0，
解得：x=12，
代入得：y＝8，
∴x−4yx−2y−x+y+2xyx+xy÷(1x+1y)
=(x+2y)(x−2y)x−2y−(x+y)2x(x+y)÷x+yxy
=x+2y−x+yx•xyx+y
=x+2y−y
=x+y
=12+8
=122+22
=522．
30．已知5+11的小数部分为a，5−11的小数部分为b．
先化简，再求值：a+2ab+ba−b−(abaa+ab−bb−ab)÷bb+ab．
【答案】﹣ab，23−711．
【解答】解：∵3＜11＜4，
∴8＜5+11＜9，1＜5−11＜2，
∴5+11的整数部分为8，小数部分为a=5+11−8=11−3；
5−11的整数部分为1，小数部分为b=5−11−1=4−11，
∵原式=a+2ab+ba−b−(abaa(a+b)−bb(b−a))÷bb(a+b)
=a+2ab+ba−b−(aba+b+1a−b)÷1a+b
=a+2ab+ba−b−ab(a−b)+a+b(a+b)(a−b)÷1a+b
=a+2ab+ba−b−ab(a−b)+a+b+2aba−b
=−ab(a−b)a−b
＝﹣ab，
∴原式=−ab=−(11−3)(4−11)=23−711．
考点04 双重二次根式的化简
31．【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=（2）2+22+1＝（2+1）2．于是善于思考的小明找到了一种把类似a+b2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
（1）若7+43=(m+n3)2，且m、n均为正整数，则m＝ 2 ，n＝ 1 ．
（2）若a+b5=(10−2)2，当a、b均为整数时，则a＝ 12 ，b＝ ﹣4 ．
【拓展延伸】
（3）化简8−43．
【答案】（1）2，1；
（2）12，﹣4；
（3）6−2．
【解答】解：（1）∵7+43=(m+n3)2=m2+3n2+2mn3，
∴m2+3n2=7mn=2，
解得m=2n=1（负值已舍去），
故答案为：2，1；
（2）∵a+b5=(10−2)2=12﹣45，
∴a＝12，b＝﹣4，
故答案为：12，﹣4；
（3）8−43=(6−2)2=6−2．
32．小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
5+26=(2+3)+22×3=(2)2+(3)2+2×(2)×(3)=(2+3)2；
7−43=(4+3)−2×2×3=22+(3)2−2×2×(3)=(2−3)2．
【类比归纳】
（1）请你仿照上面的方法将7+210化成另一个式子的平方；
（2）请你仿照上面的方法化简：6−42；
（3）若a+215=(m+n)2，其中m＞n，且a，m，n均为正整数，求a+m+n的值．
【答案】（1）(2+5)2；
（2）（2−2）2；
（3）32或16．
【解答】解：（1）7+210=（2+5）+2×2×5=(2+5)2；
（2）6−42=（4+2）﹣2×2×2=（2−2）2；
（3）∵a+215=(m+n)2，
∴a+215=m+n+2mn，
∴a＝m+n，mn＝15，
∵a、m、n为正整数，mn＝15＝1×15＝3×5，
∴m=1n=15或m=15n=1或m=3n=5或m=5n=3，
∴m+n＝16或m+n＝8，
∴当m+n＝16时，a＝16．
当m+n＝8时，a＝8．
∴a+m+n＝16+16＝32或a+m+n＝8+8＝16．
33．【阅读材料】
小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：5−26=(2+3)−22×3=(2)2+(3)2−22×3=(2−3)2，8−27=(1+7)−21×7=(12)+(7)2−21×7=(1−7)2．
【类比归纳】
（1）请你仿照小明的方法将7−210化成另一个式子的平方的形式；
（2）请运用小明的方法化简11−62；
（3）将式子a+b−2ab=(a−b)2≥0化成另一个式子的平方的形式为 (a−b)2 （a≥0，b≥0）．
【答案】（1）(2−5)2；
（2）3−2；
（3）(a−b)2．
【解答】解：（1）原式=(2+5)−22×5
=(2)2+(5)2−22×5
=(2−5)2；
（2）原式=11−218
=(2+9)−22×9
=(2)2+32−22×3
=(2−3)2，
∴11−62
=(2−3)2
=|2−3|
=3−2；
（3）a+b−2ab=(a−b)2≥0
=(a)2+(b)2−2a×b
=(a−b)2．
故答案为：(a−b)2．
34．阅读下列例题．
在学习二次根式性质时我们知道(a)2=a(a≥0)．
例题：求3+5+3−5的值．
解：设x=3+5+3−5，
两边平方得：x2=(3+5)2+(3−5)2+2(3+5)(3−5)，
即：x2=3+5+3−5+4，x2＝10，
∴x=±10，
∵3+5+3−5＞0，
∴3+5+3−5=10．
（1）则(2+3)2的值是 2+3 ；
（2）请利用上述方法，求4+7+4−7的值；
（3）若9−n+9+n=42，求n的值．
【答案】（1）2+3；（2）14；（3）32．
【解答】解：（1）∵(a)2=a(a≥0)，
∴(2+3)2=2+3．
故答案为：2+3；
（2）根据题意，设x=4+7+4−7，
两边平方得：x2=(4+7)2+(4−7)2+2(4+7)(4−7)，
即x2=4+7+4−7+6，
x2＝14，
∴x=±14，
∵4+7+4−7＞0，
∴4+7+4−7=14；
（3）根据题意可知，9−n+9+n=42两边平方，
得(9−n)2+(9+n)2+2(9−n)(9+n)=(42)2，
∴9−n+9+n+281−n=32，
81−n=7，
81﹣n＝49，
解得：n＝32．
35．阅读材料：
把根式x±2y进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn=y，则把x±2y变成m2+n2±2mm＝（m±n）2开方，从而使得x±2y化简．
如：3+22=1+22+2=(1)2+2×1×2+(2)2=(1+2)2=|1+2|=1+2
解答问题：
（1）填空：5+26= 3+2 ．
（2）化简：7−43（请写出计算过程）．
（3）13+22+15+26+17+212+19+45．
【答案】（1）3+2；
（2）2−3；
（3）5−1．
【解答】解：（1）5+26=3+26+2=(3)2+26+(2)2=(3+2)2=|3+2|=3+2；
故答案为：3+2；
（2）7−43=4−43+3=(4)2−43+(3)2=(2−3)2=|2−3|=2−3；
（3）13+22+15+26+17+212+19+45
=1(2+1)2+1(3+2)2+1(2+3)2+1(5+2)2
=12+1+13+2+12+3+15+2
=2−1+3−2+2−3+5−2
=5−1．