2026年上海市中考数学试卷 （新考纲押题B卷）

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一．选择题（共6小题）
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）化简（﹣3x2y）3的结果为（ ）
A．﹣3x5y3B．﹣27x6y3C．﹣3x6y3D．﹣27x5y3
【答案】B
【分析】利用积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，进而得出答案．
【解答】解：原式＝﹣27x6y3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了幂的乘方与积的乘方，掌握相应的运算法则是关键．
2．（4分）下列图形中，属于中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义对四个选项进行分析．
【解答】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
3．（4分）关于x的方程kx2﹣2x+1＝0有实数根，那么k的可能值是（ ）
A．4B．2C．0或2D．0或1
【答案】D
【分析】需要分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程进行解答．
【解答】解：①当k＝0时，该方程是一元一次方程，有实数根；
②当k≠0时，Δ＝（﹣2）2﹣4k≥0，
解得：k≤1，
故k的取值范围是k≤1且k≠0．
综合①②k的取值范围是k≤1．
故选：D．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
4．（4分）对于一组统计数据：6，7，6，5，6，下列说法错误的是（ ）
A．平均数是6B．中位数是6C．众数是6D．方差是2
【答案】D
【分析】根据平均数、中位数、众数及方差的定义求解即可．
【解答】解：这组数据的平均数为：6+7+6+5+65=6，
中位数为6，
众数为6，
方差为15×[3×（6﹣6）2+（7﹣6）2+（5﹣6）2]＝0.4，
所以说法错误的是D．
故选：D．
【点评】本题主要考查平均数、中位数、众数及方差，解题的关键是掌握平均数、中位数、众数及方差的定义．
5．（4分）如图，已知∠AOB＝30°，⊙O的半径为3．点P在射线OB上，⊙P的半径为r．如果直线OA与⊙P相切，且⊙P与⊙O相交，那么r的值可以是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】如图，当⊙P与⊙O外切时，设切点为T，连接PT．求出两圆相交时r的取值范围即可判断．
【解答】解：如图，当⊙P与⊙O外切时，设切点为T，连接PT．
∵∠PTO＝90°，∠POT＝30°，
∴OP＝2PT，
∴3+r＝2r，
∴r＝3，
当两圆内切时，同法可得3﹣r＝2r，解得r＝1，
∵⊙P与⊙O相交，
∴1＜r＜3，
故选：C．
【点评】本题考查相交两圆的性质，切线的性质，含30度的直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD＝CD，连接BD和OC．若∠ABD＝25°，则∠OCD的度数是（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【答案】D
【分析】连接OD，由AD＝CD，得AD=CD，所以∠ABD＝∠CBD＝25°，则∠COD＝2∠CBD＝50°，而∠ODC＝∠OCD，由三角形内角和定理得2∠OCD+50°＝180°，求得∠OCD＝65°，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OD，则OD＝OC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，AD＝CD，
∴AD=CD，
∴∠ABD＝∠CBD＝25°，
∴∠COD＝2∠CBD＝50°，
∵∠ODC+∠OCD+∠COD＝180°，且∠ODC＝∠OCD，
∴2∠OCD+50°＝180°，
∴∠OCD＝65°，
故选：D．
【点评】此题重点考查圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）若a2﹣b2＝8，a﹣b＝4，则a+b的值为 2 ．
【答案】2．
【分析】根据a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）进行计算即可．
【解答】解：∵a2﹣b2＝8，a﹣b＝4，
∴（a+b）（a﹣b）＝8，
∴a+b＝8÷4＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了平方差公式，熟知两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解题的关键．
8．（4分）把多项式12ab2﹣8a2bc分解因式的结果是 4ab（3b﹣2ac） ．
【答案】4ab（3b﹣2ac）．
【分析】先确定公因式，再提取即可．
【解答】解：12ab2﹣8a2bc＝4ab（3b﹣2ac），
故答案为：4ab（3b﹣2ac）．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．
9．（4分）用换元法解无理方程x2+5x−x2+5x+1=2，若设y=x2+5x+1，则原方程可化为整式方程：y2﹣y﹣3＝0 ．
【答案】y2﹣y﹣3＝0
【分析】设y=x2+5x+1，可得原方程为y2﹣y﹣3＝0．
【解答】解：用换元法解无理方程x2+5x−x2+5x+1=2，
设y=x2+5x+1，
∴原方程为y2﹣y﹣3＝0，
故答案为：y2﹣y﹣3＝0．
【点评】本题考查了无理方程的解法，掌握无理方程的解法是解题的关键．
10．（4分）在函数y=x3x+1中，自变量x的取值范围是x≠−13 ．
【答案】x≠−13．
【分析】根据分母不等于0，列出不等式，求解即可．
【解答】解：根据题意得：3x+1≠0，
解得：x≠−13．
故答案为：x≠−13．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，根据分母不等于0，列出不等式是解题的关键．
11．（4分）将直线y＝﹣2x+3沿y轴向下平移5个单位长度后，所得直线的截距是 ﹣2 ．
【答案】﹣2．
【分析】一次函数图像上下平移遵循“上加下减”的规则，沿 y轴向下平移 5 个单位，就是在整个函数表达式后减去 5．得到新直线的解析式后，常数项就是新的截距．
【解答】解：原直线为 y＝﹣2x+3，沿 y轴向下平移 5 个单位：y＝﹣2x+3﹣5，
化简得：y＝﹣2x﹣2，
∵一次函数 y＝kx+b 中，b 就是直线在 y轴上的截距，
∴新直线的截距为﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一次函数图像的平移变换．熟练掌握“上加下减”的平移规律，并能准确识别一次函数的截距，是解题的关键．
12．（4分）如图是两个M型电子元件的组合，每个M型电子元件都有通电和断开两种状态，且这两种状态发生的可能性相等．在一定时间段内，A，B之间的电流能够正常通过的概率为 34 ．
【答案】34．
【分析】先画树状图，再根据概率公式计算即可．
【解答】解：列树状图如图：
可知共4种情况，有3种情况电流通过，
∴A，B之间的电流能够正常通过的概率为34．
故答案为：34．
【点评】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（4分）某校九年级共有300名女生．为了解她们800米成绩分布情况，从中随机抽取了30名女生的800米成绩，并根据《国家学生体质健康标准》整理如下：
根据以上信息，估计该校九年级300名女生中成绩达到良好及以上的人数是 230 ．
【答案】230．
【分析】根据样本估计总体解答即可．
【解答】解：估计该校九年级300名女生中成绩达到良好及以上的人数是300×8+1530=230．
故答案为：230．
【点评】本题考查的是用样本估计总体，掌握用样本估计总体是解题的关键．
14．（4分）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM＝3米，AB是杠杆，AB＝6米，OA：OB＝2：1，当点A位于最高点时，∠AOM＝120°，此时，点A到地面的距离为 5米 ．
【答案】5米．
【分析】过O作EF⊥OM，过A作AG⊥EF于点G，求出∠AOE＝30°，再由锐角三角函数定义求出AG＝2米，即可求解．
【解答】解：如图，过O作EF⊥OM，过A作AG⊥EF于点G，
∵AB＝6米，OA：OB＝2：1，
∴OA＝4米，
∵∠AOM＝120°，∠EOM＝90°，
∴∠AOE＝30°，
在Rt△AOG中，AG＝AO•sin30°＝4×12=2（米），
∴点A位于最高点时到地面的距离为2+3＝5（米），
故答案为：5米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．
15．（4分）如图在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点G是Rt△ABC的重心，联结BG并延长交AC于D，过G作GE⊥BC交边BC于点E．如果AC→=a→，AB→=b→，那么BE→= 13a→−13b→ （用a→、b→表示）．
【答案】13a→−13b→．
【分析】根据三角形重心的性质及平面向量的基本运算法则进行计算即可．
【解答】解：由题知，
∵AC→=a→，AB→=b→，
∴BC→=AC→−AB→=a→−b→．
过点G作BC的垂线，垂足为M，
∵点G是Rt△ABC的重心，
∴D为AC中点，
∴BD＝CD＝AD，
∴点M为BC中点，
∴BM→=12BC→=12a→−12b→．
又∵GE⊥BC，
∴GE∥DM，
∴BEBM=BGBD=23，
∴BE→=23BM→=13a→−13b→．
故答案为：13a→−13b→．
【点评】本题主要考查了三角形的重心及平面向量，熟知三角形重心的性质及平面向量的基本运算法则是解题的关键．
16．（4分）如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为 27° ．
【答案】27°．
【分析】连接OG、OF、OD、OE、DF、AC，根据四边形ABCD是正方形得到∠ADC＝90°，根据正五边形CEFGH内接于⊙O，得到GH=CH=FE=CE，进而得到∠DOF、∠DOE的度数，据此求解∠AMF的度数即可．
【解答】解：如图，连接OG、OF、OD、OE、DF、AC，
由题意可得：∠ADC＝90°，
∴AC过圆心O，
∴∠AOD=14×360°=90°，∠FOG=∠EOF=15×360°=72°，
∵正五边形CEFGH内接于⊙O，
∴GH=CH=FE=CE，
∴GC=FC，
∴GA=FA，
∴∠AOG=∠AOF=12∠FOG=36°，
∴∠DOF＝90°﹣36°＝54°，
∴∠DOE＝72°﹣54°＝18°，
∴∠AMF=∠MFD+∠MDF=12∠DOE+12∠AOF=12×18°+12×36°=27°，
故答案为：27°．
【点评】本题考查了正方形的性质，圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
17．（4分）如图，在边长为1的正方形网格上建立直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，其中反比例函数y=kx(k≠0，x＞0)的图象被墨水污染了一部分，已知点A，B在格点上，则k＝ 12 ．
【答案】12．
【分析】根据直角坐标系设点A（2，n），则点B（3，n﹣2），将两点代入反比例函数，可得出2n＝3（n﹣2），进而求出A（2，6），则可得出k的值．
【解答】解：设点A（2，n），则点B（3，n﹣2），
由条件可得2n＝3（n﹣2），
解得n＝6．
∴A（2，6），
则k＝2×6＝12，
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了求反比例函数解析式，熟练掌握该知识点是关键．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，BC＝6，DE∥BC，且CD＝2AD，以点C为圆心，r为半径作⊙C．如果⊙C与线段BE有两个交点，那么⊙C的半径r的取值范围是 25＜r≤26 ．
【答案】25＜r≤26
【分析】连接CE，过C作CF⊥AB于F．利用DE∥BC，计算得出AD，AE的长，通过说明△BFC∽△ADE，得出CF的长，利用勾股定理计算CE的长，因为⊙C与线段BE有两个交点，可以确定r的取值范围．
【解答】解：连接CE，过C作CF⊥AB于F．
∵DE∥BC，
∴ADAC=AEAB=DEBC．
∵CD＝2AD，
∴ADAC=AEAB=DEBC=13．
∵AB＝9，BC＝6，
∴DE=13BC＝2，
AE=13AB＝3．
∵AC=AB2−BC2=92−62=35，
CD＝2AD，
∴CD=25．
∴CE=CD2+DE2=(25)2+22=26．
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠ACF＝90°．
∵CF⊥AB，
∴∠CAF+∠ACF＝90°．
∴∠BCF＝∠FAC．
∵∠BFC＝∠EDA＝90°，
∴△BFC∽△EDA．
∴BCCF=AEAD．
∴6CF=35．
∴CF＝25．
∴当r＝25时，⊙C与线段BE相切．
∵⊙C与线段BE有两个交点，
∴25＜r≤26．
故答案为：25＜r≤26．
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，平行线的性质，相似三角形的判定与性质．通过计算CF，CE的长来确定r的取值范围是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算：3tan60°−cs30°−2713+|1−3|﹣（2025）0．
【答案】3−3．
【分析】利用特殊角的三角函数值，分数指数幂的意义，绝对值的意义和零指数幂的意义化简运算即可．
【解答】解：原式=33−32−3+（3−1）﹣1
＝2﹣3+3−1−1
=3−3．
【点评】本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，分数指数幂的意义，绝对值的意义和零指数幂的意义，熟练掌握上述性质与法则是解题的关键．
20．（10分）解分式方程：xx+1−4x2−1=1．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．
【解答】解：去分母，得
x（x﹣1）﹣4＝（x+1）（x﹣1），
去括号，得x2﹣x﹣4＝x2﹣1，
整理，得x＝﹣3
经检验，x＝﹣3为原方程的解．
故原方程的解为x＝﹣3．
【点评】本题考查了解分式方程，利用等式的性质得出整式方程是解题关键．
21．（10分）某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中2.5≤x≤4.5，另外每天还需支付其他各项费用80元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？
【答案】（1）y与x之间的函数关系式为y＝﹣80x+560（3.5≤x≤5.5）；
（2）销售单价为4元．
【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）利用每天获得的利润＝每袋的销售利润×每天的销售量﹣80，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出销售单价为4元．
【解答】解：（1）设每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（3.5，280），（5.5，120）代入y＝kx+b得：3.5k+b=2805.5k+b=120，
解得：k=−80b=560，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣80x+560（3.5≤x≤5.5）；
（2）依题意得：（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80＝160，
整理得：x2﹣10x+24＝0，
解得：x1＝4，x2＝6（不合题意，舍去）．
答：销售单价为4元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据给定的数据，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22．（10分）在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作推断
如图1，点P是正方形纸片ABCD的边AD的中点，沿BP折叠，使点A落在点M处，延长BM交CD于点F，连接PF．则∠BPF＝ 90 °．
（2）迁移探究
小华在（1）的条件下，继续探究：如图2，延长PM交CD于点E，连接BE．
①∠PBE＝ 45 °；
②小华用大小不同的正方形纸片重复几次以上操作，总发现CF＝3FD．请判断该发现是否正确？并说明理由．
（3）拓展应用
将边长为1的两个相同正方形拼成矩形ABCD，如图3，点P是AD上一动点，沿BP折叠，使点A落在点M处，射线BM交射线CD于点F．当DF=12DC时，直接写出AP的长．
【答案】（1）90；
（2）①45；
②判断正确，
理由见解析；
（3）12或17−14．
【分析】（1）根据正方形的性质得到∠A＝∠D＝90°，根据折叠的性质得到AP＝PM，∠A＝∠PMB＝90°，∠APB＝∠BPM，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）①根据正方形的性质得到∠A＝∠C＝90°，得到AP＝PD，根据折叠的性质得到AB＝BM，∠A＝∠PMB＝90°，∠ABP＝∠MBP，根据全等三角形的性质得到∠MBE＝∠CBE，于是得到结论；
②根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（3）根据矩形的性质得到AD＝BC＝2，AB＝CD＝1，根据勾股定理得到BF=BC2+CF2=52，设BF与AD交于E，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵点P是正方形纸片ABCD的边AD的中点，
∴AP＝PD，
∵沿BP折叠，使点A落在点M处，
∴AP＝PM，∠A＝∠PMB＝90°，∠APB＝∠BPM，
∴PD＝PM，∠D＝∠PMF＝90°，
∵PF＝PF，
∴Rt△PFD≌Rt△PFM（HL），
∴∠DPF＝∠MPF，
∴∠BPM+∠FPM=12×180°=90°，
∴∠BPF＝90°，
故答案为：90；
（2）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠C＝90°，
∵点P是正方形纸片ABCD的边AD的中点，
∴AP＝PD，
∵沿BP折叠，使点A落在点M处，
∴AB＝BM，∠A＝∠PMB＝90°，∠ABP＝∠MBP，
∴BM＝BC，∠C＝∠PMF＝90°，
∵BE＝BE，
∴Rt△BEM≌Rt△BEC（HL），
∴∠MBE＝∠CBE，
∴∠PBE＝∠PBM+∠EBM=12∠ABC＝45°，
故答案为：45；
②判断正确，
理由：∵∠DPF+∠APB＝∠APB+∠ABP＝90°，
∴∠DPF＝∠ABP，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABP∽△DPF，
∴ABPD=APDF=12，
∴DF=12PD=14AD=14CD，
∴DF=13CF，
即CF＝3FD；
（3）∵将边长为1的两个相同正方形拼成矩形ABCD，
∴AD＝BC＝2，AB＝CD＝1，
∵DF=12DC，
∴DF=12，
∴BF=BC2+CF2=52，
设BF与AD交于E，
∵DF∥AB，
∴△ABE∽△DFE，
∴ABDF=AEDE=BEEF，
∴112=AE2−AE=BE52−BE，
解得，AE=43，BE=53，
∴ME＝BE﹣BM=23，
∵∠PEM＝∠BEA，∠PME＝∠A＝90°，
∴△PEM∽△BEA，
∴PMAB=EMAE，
∴PM1=2343，
∴PM=12，
∴AP=12．
如图4，
当BM交线段CD于一点F时，
同理可得AP=17−14，
综上所述，AP的长为12或17−14．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，折叠的性质是解题的关键．
23．（12分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，N是中线CM的中点，CD∥AB，交线段BN的延长线于点D．
（1）求证：四边形ADCM是菱形；
（2）如果线段BD与边AC相交于点P，联结PM，当∠BPM＝∠BAC时，求证：线段PM是线段BM与CP的比例中项．
【答案】见解析．
【分析】（1）证明△DNC≌△BNM（AAS），推出CD＝BM＝AM，可得结论；
（2）证明△PMN∽△CMP，推出PM2＝MN•MC，又因为CN＝MN，MC＝BM，推出PM2＝CN•BM，再证明CP＝CN可得结论．
【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AM＝BM，
∴CM＝AM＝BM，
∵N是CM的中点，
∴CN＝MN，
∵CD∥AB，
∴∠CDN＝∠MBN，
∵∠DNC＝∠BNM，
在△DNC和△BNM中，
∠CDN=∠MBN∠CND=∠BNMCN=MN，
∴△DNC≌△BNM（AAS），
∴CD＝BM＝AM，
∵CD∥AM，
∴四边形ADCM是平行四边形，∵CD＝BM，CM＝BM，
∴CD＝CM，
∴四边形ADCM是菱形；
（2）∵CM＝AM，
∴∠ACM＝∠BAC，
∵∠BPM＝∠BAC，
∴∠MPN＝∠PCM，
∵∠PMN＝∠CMP，
∴△PMN∽△CMP，
∴PM2＝MN•MC，
∵CN＝MN，MC＝BM，
∴PM2＝CN•BM，
∵四边形ADCM是菱形，
∴D，M关于AC对称，
∴∠CPN＝∠APM＝∠APD，
∵∠APM+∠MPN+∠CPN＝180°，∠CPN+∠PCM+∠CNP＝180°，∠MPN＝∠PCN，
∴∠CPN＝∠CNP，
∴CP＝CN，
∴PM2＝PC•BM，
∴线段PM是线段BM与CP的比例中项．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形，相似三角形解决问题．
24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴分别交于A、B两点（点B在点A的右边），与y轴交于点C．
（1）如图1，点C（0，﹣3），顶点坐标为（1，﹣4）．
①求二次函数的解析式；
②点D为抛物线上第四象限内一点，直线BC与OD相交于点E，当DEEO=23时，求点D的坐标；
（2）如图2，A、B两点x轴正半轴上，点P为抛物线上位于第一象限内的一动点（P在B的右侧），过点A、P的直线交y轴于点M，过点B、P的直线交y轴于点N．当A、B两点的横坐标为x1，x2（x1＜x2）时，试探究OAOB与CMCN之间的数量关系．
【答案】（1）①y＝x2﹣2x﹣3；
②D（1，﹣4）或D（2，﹣3）；
（2）OAOB=CMCN，理由见解析．
【分析】（1）①设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣4，然后把C（0，﹣3）代入即可求解；
②求出点B的坐标为：（3，0），用待定系数法求出直线BC的解析式y＝x﹣3，设点D（m，m2﹣2m﹣3），则H（m，m﹣3），证明△OCE∽△DHE得DHOC=DEEO=23，代入数据求出m的值，从而得出点D的坐标；
（2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），则OAOB=x1x2，当x＝0时，y＝ax1x2，即C（0，ax1x2）．P（n，a（n﹣x1）（n﹣x2）），用待定系数法求出直线AP的表达式为y＝a（n﹣x2）x﹣x1a（n﹣x2），得出点M的坐标为：（0，﹣x1a（n﹣x2）），同理可得，点N（0，﹣x2a（n﹣x1）），求出CM＝amx1，CN＝amx2，进而可证明OAOB=CMCN．
【解答】解：（1）①抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与y轴交于点C（0，﹣3），顶点坐标为（1，﹣4），
∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点C的坐标代入得：
﹣3＝a×（0﹣1）2﹣4，
解得a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；
②抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A、B两点（点B在点A的右边），
当y＝0时，得：0＝x2﹣2x﹣3，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴点B的坐标为（3，0），
设直线BC的解析式为y＝k1x+b1，将点B，点C的坐标代入得：
3k1+b1=0b1=−3，
解得：k1=1b1=−3，
∴y＝x﹣3，
如图，作DH∥OC，交直线BC与H，
设点D（m，m2﹣2m﹣3），则H（m，m﹣3），
∴DH＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m．
∵DH∥OC，
∴△OCE∽△DHE，
∴DHOC=DEEO=23，
∴−m2+3m3=23，
解得m1＝1，m2＝2，
∴D（1，﹣4）或D（2，﹣3）；
（2）解：OAOB=CMCN；理由如下：
设抛物线解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），则OAOB=x1x2，
当x＝0时，y＝ax1x2，
∴C（0，ax1x2）．
设点P（n，a（n﹣x1）（n﹣x2）），
设直线AP的表达式为：y＝k2x+b2，将点A，点P的坐标代入得：
k2n+b2=a(n−x1)(n−x2)k2x1+b2=0，
解得k2=a(n−x2)b2=−x1a(n−x2)，
∴y＝a（n﹣x2）x﹣x1a（n﹣x2），
当x＝0时，y＝﹣x1a（n﹣x2），
∴点M的坐标为：（0，﹣x1a（n﹣x2）），
同理可得，点N（0，﹣x2a（n﹣x1）），
则CM＝amx1，CN＝amx2，
CMCN=x1x2，
∴OAOB=CMCN．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点，相似三角形的判定与性质，二次函数与几何综合等，难度较大，属中考压轴题．
25．（14分）已知，四边形ABCD内接于⊙O，AD=BD，点T在BC的延长线上．
（1）如图1，求证：CD平分∠ACT；
（2）如图2，若AC是⊙O的直径，BE平分∠ABC交CD延长线于E，交⊙O于F，连接AE，AF，DF．
①求∠AED的度数；
②若CDAB=58，△DEF的面积等于259，求AC的长．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）①∠AED＝45°；
②253．
【分析】（1）根据圆的内接四边形的性质可得：∠BAD＝∠DCT，再由AD=BD可得∠BAD＝∠ACD，由此可证CD平分∠ACT；
（2）①连接CF，由外角的性质可得∠BAC＝2∠BEC，从而∠FAD＝∠FED，再由∠ADF＝∠EDF＝45°可得△ADF≌△EDF（AAS），从而得△ADE是等腰直角三角形，∠AED＝45°；②过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，根据题目中条件先证△EGA∽△ADC，从而AEAC=AGCD，即，2ADAC=22ABCD，进一步计算得ACAD=2CDAB=2×58=54，设AD＝4x，AC＝5x（x＞0），在Rt△ADC中，则有（4x）2+CD2＝（5x）2，解得：CD＝3x，由等腰三角形的性质得EM=12CE=12（CD+DE）＝3.5x，DM＝4x﹣3.5x＝0.5x，根据△DEF的面积等于259列方程得12DE•FM=124x•0.5x=259，解得：x=53，从而得AC＝5x=253．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
又∵∠DCT+∠BCD＝180°，
∴∠BAD＝∠DCT，
∵AD=BD，
∴∠BAD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠DCT，
∴CD平分∠ACT；
（2）解：①如图2.1，连接CF，
∵∠ECT是△BCE的一个外角，
∴∠BEC＝∠ECT﹣∠EBC，
同理可得：∠BAC＝∠ACT﹣∠ABC，
由（1）可知：CD平分∠ACT，BE平分∠ABC，
∴∠BEC＝∠ECT﹣∠EBC=12（∠ACT﹣∠ABC）=12∠BAC，
即，∠BAC＝2∠BEC，
∵∠BAC＝∠BFC，
∴∠BFC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，
∴∠BEC＝∠FCE，
∴∠FAD＝∠FED，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝180°﹣90°＝90°，
∵∠ADF＝∠ABF＝45°，
∴∠FDE＝∠ADE﹣∠ADF＝45°，
∴∠ADF＝∠EDF，
∴△ADF≌△EDF（AAS），
∴DA＝DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠AED＝45°；
②如图2.2，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FAC＝∠EBC=12∠ABC＝45°，
∵∠AED＝45°，
∴∠AED＝∠FAC，
∵∠FED＝∠FAD，
∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD，
∴∠AEG＝∠CAD，
∵∠EGA＝∠ADC＝90°，
∴△EGA∽△ADC，
∴AEAC=AGCD，
在Rt△ABG中，∠ABG＝45°，
∴AG=22AB，
在Rt△ADE中，AE=2AD，
∴2ADAC=22ABCD，
∴ADAC=AB2CD，
∵CDAB=58，
∴ACAD=2CDAB=2×58=54，
在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，
∴设AD＝4x，AC＝5x（x＞0），则（4x）2+CD2＝（5x）2，
∴CD＝3x，
∵∠BEC＝∠FCE，
∴FC＝FE，
∵FM⊥CE，
∴EM=12CE=12(CD+DE)=3.5x，
∴DM＝4x﹣3.5x＝0.5x＝FM，
∵△DEF的面积等于259，
∴12DE⋅FM=12×4x⋅0.5x=259，
∵x＞0，
∴x=53，
∴AC=5x=253．
【点评】本题是圆的综合题，考查了角平分线的定义，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．题号
1
2
3
4
5
6
答案
B
B
D
D
C
D
等级
优秀
良好
及格
不及格
人数
8
15
4
3
销售单价x（元）
3.5
5.5
销售量y（袋）
280
120