专题02 二次根式的混合运算的类型（高效培优期中专项训练）数学新教材人教版八年级下册+答案

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考点01 二次根式的直接混合运算
考点02二次根式的新定义运算
考点03利用程序框图计算二次根式
考点04二次根式在实际应用中的计算
考点01 二次根式的直接混合运算
1．计算：(1)，
(2) (32+3)(32−3)−(1−5)2．
【答案】(1)4；（2）9+25．
【解答】（1）解：
．
（2）解：原式＝18﹣3﹣（1﹣25+5）
＝18﹣3﹣6+25
＝9+25．
2．计算：
（1）12−212+8；
（2）(5+2)2+(5+2)(5−2)．
【答案】（1）23+2；
（2）10+45．
【解答】解：（1）原式=23−2×22+22
=23−2+22
=23+2；
（2）(5+2)2+(5+2)(5−2)
=5+45+4+5−4
=10+45．
3．计算：
（1）32−412+2；
（2）54÷6−13×15−(−2)2．
【答案】（1）32；
（2）1−5．
【解答】解：（1）原式＝42−22+2
＝32；
（2）原式=54÷6−13×15−2
＝3−5−2
＝1−5．
4．计算：
（1）48÷3−12×12+24；
（2）(5−2)2+20×12．
【答案】（1）4+6；
（2）7−10．
【解答】解：（1）原式=16−6+26=4+6；
（2）原式=5−210+2+10=7−10．
5．计算
（1）(312−213+48)÷23；
（2）(3−2)2023(3+2)2024−2|32|−(−3)0．
【答案】（1）143；
（2）−23−3．
【解答】解：（1）原式=(63−233+43)÷23
=2833÷23
=143；
（2）原式=(3−2)2023(3+2)2023×(3+2)−2×32−1
=[(3−2)(3+2)]2023×(3+2)−3−1
=(3−4)2023×(3+2)−3−1
=(−1)×(3+2)−3−1
=−3−2−3−1
=−23−3．
6．计算：
（1）；
（2）(3−1)2+27−33−|3−2|−(π−3.14)0．
【答案】（1）；
（2）3−3．
【解答】解：（2）解：
；
（2）(3−1)2+27−33−|3−2|−(π−3.14)0
=3−23+1+9−1−(2−3)−1
=4−23+3−1−2+3−1
=3−3．
7．计算：
（1）；
（2）(7+5)(7−5)+(22)2；
（3）8+|2−1|−π0+(12)−1；
（4）23−(12−12)．
【答案】（1）；
（2）10；
（3）32；
（4）22．
【解答】解：（1）解：原式
；
（2）原式=(7)2−(5)2+(22)2
＝7﹣5+8
＝10；
（3）原式=22+2−1−1+2
=32；
（4）原式=23−23+22
=22．
8．计算：
（1）212−613+348−20．
（2）(1+2)2(1+3)2(1−2)2(1−3)2．
（3）(1+23)(1−23)+(−1)2022×(5−π)0−(13)−2．
【答案】（1）143−25；
（2）4；
（3）﹣19．
【解答】解：（1）原式=43−6×33+3×43−25
=43−23+123−25
=143−25；
（2）原式=[(1+2)×(1−2)]2×[(1+3)×(1−3)]2
＝（1﹣2）2×（1﹣3）2
＝1×4
＝4；
（3）原式＝1﹣12+1×1﹣9
＝1﹣12+1﹣9
＝﹣19．
9．计算：
（1）27×50÷6；
（2）56÷2−313−212；
（3）(3−1)2−(5+1)(5−1)；
（4）(12)−1+(π−3)0−48÷3+|3−2|．
【答案】（1）15；（2）0；（3）−23；（4）1−3．
【解答】解：（1）27×50÷6
=33×52÷6
=156÷6
＝15；
（2）56÷2−313−212
=53−3×33−43
=53−3−43
＝0；
（3）(3−1)2−(5+1)(5−1)
=4−23−(5−1)
=4−23−4
=−23；
（4）(12)−1+(π−3)0−48÷3+|3−2|
=2+1−43÷3+2−3
＝3﹣4+2−3
=1−3．
10．计算：
（1）(248−327)÷6；
（2）；
（3）32−212+2；
（4）(23−1)2+(3+2)(3−2)．
【答案】（1）−22；
（2）1；
（3）42；
（4）12−43．
【解答】解：（1）(248−327)÷6
=(83−93)÷6
=−3÷6
=−22；
（2）解：
；
（3）32−212+2
=42−2+2
=42；
（4）(23−1)2+(3+2)(3−2)
=12−43+1+3−4
=12−43．
考点02二次根式的新定义运算
11．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．则（﹣2）※3结果为（ ）
A．33B．−23C．32D．23
【答案】A
【解答】解：原式＝（﹣2）2×3−（﹣2）×3−33
＝43+23−33
＝33，
故选：A．
12．对于任意的实数m，n，定义一种运算“*”，m*n＝m（m﹣n）+n（m+n），则2*5=（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【解答】解：∵m*n＝m（m﹣n）+n（m+n），
∴2*5
=2（2−5）+5（2+5）
＝2−10+10+5
＝7，
故选：C．
13．对于任意的正数m、n定义运算⊗为：m⊗n=m−n(m≥n)m+n(m＜n)，计算（3⊗2）+（8⊗12）的结果为（ ）
A．3+2B．23C．2+33D．3−2
【答案】C
【解答】解：（3⊗2）+（8⊗12）=3−2+8+12
=3−2+22+23
=2+33．
故选：C．
14．对于任意不相等的两个非负实数a和b，定义一种新的运算a∗b=a+ba−b，则下列关于这种运算的几个结论：
①3∗2=5；②a*b+b*a＝0；③a*（b+c）＝a*b+a*c；④不存在这样的实数a和b，使得a*b＝0．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：①当a＝3，b＝2时，原式=3+23−2=5，正确，此选项符合题意；
②原式=a+ba−b+b+ab−a=a+ba−b−a+ba−b=0，正确，此选项符合题意；
③左边=a+(b+c)a−(b+c)，右边=a+ba−b+a+ca−c，观察可知左边≠右边，错误，此选项不符合题意；
④正确，由于a、b是非负实数，且不相等，故a+b＞0，且a﹣b≠0，故不存在这样的实数a和b，使得a*b＝0，此选项符合题意．
故选：C．
15．对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：a※b=a+ab．例：3※4=3+3×4=3+23=33．按照这种运算方法，则7※9＝ 47 ．
【答案】47．
【解答】解：7※9=7+7×9=7+37=47．
故答案为：47．
16．对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：a※b=a+ab，例：2※9=2+2×9=42．按照这种运算方法，则5※16＝ 55 ．
【答案】55．
【解答】解：由题意得：5※16
=5+5×16
=5+45
=55，
故答案为：55．
17．若定义xⅡy=xy+1+2，那么（3Ⅱ5）Ⅱ8＝ 9 ．
【答案】9．
【解答】解：根据题意得3Ⅱ5=3×5+1+2＝4+2＝6，
所以（3Ⅱ5）Ⅱ8＝6Ⅱ8=6×8+1+2＝9．
故答案为：9．
18．对于实数a，b定义一种新运算“〇”，规定a〇b=a2−2b，如3〇2=32−2×2=9−22．
（1）2〇1＝ 4−2 ，(−6)〇2= 4 ；
（2）若10〇x=8，求x的值．
【答案】（1）4−2，4；
（2）2．
【解答】解：（1）2〇1＝22−2×1＝4−2，
(−6)〇2=（−6）2−2×2=6﹣2＝4；
故答案为：4−2，4；
（2）∵10〇x=8，
∴（10）2−2x＝8，
解得x=2，
即x的值为2．
19．定义：已知a，b都是实数，若a+b＝3，则称a与b是关于3的“实验数”．
（1）4与是 ﹣1 关于3的“实验数”，2与 3−2 是关于3的“实验数”．
（2）若m=(1+3)(2−3)，判断m与4−3是否是关于3的“实验数”，并说明理由．
【答案】（1）﹣1；3−2；
（2）m与4−3是关于3的“实验数”；理由见解答过程．
【解答】解：（1）∵4﹣1＝3，2+3−2=3，
∴4与﹣1是关于3的“实验数”，2与3−2是关于3的“实验数”，
故答案为：﹣1；3−2；
（2）m与4−3是关于3的“实验数”；理由如下：
∵m=(1+3)(2−3)，
∴m+4−3
=(1+3)(2−3)+4−3
=2−3+23−3+4−3
＝3，
∴m与4−3是关于3的“实验数”．
20．定义：我们将(a+b)与(a−b)称为一对“对偶式”．
因为(a+b)(a−b)=(a)2−(b)2=a−b，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：(15−x+3−x)(15−x−3−x)=(15−x)2−(3−x)2=(15−x)−(3−x)=12，所以15−x+3−x与15−x−3−x互为“对偶式”．
（1）7−2的“对偶式”是 7+2 ，21−x−5−x的“对偶式”是 21−x+5−x ．
（2）已知21−x−5−x=2，其中x≤5．
①21−x−5−x的“对偶式”的值是 8 ．
②利用“对偶式”的相关知识，求方程21−x−5−x=2中x的值．
【答案】（1）7+2，21−x+5−x；
（2）①8；②x＝﹣4．
【解答】解：（1）由题意可得，7−2的“对偶式”是7+2，21−x−5−x的“对偶式”是21−x+5−x．
故答案为：7+2，21−x+5−x；
（2）①21−x−5−x的“对偶式”是21−x+5−x，
而(21−x−5−x)(21−x+5−x)=(21−x)2−(5−x)2=(21−x)−(5−x)=16，
∵21−x−5−x=2，
∴21−x+5−x=8；
故答案为：8；
②∵21−x−5−x=2，21−x+5−x=8，
∴21−x=5，5−x=3，
解得x＝﹣4．
考点03利用程序框图计算二次根式
21．按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为2，则最后输出的结果是（ ）
A．14B．8+52C．16D．14+2
【答案】B
【解答】解：∵n=2时，n（n+1）=2×（2+1）＝2+2，且2+2＜15，
∴将n＝2+2再次输入，
n（n+1）
＝（2+2）（2+2+1）
＝（2+2）（3+2）
＝6+52+2
＝8+52，
∵8+52＞15，
∴输出结果是8+52，
故选：B．
22．按如图所示的运算程序，若输入数字“3”，则输出的结果是（ ）
A．32−1B．3−52C．62−3D．5−42
【答案】D
【解答】解：由题意得：
3÷3−2=1−2＜1，
∴（1−2）×（3−2）
＝3−2−32+2
＝5﹣42，
∴若输入数字“3”，则输出的结果是5﹣42，
故选：D．
23．按照如图所示的程序框图运算，若输入﹣2，则输出的值（ ）
A．10+46B．10−46C．2D．﹣2
【答案】C
【解答】解：∵﹣2+6＞0，
∴（﹣2+6）（2+6）＝6﹣4＝2，
∴输出的值为2．
故选：C．
24．李老师设计了一个关于实数运算的程序：输入一个数，乘以3后再减去3，输出结果．若小刚按程序输入2，则输出的结果应为（ ）
A．2B．3C．−3D．33
【答案】B
【解答】解：23−3=3．
故选：B．
25．根据如图所示的程序计算函数值．若输入的x值为2，则输出的结果为（ ）
A．2B．2−2C．2D．2+2
【答案】B
【解答】解：∵1＜2＜2，
∴y＝﹣x+2=−2+2＝2−2．
故选：B．
26．如图是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为2时，则输出的值为 36 ．
【答案】36．
【解答】解：2×3+24=6+26=36，
则输出的值为36，
故答案为：36．
27．如图是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为6时，则输出的值为 52 ．
【答案】52．
【解答】解：当x=6时，
3x+8=3×6+22
=3×6+22
＝32+22
＝52．
故答案为52．
28．如图是一个简单的数值运算程序，若输入x的值为3的小数部分，则输出的数值为 −23 ．
【答案】−23
【解答】解：程序所代表的代数式为：x2﹣4，
∵x为3的小数部分，
∴x=3−1，
当x=3−1时，输出的值为（3−1）2﹣4＝3﹣23+1﹣4＝﹣23．
故答案为：﹣23．
29．如图是小华同学设计的一个计算机程序，请看懂后回答下列问题．
（1）若输入的数x＝5，则输出的结果是 6 ；
（2）若输出的结果是0且没有返回运算，则输入的数x是 ±7 ；
（3）请你输入一个数，使它经过第一次运算时返回，经过第二次运算时可输出结果，你觉得可以输入的数是 2 ，输出的数是 22−6 ．
【答案】6；±7；2；22−6
【解答】解：设输出的结果为y．根据新定义的计算程序，得
当x2−1＜5时，结果=x2−1；当x2−1＞5时，结果=x2−1−6；
（1）当x＝5时，52−1=26
∵26＞5
∴若输入的数x＝5，输出的结果是6；
（2）∵输出的结果是0且没有返回运算，
∴计算机的计算程序应该是：y=x2−1−6，
即x2−1−6=0，
解得：x＝±7；
（3）∵输入这个数它经过第一次运算时返回，
∴x2−1＜5，①；
∵该数经过第二次运算则可输出结果，
∴(x2−1)2−1＞5②，
由不等式①②，解得6−1＜x2＜6，
∴故答案不唯一，如2，22−6．
故答案为：6、±7，22−6．
考点04二次根式在实际应用中的计算算
30．如图所示，从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2的两个小正方形，则余下的面积为（ ）
A．166cm2B．8cm2
C．246cm2D．(46+8)cm2
【答案】A
【解答】解：由条件可知两个小正方形的边长分别为4cm和26cm，
∴大正方形的边长是(4+26)cm，
∴大正方形的面积是(4+26)2=16+166+24=40+166(cm2)，
∴余下的面积是40+166−16−24=166(cm2)．
故选：A．
31．把四张形状大小完全相同，宽为1cm的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形，长为30cm，宽为5cm盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（ ）
A．20cmB．530cm
C．2(30+5)cmD．5(30−1)cm
【答案】A
【解答】解：设小长方形卡片的长为xcm，
根据题意得：x+2=30，
∴x=30−2，
则图②中两块阴影部分周长和是：
230+2(5−x)+2×3
=230+10−2x+6
=230+16−2(30−2)
=230+16−230+4
＝20（cm），
∴图②中两块阴影部分的周长和是20cm．
故选：A．
32．如图，一个矩形被分割成四部分．已知图形①②③都是正方形，且正方形①的边长为1，阴影部分的面积为5，则正方形③的面积为（ ）
A．25+9B．45+6C．25+6D．45+9
【答案】D
【解答】解：由添加可知阴影部分的长为：5÷1=5，
∴正方形②的边长为：5+1，
∴正方形③的边长为：5+1+1=5+2，
∴正方形③的面积为：(5+2)2=9+45．
故选：D．
33．小威在信息课上设计了一幅长方形图片，已知长方形的长是80cm，宽是20cm，后面他又设计了一个面积与其相等的正方形，则该正方形的边长为 210 cm．
【答案】210．
【解答】解：设正方形的边长为xcm，
由题意可得，80×20=x2，
解得x＝210，
即正方形的边长为210cm，
故答案为：210．
34．已知长方形的长为(3+2)m，宽为(3−2)m，其面积为 1 m2．
【答案】1．
【解答】解：该长方形的面积为(3+2)×(3−2)=(3)2−(2)2=3−2=1(m2)．
故答案为：1．
35．已知长方形的长为310，面积为306，要在这个长方形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积为 60 ．
【答案】60．
【解答】解：由条件可知长方形的宽为306÷310=10⋅610=10⋅6010=60=215，
∵(310)2=9×10=90，(215)2=4×15=60，90＞60，
∴310＞215，
∴正方形的最大边长为长方形的宽215，
∴正方形的最大面积为(215)2=4×15=60．
故答案为：60．
36．已知：a2+b−18=2+23，且a、b均为正整数．
（1）分别求a和b的值；
（2）若a、b分别是直角三角形的直角边和斜边，求该直角三角形的面积．
【答案】（1）a＝4，b＝12；（2）162．
【解答】解：（1）由题意得，∵a2+b−18=2+23，
∴a2+b−32=2+23，
∴(a−3)2+b=2+12．
又∵a、b均为正整数，
∴a﹣3＝1，b＝12，即a＝4，b＝12．
（2）由题意，∵b是斜边，则另一直角边为122−42=82，
∴直角三角形的面积为12×4×82=162．
37．已知一个长方形的长a=43，宽b=23．
（1）求这个长方形的周长；
（2）若另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试求这个正方形的边长．
【答案】（1）123；
（2）26．
【解答】解：（1）∵一个长方形的长a=43，宽b=23，
∴这个长方形的周长为（43+23）×2
＝63×2
＝123；
（2）由题意可得，
这个正方形的边长为43×23=24=26．
38．如图，某农家乐有一块长方形空地ABCD，长方形空地的长BC为72m，宽AB为32m，现要在空地中划出一块长方形区域作为小鱼塘（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形小鱼塘的长为（10+1）m，宽为（10−1）m．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）若市场上蔬菜8元/千克，农家乐种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？
【答案】（1）长方形ABCD的周长是202m；
（2）如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为4680元．
【解答】解：（1）由题意得，长方形ABCD的周长=2×(72+32)=2×(62+42)=202(m)；
答：长方形ABCD的周长是202m；
（2）由题意得，蔬菜地的面积=72×32−(10+1)×(10−1)
＝48﹣（10﹣1）＝39（m2），
∴销售收入＝39×8×15＝4680（元）．
答：如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为4680元．
39．有一块长方形木板ABCD，木工甲采用如图的方式，将木板的长AD增加23cm（即DE=23cm），宽AB增加73cm（即BG=73cm）．得到一个面积为192cm2的正方形AGFE．
（1）求长方形木板ABCD的面积；
（2）木工乙想从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为62cm的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行．
【答案】（1）18cm2（2）木工乙的想法可行，理由见解析．
【解答】解：（1）由题意可得：正方形的边长为：192=83cm，
∴AD=83−23=63cm，AB=83−73=3cm．
∴矩形ABCD木板的面积为63×3=18cm2．
（2）木工乙的想法可行，理由如下：
从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为62cm，
∴裁出长为：12÷62=12×26=46cm，
由（1）得长方形ABCD的长为63cm宽为3cm，
∵46=96，63=108，3=122，
∴46＜63，62＜3，
∴可以裁出所求的长方形木料．
∴木工乙的想法可行．
40．材料1：古希腊的几何学家海伦（Hern，约公元50年），在其著作《度量》一书中，给出了已知三角形三边长求其面积的海伦公式S=p(p−a)(p−b)(p−c)（其中a、b、c为三角形的三边长，p=a+b+c2，S为三角形的面积）；
材料2：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：S=14[a2b2−(a2+b2−c22)2]，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S．
阅读上述材料解决下列问题：
（1）当三角形的三边长为5、6、7时，这个三角形的面积为 66 ．
（2）当三角形的三边长为5、6、7时，这个三角形的面积为 262 ．
【答案】（1）66；
（2）262．
【解答】解：（1）p=5+6+72=9，
S=p(p−a)(p−b)(p−c)
=9×(9−5)×(9−6)×(9−7)
=9×4×3×2
=216
=66，
故答案为：66．
（2）由条件可得：
S=14[a2b2−(a2+b2−c22)2]
=14[(5)2×(6)2−((5)2+(6)2−(7)22)2]
=14[5×6−(5+6−72)2]
=14[30−(42)2]
=14×(30−4)
=264
=262．
故答案为：262．