2026年北京密云区九年级中考一模数学试题（含解析）（中考模拟）

这是一份2026年北京密云区九年级中考一模数学试题（含解析）（中考模拟），共8页。试卷主要包含了 分解因式等内容，欢迎下载使用。
考生须知
1．本试卷共8页，共3道大题，28道小题，满分100分，练习时间120分钟
2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和练习编号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，作图必须使用2B铅笔．
4．练习结束，请将本试卷和答题纸一并交回．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的．
1. “农历二十四节气”被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产代表作名录，被誉为“中国的第五大发明”，下列关于二十四节气的设计简图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. 霜降B. 大雪C. 谷雨D. 小满
【答案】B
【解析】
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
2. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：由数轴可知：，；
∴，，
∴ ，故B选项错误；
∵，，且，
∴，故C选项正确.
，.
又∵，
∴，故 A 选项错误；
∵，
∴；
又，
∴ ，
故 D 选项错误.
3. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A. B. C. 1D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程的系数列方程即可求解的值.
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
即，解得 .
4. 为推进城市生态环境建设，某市计划种植一批生态防护林，目前已完成种植面积亩．整体规划完成后，累计种植面积将是目前已有种植面积的4倍，则规划完成后的累计种植面积为（ ）
A. 亩B. 亩C. 亩D. 亩
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵ 目前已种植面积为亩，累计种植面积是目前的倍，
∴ 累计种植面积为： （亩）.
5. 若一个边形的每个内角都是，则的值为（ ）
A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】本题利用任意多边形外角和为的性质求解，思路为先求出多边形每个外角的度数，再用外角和除以单个外角的度数得到边数．
【详解】解：∵ 该边形每个内角都是，
∴ 每个外角的度数为 ，
∵ 任意多边形的外角和为，
∴ ．
6. 《数学之美》是中国邮政为向数学学科致敬，于2025年3月14日发行的特种邮票，一套4枚，分别呈现了“圆周率”、“勾股定理”、“欧拉公式”和“莫比乌斯带”，这些邮票除图案外，质地与规格完全相同．若将此套邮票背面朝上，随机抽取两张，则抽到的邮票恰好为“勾股定理”和“欧拉公式”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用列举法求概率即可.
【详解】解：设4枚邮票分别为（圆周率）、（勾股定理）、（欧拉公式）、（莫比乌斯带），
从4枚邮票中随机抽取2枚，所有可能出现的结果有：，，，，，，共种等可能的结果，其中恰好为“勾股定理”和“欧拉公式”的结果只有这种，
抽到的邮票恰好为“勾股定理”和“欧拉公式”的概率.
7. 如图，，点在射线上，，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，连接．则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质和等边对等角得到，即可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
8. 如图，在正方形中，对角线、相交于点，是线段上一动点（不与点重合），过点分别作、的垂线交、边于点、．记的面积为，的面积为．当点在线段上运动的过程中，给出下列四个结论：
①点与点重合时，；②；③一定存在；④当是的中点时，．上述结论中，所有正确结论的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方形的性质，结合垂直定义，可知与都是等腰直角三角形，对于①，当点E与点O重合时，分别计算与即可判断；对于②，当点E与点O重合时，对比结论即可判断；对于③，需要，结合，即可判断；对于④，当是的中点时，求出与的相似比，进而求出面积比．
【详解】解：四边形是正方形，
，
，
与都是等腰直角三角形，
，，，
①点与点重合时，，，
，
，
，故结论①正确；
②点与点重合时，，此时，故结论②错误；
③若，则，
，即，
又，
点必然在之间，故结论③正确；
④当是的中点时，，
，
设，则，
，
，
与都是等腰直角三角形，
，
故结论④正确；
综上所述，正确的结论有①③④，共3个．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【详解】解：根据二次根式有意义的条件，可知，解得．
10. 分解因式：____________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因数，再利用完全平方公式即可直接分解．
【详解】原式
．
故答案为：．
本题考查运用完全平方公式分解因式，熟记其公式是解题关键．
11. 方程的解为______．
【答案】
【解析】
【详解】解：，
方程两边同时乘以得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
12. 能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为________，________．
【答案】 ①.
②.
【解析】
【分析】判断一个命题是假命题可以举出反例，只需找到满足但不满足的一组的值即可.
【详解】解：取，
则，，满足，
但，即不成立，因此该命题是假命题.
故（答案不唯一）.
13. 已知点是反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】作轴，作轴，先求出再说明，然后根据，则此题可解．
【详解】解：过点A作轴于点C，作轴于点D，
∵点A在函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
14. 某种水果按照果径大小可分为四个等级：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批该种水果中随机抽取100个，根据果径分类标准得到的数据如下：
若该采购商采购的这批水果共计2000个，估计等级为“精品果”的个数是_____．
【答案】
【解析】
【分析】先计算抽取样本中精品果的频率，再根据用样本估计总体的思想，用总体总个数乘以样本频率，得到这批水果中精品果个数的估计值.
【详解】解：由题意可得，样本中精品果的频率为，
故个水果中，精品果的个数估计为 .
15. 如图，在正方形中，和相交于点，点为线段的中点，连接并延长交于点．若，则的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】过点作交于点，利用平行线分线段成比例定理即可求解.
【详解】解：过点作交于点，
∵正方形中，，
∴
∴，
∵点为线段的中点，，
∴
∴，
∴，
∵正方形中，，
∴.
16. 某烘焙小组为制作一款庆典蛋糕，需完成（胚体烘烤）、（奶油打发）、（水果处理）、（糖霜制作）、（胚体抹面）、（裱花装饰）、（料胚组装）七道工序，工序完成需满足以下流程要求：
（1）只能在均完成后才能开始；
（2）只能在完成后才能开始；
（3）只能在和均完成后才能开始；
（4）可与并行进行，无先后干扰；
（5）一项工序同一时间只能由一名学生完成，完成后可接续其他工序，各工序所需时间如下表：
在不考虑其他因素的前提下，若由若干名学生合作完成，至少需要________分钟才能全部完成；若要在最短时间内完成，最少需要________名学生参与．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题为工序统筹优化问题，首先根据工序先后约束，计算学生数量足够时的最短总时间，再在最短总时间要求下，通过合理安排工序得到最少学生数量．
【详解】解：首先梳理所有工序：工序可并行进行，其中耗时最长的是，需要分钟，
工序：只能在都完成后开始，需要分钟，因此结束的最早时间为分钟,
工序：只能在完成后开始，需要分钟，因此结束的最早时间为分钟，
工序：需要和都完成后开始，分钟就可以完成并不受其他工序约束，因此的开始时间取决于的结束时间（第分钟），需要分钟，因此结束的最早时间为分钟，
∴最短总时间即为结束的最早时间，即分钟，
∵工序可并行进行，
∴工序需由至少两名同学来完成才能保证在分钟内完成，
∴学生负责完成工序需要的时间为分钟，后续三道工序可由最初完成工序的学生接续完成，无需其他人手，
∵如果工序均由一人完成，工序完成后还要保证后续工序的顺利进行，不影响总时长为分钟，
∴工序的时长：分钟，无法保证完成工序的同时，工序也同时完成，
∴工序至少需要由两人完成，即由学生负责完成工序，共计分钟，由学生负责完成工序，为分钟，
∴可以保证在学生完成工序用了分钟的同时，工序也同时完成，不影响后续工序的顺利进行，并保证总时长为分钟，
∴至少需要人完成．
三、解答题（本题共68分，其中17-21每题5分，22题6分，23题5分，24-26每题6分，27、28题每题7分）
17. 计算．
【答案】
【解析】
【详解】解：原式．
18. 解不等式组：，并写出它的正整数解．
【答案】
不等式组的解集为，正整数解为
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀确定不等式组的解集，最后写出正整数解即可．
【详解】解：，
解①得：，
解②得：，
∴不等式组的解集为：，
∵是正整数，
∴.
19. 已知，求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】先根据已知等式得到的值，再对所求分式进行化简约分，最后代入计算即可得到结果.
【详解】解：由得，，
∴
.
20. 如图，在中，，点是边上一点，且，过点作的平行线，与过点所作的边的垂线相交于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先证明，得出，再证明四边形是平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质得出，从而得出，根据，，得出，设，则，根据勾股定理得出，即可求出结果．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理得：
，
即，
解得：，
∴．
21. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．
（1）求，的值；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，又小于函数的值，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求出答案即可；
（2）先求出直线的解析式，再根据函数的图象在上方，且在函数的下方解答即可．
【小问1详解】
解：∵一次函数的图象经过点和，
∴，
解得；
【小问2详解】
解：由（1）可得一次函数的关系式为．
∵当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数，又小于函数的值，
∴当一次函数与重合时，，不合题意，
当时，在时，函数的值既大于函数的值，又小于函数的值；
当函数经过点时，，
解得，
此时当时，函数的值既大于函数的值，又小于函数的值；
所以当时，当时，函数的值既大于函数的值，又小于函数的值．
22. 如图，学校的跳远训练场地由助跑道、起跳板和落地区三个长方形区域组成，其中各长方形中较长的一边为长．已知起跳板的长度与助跑道的宽度相等，助跑道的长度是起跳板宽度的100倍，落地区的宽度与长度的比为，且落地区的长度比助跑道长度的少3米，落地区的宽度比助跑道的长度少22米，求起跳板的宽度（单位：米）．
【答案】起跳板的宽度为米
【解析】
【分析】设起跳板的宽度为米，由题意，表示出助跑道的长度，落地区的宽度，再根据落地区的宽度比助跑道的长度少22米，列出方程进行求解即可.
【详解】解：设起跳板的宽度为米，由题意，得助跑道的长度为米，落地区的长度为米，
∵落地区的宽度与长度的比为，
∴落地区的宽度为米，
∵落地区的宽度比助跑道的长度少22米，
∴，
解得；
答：起跳板的宽度为米.
23. 水质被称作生态的“血脉”．为净化水质，环保部门计划为某水源地选择合适的净水植物有效降低水中的磷含量，其中总磷去除量（单位：）是衡量水质净化效果，尤其是水体脱氮除磷能力的关键指标．该部门随机抽取了20块自然条件相同的水域进行实验，得到各水域每立方米水体中的总磷去除量，并对数据（总磷去除量）进行了整体描述和分析，下面给出了部分信息：
①20块水域每立方米总磷去除量的频数分布表如下：
②水域总磷去除量在2.50≤x