2026年北京市密云区部分学校中考二模九年级数学试卷（含解析）

这是一份2026年北京市密云区部分学校中考二模九年级数学试卷（含解析），文件包含《判断》微课学习pptx、《判断》微课学习任务单设计docx等2份课件配套教学资源，其中PPT共18页， 欢迎下载使用。
2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】展开图中有两个三角形，三个四边形，是三棱柱的组成，
这个几何体是三棱柱．
故选：B
2. 2025年，国产动画电影收获了一份令人欣喜的成绩单：全年电影票房排名前十位中，动画电影占4席，动画电影票房突破250亿元．将250亿用科学记数法表示应为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】．
故选：D
3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了实数与数轴．根据数轴可得，，据此逐一判断即可得到答案．
【详解】由题图可知，，，
，，，，，
，，
故C正确．
4. 若一个正n边形的一个内角的度数是其一个外角度数的倍，则n的值为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】利用正多边形的内角及外角定理求解．
【详解】解：设这个正n边形的一个外角的度数为x，则一个内角的度数是，
，
，即这个正n边形的一个外角为，
正n边形的外角和为，且每个外角相等，
n的值为．
5. 若关于x的一元二次方程：有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A. B. 3C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，列式计算即可．
【详解】解：根据题意，可得，解得．
6. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则两次向上的面不相同的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先画出树状图或列表得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：根据题意，画树状图如图：
或列表如下
由树状图或列表可知，共有4种等可能的情况，其中两次向上的面不相同的情况有2种，
P（两次向上的面不相同）．
7. 如图，P是一边上的点．按以下步骤作图：
结合上述作图方法，在不添加其他辅助线和字母的情况下，证明的过程中一定不会用到的依据是（ ）
A. 等腰三角形两底角相等
B. 内错角相等，两直线平行
C. 角平分线上的点到角两边的距离相等
D. 同位角相等，两直线平行
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的判定定理解答即可．
【详解】解：根据作图可知是的平分线，，
（角平分线的定义），（等腰三角形两底角相等），
①，
（内错角相等，两直线平行）；
②由题意易得，
，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），
，
，
（同位角相等，两直线平行）；
图中没有出现角平分线上的点到角两边的距离相等，
故证明过程中一定不会用到的依据是角平分线上的点到角两边的距离相等．
8. 如图，在平面直角坐标系中，A是函数图象上的动点，点B在x轴上，，以为边的平行四边形的边交该函数的图象于点D，连接．
给出下面四个结论：
①四边形可能是菱形；
②的面积始终等于4；
③点D可能是的中点；
④不可能是直角三角形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②④D. ①④
【答案】A
【解析】
【分析】可能等于，当时，是等边三角形，平行四边形是菱形，故①正确；平行线间的距离处处相等，和为同底等高的三角形，面积相等，过点A作轴于点E，可得，由，即可判断②正确；假设点D是的中点，则，过点D作轴于点F，证明，得，设点A的坐标为，得点D的坐标为，将点D的横坐标代入中，得，即可判断点D不在函数的图象上，得③错误；通过画图得④错误
【详解】解：①是等腰三角形，，
∵点A是函数图象上的动点，
可能等于，当时，是等边三角形，
，
平行四边形是菱形，故①正确；
②四边形是平行四边形，
，
；（平行线间的距离处处相等，和为同底等高的三角形．）
如图，过点A作轴于点E，
，
，
，
点A在函数的图象上，
，
，故②正确；
③如图，假设点D是的中点，则，
过点D作轴于点F，
四边形是平行四边形，
，，
，，
轴，轴，
，
，
，
设点A的坐标为，
，，
，，，
，
点D的坐标为，将点D的横坐标代入中，得，
，
点D不在函数的图象上，（点的坐标不满足函数解析式，则点不在函数图象上，反之在函数图象上．）
点D不可能是的中点，故③错误；
④在中，不可能为直角，在点A运动的过程中，可能为直角，
如图，
当在直线下方时，为钝角，
如图，
当在直线上方时，为钝角，则是锐角，
可能为直角，即可能为直角三角形，
故④错误，综上所述，正确的结论序号为①②．
故选A
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围为_________．
【答案】
【解析】
【详解】根据题意，可知，
解得．
10. 分解因式：_________________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
先提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
11. 方程的解为_________．
【答案】
【解析】
【详解】解：方程两边同时乘以，得，
解得，
检验：将代入（中，，
是分式方程的解．
12. 2025年12月4日是我国第十二个国家宪法日．某中学团委在学校党支部的支持下，对九年级500名学生进行了“法治知识”测试，并随机抽取了10名学生的测试成绩（满分100分），得到如下数据：
当测试成绩在85分及以上时可评为优秀，估计九年级500名学生中这次测试成绩可评为优秀的人数是_________．
【答案】300
【解析】
【详解】解：∵从九年级随机抽取的10名学生的测试成绩中，在85分及以上的有6个，
估计九年级500人中，这次成绩可评为优秀的人数是．
13. 能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为_________，_________．
【答案】 ①. （答案不唯一） ②. 1（答案不唯一）
【解析】
【详解】解：命题“若，则”，
取，，则，，
满足，但，即，
不成立，
故命题为假命题．
（答案不唯一）
14. 当把一个篮球放入静止的水中时，篮球静止后会漂浮在水面上，且有一部分在水面之下．如图，可以将篮球的竖直横截面看作半径为的，水面与篮球接触面形成的弦长为，测得篮球露出水面的高度为，经过圆心O，且垂直于，则弦长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用垂径定理以及勾股定理求解．
【详解】解：如图，连接，
的半径为，
，
，
，
经过圆心O，且垂直于，
在中，由勾股定理得，
．
15. 如图，在边长为4的正方形外有一点P，且是等边三角形，则的面积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】过点P作于点E，根据正方形和等边三角形的性质，得，，，勾股定理求出，再根据求出答案．
【详解】如图，过点P作于点E，
四边形是边长为4的正方形，
，，
是等边三角形，，
，，
在中，，
=
．
16. 透明盒子中有A，B，C，D四个圆形盖子，现在需要将它们全部取出，要求每次只能取一个，将第一个取出的盖子扣在桌面上，之后取出的盖子依次扣在前一个取出的盖子上面（不考虑盖子厚度）．每个盖子的直径如下表：
（1）当四个盖子被全部取出后，若没有一个盖子被罩住，则这四个盖子取出的先后顺序为_________；（将字母排序）
（2）当四个盖子被全部取出后，恰好有两个盖子被罩住的顺序组合有_________种．
（注：“一个盖子被‘罩住’，是指在它之上堆叠的盖子中，至少有一个的直径比它大。”）
【答案】 ①. ②. 11
【解析】
【分析】（1）没有一个盖子被罩住时，前一个盖子的直径大于后一个盖子的直径，由此可解；
（2）分D盖子第一、第二或第三个取出，分别列出所有可能的情况，即可求解．
【详解】（1）没有一个盖子被罩住，
前一个盖子的直径大于后一个盖子的直径，
故取出的先后顺序为；
（2）若最后取出的D盖子，则A，B，C三个盖子都能被罩住；
D盖子取出顺序不能是第四个，故可以为第一、第二或第三个．
①当第一个取出D盖子时，第二个无论取哪个盖子都不能罩住D盖子，因为有两个盖子被罩住，
故C盖子应该在最后取出，第二个和第三个无论是先取A还是先取B，这两个盖子都能被C罩住，
即有2种情况：；
②当第二个取出D盖子时，第一个盖子无论取哪个盖子，都能被D罩住，但第三个无论取哪个盖子都不能罩住D，
故需要满足第四个取出的盖子能罩住第三个取出的盖子，
故有3种情况：；
③当第三个取出D盖子时，前两次无论取哪两个盖子，都能被D罩住，
即有6种情况：．
综上所述，恰好有两个盖子被罩住的顺序共有（种）．
三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
【答案】9
【解析】
【分析】利用负整数指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值以及求一个数的绝对值法则计算即可．
【详解】解：
．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【详解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集为．
19. 已知：，求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的化简和整体代入求值．将分式分子分母因式分解后约分，完成化简，由得，整体代入求值即可．
【详解】解：原式
，
，
，
原式．
20. 如图，在中，点D在上，于点C，过点A作，的平行线，分别交，的延长线于点E，F．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先根据，，判定四边形是平行四边形，再结合， 得到一个内角为直角，根据 “有一个角是直角的平行四边形是矩形”，即可得证．
（2）利用平分和四边形是矩形，结合求出 的长度，即的长度，由平分和 推出，设，利用勾股定理在中建立方程，求解得到的长度．
【小问1详解】
证明：由题意易得，，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
【小问2详解】
解：平分，
，
四边形是矩形，
，，，
在中，，，
，
，
，
∴，
∴，
，
设，则，
在中，，
解得，
∴．
21. 在平面直角坐标系中，函数与交于点．
（1）求k，m的值；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）k的值为，m的值为2
（2）
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解；
（2）通过交点求出的值，然后利用图象进行求解．
【小问1详解】
解：将点代入，得，
点P的坐标为，
将点代入，
得，
解得，
k的值为，m的值为2；
【小问2详解】
解：由（1）得点P的坐标为，将点代入，
解得，
如图，
当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，
n的取值范围为．
22. 毛毡包因为实用美观，结实耐用，制作简单，广受欢迎．如图1，是一款形如长方体的毛毡包，其长、宽、高之比为，包带长为，宽为（包带缝合处忽略不计），该款毛毡包在制作时，要为需缝合走线的边预留宽距，包口四个边无需走线缝合，走线宽度不包含在包体的长宽高内．现有一块长比宽多的长方形毛毡料，因保存不当，部分受到污损，为了避免浪费，将未污损部分进行裁剪，恰好能制作一个上述尺寸的毛毡包，裁剪方式如图2（虚线为缝合时的走线位置），求该毛毡包的长、宽、高分别是多少？
【答案】该毛毡包的长、宽、高分别是
【解析】
【分析】先设这款毛毡包的长、宽、高分别是，再表示出长方形毛毡料的长和宽，并根据长等于宽加上28得出方程，求出解即可．
【详解】解：设这款毛毡包的长、宽、高分别是，
根据题意，得，，
解得．
，，．
答：该毛毡包的长、宽、高分别是．
23. 某校为探索美术创作能力培养模式，在八年级的两个班开展不同的美术教学模式，其中，一班仅开设常规美术课堂教学，二班则增设“校园写生+创意手工制作+美术作品展览”的趣味拓展活动．一学期结束后，为了了解两种美术教学模式的效果，学校对八年级一班和二班各40名学生的美术创作能力进行评分（满分10分，评分均为整数）．
数据收集与整理
一班和二班学生美术创作能力评分的数据整理如下表：
数据分析与运用
为了更深入地对比两种美术教学模式下学生美术创作能力的情况，学校对这两个班学生评分数据的众数、中位数、平均数、方差（方差保留3位小数）进行了整理，结果如下表：
（1）表中m的值为______，n的值为______；
（2）对于这次评分，成绩比较整齐的是______班（填“一”或“二”）；
（3）在第二学期，八年级一班的美术教学也增设了“校园写生+创意手工制作+美术作品展览”的趣味拓展活动，学期结束后再次对一班的美术创作能力进行评分（满分10分，评分均为整数），并对评分数据进行整理与分析，若已知全班同学评分的最低分为7分，最高分为10分，中位数为8.5分，众数为9分，若要使平均数尽可能大，则8分和10分的同学共有______人．
【答案】（1）8；8.35
（2）二 （3）19
【解析】
【分析】（1）根据众数和平均数的定义解答即可；
（2）比较方差大小即可；
（3）根据中位数、众数和平均数的定义列式解答即可．
【小问1详解】
解：一班和二班各40名学生，
一班得分为8分的人数为；
二班得分为8分的人数为；
一班得分为8分的人数为12，是出现次数最多的，
；
二班的平均分（分）；
【小问2详解】
解：，
一班成绩的方差大于二班成绩的方差，
二班的成绩比较整齐．
【小问3详解】
解：由题意知一班总人数为40，
中位数为8.5分，众数为9分，
将所有同学的成绩按从大到小（或从小到大）的顺序排列后，
第21，20（或20，21）名同学的成绩只能为8分和9分，
评分前7分和8分的总人数为20，评分为9分和10分的总人数为20，
又众数为9，若要使平均数尽可能大，则评分10分的学生人数应尽可能多，
评分为9分的人数为11，评分为10分的人数为9，则评分为7分和8分的人数均为10，
要使平均数尽可能大，则8分和10分的同学共有19人．
24. 如图，四边形内接于，是的中点，连接，．
（1）求证：；
（2）延长 ，交于点，过点作的切线交于点．若，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，得，由 D是的中点得，，最后由等式传递性即可得证．
（2）由 D是的中点得 ，结合直径所对圆周角为直角，在中用勾股定理算出的长度，利用垂径定理、切线性质，推出，进而证明 ，通过求出，再得到的长度,再由得 ，，列出关于的方程，求解出的长度．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
，
D是的中点，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图，补全图形，连接交于点，连接，
，，
，
，，
，
在中，，，
由勾股定理得，
由（1）知，
，
，，
，
DN是的切线，
，
，
，
，
又，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，解得．
25. 某路段路灯系统记录了当路灯开启后，经过t分钟后该路段的背景照度（自然光）和路灯照度（人工光）的相关数据，部分数据如下表：
（1）结合表中数据，当时，经过的时间为______分钟；
（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在下面的平面直角坐标系中，分别画与，与的函数图象；
（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
若规定“有效工作”需满足，则路灯从开启后，经过______分钟开始“有效工作”；
路灯启动时间可通过人为控制调整，在的条件下，将现在记录的路灯开启时间记为，有效工作开始的时间记为，为减少能耗需要延迟路灯开启时间，使得有效工作开始时间较推迟半小时，则路灯开启时间较应推迟______分钟（结果保留整数）．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）；
【解析】
【分析】（1）观察表格得出当时经过的时间；
（2）根据描点直接连线即可得解；
（3）画出关于的函数图象，得到时的值，即可得解；先确定新的有效工作开始时间，结合图象得到此时背景照度和路灯照度的值，再确定对应的时间，作差即可得到推迟时间．
根据图象，可知当时，，．
【小问1详解】
解：由表中数据可得经过分钟时，，，即．
【小问2详解】
解：画函数图象如图；
【小问3详解】
解：如图，画出关于的函数图象，经过分钟时，，，即，
根据图象，可知当时，，
路灯从开启后，经过分钟开始“有效工作”．
由题意得有效工作开始时间推迟半小时，即相较时间，经过分钟为有效工作开始时间，
如图，则此时背景照度约为，即路灯照度约为．
路灯开启后需经过约分钟路灯照度约为，
延迟后路灯开启时间约推迟了（分）．
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）若点在抛物线上，
①求a的值；
②过点且与y轴垂直的直线交抛物线于E，F两点，且点E为线段PF的中点，求t的值；
（2）点，是抛物线上的两点，且．若抛物线在点B，C之间的部分（含点B，C）上存在两点，（点M，N不重合），使得，求a的取值范围．
【答案】（1）①；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①把点代入计算即可；
②分、、三种情况讨论求解即可；
（2）求得对称轴为直线，再分当时，抛物线开口向上，当时，y随x的增大而减小；当时，抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；两种情况讨论求解即可．
【小问1详解】
解：①点在抛物线上，
，
；
②由①可得抛物线的解析式为，
当时，如图，点E不在线段PF上，故不成立；
当时，点E与点P重合，也不成立；
当时，如图，
点E为线段PF的中点，且，
可设，则，
，
解得或（舍去），
∴；
【小问2详解】
解：，
对称轴为直线，
（ⅰ）当时，抛物线开口向上，当时，y随x的增大而减小；
此时，，
点在对称轴左侧，
，
点在对称轴左侧，如图，
，
，
；
此时，抛物线在点B，C之间的部分（含点B，C）上不存在两点，，使得；（在对称轴同侧的两点之间的部分不可能存在纵坐标相等的情况．）
（ⅱ）当时，抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；
此时，，
点在对称轴右侧，
，
点在对称轴左侧，
如图，
点C关于对称轴的对称点在对称轴右侧，（关于抛物线对称轴对称的两点到对称轴的距离相等，且纵坐标相等．）
，
．（因为点和点B在对称轴同侧，故只需比较点和点B的横坐标．）
，
此时，抛物线在点B、C之间的部分（含点B、C）上存在两点，，使得；（当点B、C分别位于对称轴异侧时，在抛物线上点B、C之间的部分关于对称轴对称的对应点均满足．）
综上所述，a的取值范围为．
27. 已知，，点C在边上，P是边上一动点，且，连接，点E在线段上（不与端点重合），连接并延长，将射线绕点O逆时针旋转得到射线，并取射线上一点为F，连接交边于点D．
（1）依题意补全题图1；
（2）若，判断的形状，并证明；
（3）在（2）的条件下，若点E为线段的中点，探究与的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）为等边三角形，见解析
（3），见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意画出图形；
（2）根据旋转角度以及三角形的外角定理得出，即可得出结论；
（3）过点P作交射线于点G，证明及即可得出结论．
【小问1详解】
解：补全题图如解图；
【小问2详解】
解：为等边三角形；
证明如下：
由旋转的性质可知，
，
，
，
，
又，
为等边三角形；
【小问3详解】
解：如图，过点P作交射线于点G，
，，，
，
，
点E为线段的中点，
，
在和中，
，
，
，
由（2）可知为等边三角形，
，，
，，
，
，
∴，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
28. 对于平面内任意一点P，作点P关于直线的对称点和关于直线的对称点，连接，则称直线为点P关于和的“镜像线”．
（1）点关于x轴和y轴的“镜像线”的解析式为______；
（2）已知N是直线上的动点，当点N关于x轴和y轴的“镜像线”与直线平行时，求点N的坐标；
（3）如图，点位于第四象限，直线l的解析式为，记点A关于y轴和直线l的“镜像线”与直线l相交所得的较小的夹角为．若，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）点N的坐标为
（3）
【解析】
【分析】本题考查轴对称，一次函数综合和三角函数．
（1）先根据点关于轴、轴的对称规律，求出点关于两坐标轴的对称点​、​的坐标，设过两点的直线解析式为，将、​的坐标代入，解方程组求出和的值，得到直线解析式．
（2）先设直线上动点的坐标，再根据关于轴、轴对称的坐标规律，求出它的两个对称点​、​的坐标，通过计算​、的横纵坐标，发现两点关于原点对称，因此它们所在的 “镜像线” 必过原点， 根据 “镜像线与原直线平行”，设出镜像线解析式，再代入对称点坐标，求出参数，进而确定点的坐标．
（3）由两次轴对称，得到，说明点在以为圆心、为半径的圆上，再结合直线是的垂直平分线、圆周角定理，推导出，点 在第四象限，过作轴垂线，在中，用建立关系，根据时，列出不等式，解出的取值范围．
【小问1详解】
解：如图，点M关于x轴的对称点记为点，点M关于y轴的对称点记为，
则点关于x轴的对称点为，关于y轴的对称点为，
设所在直线的解析式为，
将，代入，得解得
所在直线的解析式为，
即点关于x轴和y轴的“镜像线”的解析式为．
【小问2详解】
解：N是直线上的动点，
设点N的坐标为，
记点N关于x轴的对称点为，关于y轴的对称点为，
点N关于x轴的对称点的坐标为，关于y轴的对称点的坐标为，
，，
点和点的横坐标、纵坐标均互为相反数，
点和点关于原点对称，
直线经过原点，即点N关于x轴和y轴的“镜像线”经过原点．
如图，
点N关于x轴和y轴的“镜像线”与直线平行，
直线的解析式为，
将点代入，
得，解得，
，
点N的坐标为；
【小问3详解】
解：如图，点A关于y轴的对称点记为点，点A关于直线l的对称点记为点，作直线，
则直线为点A关于y轴和直线l的“镜像线”，
记直线与直线l的交点为B，则，连接，
由对称性可得直线l为的垂直平分线，
直线，
．连接OA，，
点A，点关于y轴对称，由对称性可得，连接，
直线l的解析式为，
直线l经过原点O，
点A，点关于直线l对称，
，
，
点在以点O为圆心，以OA长为半径的圆上，记⊙O与y轴正半轴交于点C，
连接，，由圆周角定理可得，即，
得．连接，交y轴于点D，
，
，
．过点A作轴于点E，
，
，
，
∴无论k在0