江苏省南京市2025-2026学年下学期高三高考数学考前模拟卷含答案

这是一份江苏省南京市2025-2026学年下学期高三高考数学考前模拟卷含答案，共8页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，[5分]若实数满足，则，[5分]已知，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1．[5分]已知集合，下列选项中为的元素的是（ ）
① ② ③ ④
A．①②B．①③C．②③D．②④
2．[5分]函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
3．[5分]样本数据3，4，5，6，7，8，9，10的第55百分位数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
4．[5分]若实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
5．[5分]在的展开式中，含的项的系数为，则的最小值为（ ）
A．13B．25C．30D．36
6．[5分]直线x−y+2=0分别于x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆x−22+y2=2上，则△ABP面积的最大值是（ ）
A．6 B．8 C．32 D．22
7．[5分]已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．[5分]已知三棱锥的侧棱长相等，且所有顶点都在球的球面上，其中，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题，共18分）
9．[6分]已知数列的前n项和为，若，对于，有恒成立，则称数列的前n项和是有上界的．下列数列的通项公式中，哪些数列的前n项和存在上界（ ）．
A．B．
C．D．
10．[6分]有三个相同的箱子，分别编号，其中号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球，这些球除颜色外完全相同．某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到红球”，事件表示“摸到白球”，则（ ）
A．B．
C．D．
11．[6分]已知，则（ ）
A．的最小值为B．的最大值为
C．的最小值为D．的最大值为
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12．[5分]．
13．[5分]已知，是椭圆：上关于原点对称的两点，其中点在第一象限，过作直线的垂线与交于第二象限内的点，直线与轴正半轴交于点，若，则的离心率为 .
14．[5分]周长为4的，若分别是的对边，且，则的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分）
15．[15分]如图，在四棱锥中，底面，点为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成的角.
16．[15分]2023年12月30日8时13分，长征二号丙/远征一号S运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后成功将卫星互联网技术试验卫星送入预定轨道.由中国航天科技集团有限公司研制的运载火箭48次宇航任务全部取得圆满成功．也代表着中国航天2023年完美收官.某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机从本市大学生和高中生中抽取一个容量为的样本，根据调查结果得到如下列联表：
(1)完成上述列联表；依据小概率值的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关联，求样本容量n的最小值；
(2)用频率估计概率，从本市大学生和高中生中随机选取3人，用X表示不关注的人数，求X的分布列和数学期望．
附：
，其中．
17．[15分]在中，内角所对的边分别为，且满足.
（1）求角；
（2）若，的中线，求的面积.
18．[15分]如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，设抛物线在点处的切线为．

(1)若直线与轴的交点为，求证：；
(2)过点作的垂线与直线交于点，求证：．
19．[17分]斜二测画法是一种常用的工程制图方法，在已知图形中平行于轴的线段，在直观图画成平行于轴（由轴顺时针旋转得到）的线段，且长度为原来的，平行于轴的线段不变.如图，在直角坐标系中，正方形的边长为.定义如下图像变换：表示“将图形用斜二测画法变形后放回原直角坐标系”；表示“将图形的横坐标保持不变，纵坐标拉伸为原来的倍”.

(1)记正方形经过两次变换后所得图形为，求的坐标；
(2)在第次复合变换中，将图形先进行一次变换，再进行一次变换，. 记正方形进行次复合变换后所得图形为.过作的垂线，垂足为，若恒成立，求的取值范围.
参考答案
1．【答案】B
已知集合，
所以集合A有两个元素：和．
故选B.
2．【答案】D
根据题意知道，
解得，即.
故选D.
3．【答案】C
解：因为样本数据的个数为8，且，
所以第55百分位数是第五个数7．
故选：C．
4．【答案】D
构造函数，利用函数单调性求解.
实数满足,
，
设，即.
且为增函数，为减函数,
所以为增函数，
所以,
所以,
故.
故选：D
5．【答案】B
先求出，进而可求得含的项的系数，从而可得的关系，再根据基本不等式求解即可.
，，
则含的项的系数为，
所以，所以，
则，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为.
故选：B.
6．【答案】A
解：由题意得：A−2，0，B0，2， ∴AB=4+4=22，
由圆x−22+y2=2知：圆心2，0，半径r=2，
∴圆心到直线x−y+2=0距离d=2−0+21+1=22，
∴P到直线x−y+2=0距离的最大值为ℎ=d+2=32，
∴S△ABC=12AB⋅ℎ≤12×22×32=6.
故选A．
7．【答案】B
根据正弦的和差角公式展开可计算出，把转化成齐次式再运用弦化切的思想即可求解.
因为，所以，得，
显然，所以，而，
故选：B
8．【答案】A
如图，三棱锥的所有顶点都在球的球面上，

，
由余弦定理得，
，则，
截球所得的圆的圆心为的中点，半径，
由于三棱锥的侧棱长相等，所以共线，且，
.
设球的半径为，由得：.
球的表面积．
故选：A．
9．【答案】ABD
选项A：由，得，
令，数列前项和:，
故有上界.
选项B：对数列，前项和.
当时，，
所以求和得：.
选项C： .
作商判断单调性：.
所以当足够大时，必有，
即必有存在正整数使得，
即时恒有， 即从第项起单调递增，
所以无限增大，无上界.
选项D：，设 ，
当为奇数时 令 ，则
，
因为 ，所以每个括号内的项均为正数，因此：.
当为偶数时 令 ，则
，
每个括号内的项均为正数，因此：，
综上所述,有上界.
10．【答案】ACD
因为是等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，
所以由古典概型的概率公式和相互独立事件的概率公式可得：
，
，，.
对于选项A，因为，所以选项A正确；
对于选项B，因为事件，事件相互对立，
所以，故选项B不正确；
对于选项C， 由全概率公式和条件概率公式可得：
，
所以选项C正确；
对于选项D，由选项C知，
则，故选项D正确.
故选ACD．
11．【答案】AD
，
令，则，
即，则，
，
因为，所以，则
设，则，
时，即在上单调递减，
当时，，
当时，，所以
故有最小值，无最大值；故A正确B错误；
，
设，则，
时，即在上单调递增，
当时，，
当时，，所以
则有最大值，无最小值，故D正确C错误.
12．【答案】
原式.
13．【答案】
如图，设，，则，设的中点为，连接，
则，即，所以，
又因为，则，即.
又因为，，两式相减得，
所以，即，
又因为，所以.
由得，
所以，即，
所以.
设，由，得，
所以，由，得，所以，
故的离心率为.
故答案为：.
14．【答案】
利用平面向量的数量积公式结合余弦定理可得，再根据三角形两边之和大于第三边结合基本不等式求出，然后利用二次函数的性质求解即可.
因为周长为4的，分别是的对边，且，
所以
，
令，
∴，
∴，解得，
又∵，∴，∴
故，又在上递减，
∴，
故答案为：.
15．【答案】(1)证明见解析；
(2).
（1）取的中点，连接，利用三角形中位线定理结合已知条件可证得四边形为平行四边形，则，然后由线面平行的判定定理可证得结论；
（2）由（1）知，得与平面所成的角即为与平面所成的角，取的中点，连接，得即为与平面所成的角，从而可求得结果.
（1）证明：取的中点，连接，
分别是的中点，，且，
又，且且，
四边形为平行四边形，
，
又平面平面平面.
（2）由（1）知，则与平面所成的角即为与平面所成的角.
取的中点，连接，则可得，
底面，
平面，
则即为与平面所成的角，
，
故与平面所成的角为.
16．【答案】(1)列联表见解析，
(2)分布列见解析，
（1）列联表如下：
，
因为依据小概率值的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关，
所以，
由题可知，n是10的倍数，所以n的最小值为；
（2）由（1）可知，所以不关注的人数为，
用频率估计概率，所以不关注的概率为，
X的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
所以X的分布列为
因为，所以.
17．【答案】（1）
（2）
（1）因为，由正弦定理得，
因为，
代入整理得，
又因为，则，可得，即，
且，所以.
（2）由（1）可知：，则，，
由题意可得，则，
即，
由余弦定理得，
由两式可得，
所以的面积.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1）根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线的方程为联立直线和抛物线方程求得，，即可得，得证；
（2）写出过点的的垂线方程，解得交点的纵坐标为，再由相似比即可得，即证得.
（1）
易知抛物线焦点，准线方程为；
设直线的方程为
联立，得，
可得，所以；
不妨设在第一象限，在第四象限，对于；
可得的斜率为，
所以的方程为，即为
令，得，
直线的方程为，
令，得．
又因为，所以.
即得证．
（2）
由（1）中的斜率为可得过点的的垂线斜率为，
所以过点的的垂线的方程为，即，
如下图所示：

联立，解得的纵坐标为，
要证明，因为四点共线，
只需证明（*）．
因为，
．
所以（*）成立，得证.
【一题多解】
（2）
由知与轴平行，
所以①，
又因为的斜率为的斜率也为，所以与平行，
所以②，
由①②得，即得证.
19．【答案】(1)，
(2)
（1）先进行一些准备工作.
我们用2*2数表来作为变换的记号. 如果一个变换将点变为点，这里，则我们记.
则根据定义可知，.
然后，对，，记“先经过变换，再经过变换”的变换为，则经过变换后变为，再经过变换后变为，即.
这表明.
回到原题，由于，故.
所以，分别被变成，.
（2）定义数列如下：，.
然后我们用数学归纳法证明：.
当时，由知结论成立；
假设当时结论成立，即.
则.
所以将两个变换复合，就得到
，
故结论对也成立.
综上，对任意的正整数，有.
这表明，，，在经过变换后将得到，，.
这表明直线的方程为，从而的坐标是.
由的递推式及可直接得到.
记，则，且.
对于，我们有，两边同时对求导可得
，
再同乘，就得到.
取，就有.
这表明，再进一步进行变换即可得到
.
这直接推出.
同时，计算可知.
从而由，，知.
故点一定在和之间，即在线段内部.
这就得到了.
最后，我们需要求的取值范围，使得不等式恒成立，即恒成立.
由，知.
若，则，满足条件；
若恒成立，则恒成立，首先有.
从而由恒成立可知恒成立.
由，知恒成立.
即恒成立.
假设，记.
由，知当，且时，有以下结论：
①由知；
②由于对，展开后的二次项为，故.
从而由知，即.
故此时有，这与恒成立矛盾.
所以，故，从而.
而，故.
综上，不等式即恒成立的充分必要条件是.
最后，直接计算得到.
所以的取值范围是.学生群体
关注度
合计
关注
不关注
大学生
高中生
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
学生群体
关注度
合计
关注
不关注
大学生
高中生
合计
X
0
1
2
3
P