【期末冲刺】解答题满分讲义 (15~18章 知识点梳理+典例) 2026年沪教版数学七年级下册

这是一份【期末冲刺】解答题满分讲义 (15~18章 知识点梳理+典例) 2026年沪教版数学七年级下册，共4页。学案主要包含了概念理解，初步认识，问题解决，综合与探究，操作发现，思考论证，拓展延伸，问题情境等内容，欢迎下载使用。

课程目标 · 精准把握学习方向
一元一次不等式（组） —— 掌握不等式的性质，能解不等式（组）并用数轴表示解集；能根据整数解个数、解集情况求参数范围；能建立不等式模型解决实际问题（费用、分配、得分等）。
相交线与平行线 —— 掌握三线八角，平行线的判定与性质，能添加辅助线（过拐点作平行线）解决复杂角度问题；理解新定义（如“t系数补角”），能进行角度计算与证明。
三角形 —— 掌握三角形三边关系、内角和定理、外角性质；理解中线、高线、角平分线、中位线的性质；能运用全等三角形的判定（SAS、ASA、SSS等）进行证明与计算；掌握“倍长中线法”构造全等求线段范围；能运用内外角平分线模型求角。
等腰三角形 —— 掌握等腰三角形的“等边对等角”、“三线合一”性质，等边三角形的判定与性质；能综合运用垂直平分线、全等、旋转等知识解决等腰三角形相关的证明与计算；会分类讨论等腰三角形的存在性问题。
核心思想 —— 数形结合、分类讨论、转化思想、方程思想、模型思想在解答题中的综合运用。
✨ 核心：不等式建模 · 平行线辅助线 · 全等构造 · 等腰分类与三线合一。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 一元一次不等式（组）
不等式性质： 两边加（减）同一个数（式）不等号方向不变；乘（除）同一个正数方向不变；乘（除）同一个负数方向改变。
解一元一次不等式： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1（注意负数变号）。
解集数轴表示： 空心圆圈表示不包括端点，实心圆点表示包括端点。
一元一次不等式组： 分别解每个不等式，取公共部分（口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了）。
含参数不等式组： 根据解集或整数解个数列不等式（组）求参数范围，注意端点取值（等号能否取到）。
实际应用： 利用不等关系建立不等式（组），注意实际问题中隐含条件（边长>0、人数为整数、总费用不超过等）。
☆ 相交线与平行线
对顶角、邻补角： 对顶角相等，邻补角互补。
三线八角： 同位角（F型）、内错角（Z型）、同旁内角（U型）。
平行线的判定： 同位角相等⇔两直线平行；内错角相等⇔两直线平行；同旁内角互补⇔两直线平行。
平行线的性质： 两直线平行⇔同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。
辅助线： 遇平行线间转折角，常过转折点作平行线（“猪蹄”模型），将角度转化到同一组平行线中。
光的反射问题： 入射角等于反射角，转化为角度相等模型，结合平行线求角度。
新定义角度关系： 如“t系数补角”：∠P+t∠Q=180°，可列方程求解。
☆ 三角形
三边关系： 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
内角和定理： ∠A+∠B+∠C=180°。
外角性质： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。
三角形中的重要线段： 中线（等分面积）、高线、角平分线、中位线（平行且等于第三边一半）。
全等三角形： 判定（SSS,SAS,ASA,AAS,HL），性质（对应边、角相等）。常用构造全等的方法：倍长中线、作垂线、截长补短等。
角平分线模型： 内角平分线夹角 ∠D=90°+12∠A；内角与外角平分线夹角 ∠D=12∠A。
中线取值范围： 利用倍长中线构造全等，利用三角形三边关系求中线范围。
☆ 等腰三角形
性质： 等边对等角；三线合一（顶角平分线、底边中线、底边高线重合）。
判定： 等角对等边；两腰相等。
等边三角形： 三边相等，三个角都是60°；三线合一；外心、内心、重心重合。
线段垂直平分线： 垂直平分线上的点到线段两端距离相等；逆定理：到两端距离相等的点在线段垂直平分线上。
等腰三角形存在性： 分类讨论腰和底，注意三角形三边关系；等边三角形外找点使与顶点构成等腰三角形，常利用垂直平分线作圆。
旋转构造： 以等腰三角形或等边三角形为基础，通过旋转60°构造全等，将分散条件集中。
☆ 知识总结表
核心模块 ·4大典型模块精讲
【模块一】一元一次不等式（组）（对应第1-6题）
※ 方法总结
解不等式组并用数轴表示解集，再写出整数解（题1）。
不等式组恰有一个解（即解集为单一数值）→ 解不等式后令两个端点相等，注意等号取舍（题2）。
利用不等式性质比较大小：不等式的可加性、乘法法则（同正、同负）（题3）。
实际问题列不等式组：根据单价、总价、数量关系建立方程（组）求单价，再列不等式求最值（题4）。
得分问题：设选对题数，列不等式求至少答对题数；二元一次方程组求单价；再根据总费用和数量限制列不等式组求购买方案（题5）。
分段计费（手机话费）：根据主叫时间分段计算费用；通过方程求时间；通过不等式比较两种方式的优劣（题6）。
1．利用数轴确定不等式组x+8≥2−x①3x＜x+2②的整数解．
2．当a为何值时，关于x的不等式组5x≤x−14+a3−2x6≥5−2x4恰有一个解？
3．在学习不等式性质后，小普和同学们尝试利用不等式性质比较大小：
问题一：设a＞b，c＞d，试比较a+c与b+d的大小．
以下是小普同学的解题方法，请将推理过程补充完整．
问题二：设a＞b＞0，c＜d＜0，参考小普同学的推理方法，试判断ac与bd的大小，并说明理由．
4．为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A、B两种型号的新型垃圾桶．已知B型号的新型垃圾桶的单价比A型号的新型垃圾桶单价贵40元，购买2个A型号的新型垃圾桶和购买3个B型号的新型垃圾桶共370元．社区需要购买A、B两种型号的新型垃圾桶共50个，且总费用不超过4000元．
（1）求A、B两种型号的新型垃圾桶的单价；
（2）社区最多能买几个B型号的新型垃圾桶？
5．根据下列表格信息，完成相应任务
6．下表中有两种手机通话计费方式：
（月使用费固定收：主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费，被叫免费）
（1）若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需 元，按方式二计费需 元；
（2）王华某月按方式二计费需100元，则王华该月主叫通话时间为 分钟；
（3）当月主叫通话t分钟满足什么条件时，选择方式一比方式二省钱．
【模块二】相交线与平行线（对应第7-13题）
※ 方法总结
相交线中对顶角、邻补角性质，结合角平分线、比例求角度（题7）。
平行线性质与角平分线综合：由AB∥CD得同旁内角互补，角平分线定义代入，利用三角形内角和证明垂直（题8）。
新定义“t系数补角”：设未知数，根据定义列方程求解；结合平行线性质进行角度转化（题9）。
“猪蹄”模型：过拐点作平行线，将∠BEC拆分为两个内错角之和，证明∠B+∠C=∠BEC（题10）。
命题改写与证明：先写成“如果…那么…”形式，再写出已知、求证，结合几何定理证明（题11）。
命题的逆命题：交换条件和结论得到逆命题（题12-13）。
7．如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE：∠COE＝2：3，OF平分∠BOE．
（1）如图1，如果AB⊥CD，求∠BOF的度数；
（2）如图2，如果∠BOF＝∠AOC+12°，则∠BOF的度数为 ．
8．如图，AB∥CD，BD平分∠ABC，CA平分∠BCD．试说明：AC⊥BD．下面是小明的解答过程，请补充完整．
解：∵AB∥CD（已知），
∴∠ABC+ ＝180°（ ）．
∵BD平分∠ABC，CA平分∠BCD（已知），
∴∠DBC=12∠ABC，∠ACB=12∠BCD（角平分线的定义）．
∴∠DBC+∠ACB=12（ ）（等式性质）．
即∠DBC+∠ACB＝ °．
∵∠DBC+∠ACB+∠BEC＝180°（ ），
∴∠BEC＝ （等式性质）．
∴AC⊥BD．
9．在平面内，对于∠P和∠Q，给出如下定义：若存在一个常数t（t＞0），使得∠P+t∠Q＝180°，则称∠Q是∠P的“t系数补角”．例如，∠P＝80°，∠Q＝20°，有∠P+5∠Q＝180°，则∠Q是∠P的“5系数补角”．
【概念理解】
（1）若∠P＝90°，在∠1＝60°，∠2＝45°，∠3＝30°中，∠P的“2系数补角”是 ；
【初步认识】
（2）在平面内，AB∥CD，点E为直线AB上一点，点F为直线CD上一点．如图1，点G为平面内一点，连接GE，GF，∠DFG＝40°，若∠BEG是∠EGF的“3系数补角”，求∠BEG的大小；
【问题解决】
（3）连接EF．点M、N为直线AB与直线CD间的动点（点M、N不在直线EF上），∠AEN=13∠AEM，∠CFN=13∠CFM，∠EMF是∠ENF的“2系数补角”，此时∠ENF的度数？
10．（1）问题发现：
如图1，直线AB∥CD，E是AB与CD之间的一点，连接BE、CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC．说明理由；
（2）解决问题：
如图2，AB∥DC，∠C＝120°，∠AEC＝80°，请求出∠A的度数．
11．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
（1）请将此命题改写成“如果，那么”的形式： ；
（2）请写出“已知”和“求证”，并证明过程．
12．把“等角的补角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是 ．
13．命题：“如果两个角是对顶角，那么它们相等．”的逆命题 ．
【模块三】三角形（对应第14-23题）
※ 方法总结
三角形三边关系：两边之差 < 第三边 < 两边之和；已知两边和第三边比例，可设参数表示，再根据三边关系求周长范围（题14）。
中线等分面积：三角形中线将三角形分成面积相等的两部分；利用面积法求高（题15）。
内外角平分线模型：∠E=12∠A（内角平分线与外角平分线夹角）；内角平分线夹角∠D=90°+12∠A；外角平分线夹角∠D=90°−12∠A（题16）。
角平分线与高线综合：利用三角形内角和、互余关系求角度（题17）。
动点问题中的角度关系：利用外角性质或内角和定理推导∠1、∠2与∠α的关系（题18）。
角平分线与三角形内角和：设未知数，利用角平分线定义及内角和列方程求角（题19）。
正多边形内角公式：n−2×180°n；全等三角形对应角相等，结合外角性质求角（题20）。
中点构造全等：已知中点，延长构造全等三角形（AAS或ASA），得边相等，再结合垂直证线段关系（题21）。
面积法求高、平行线分线段成比例、等腰三角形判定（题22）。
一线三等角全等模型：过等腰直角三角形直角顶点作直线，构造全等直角三角形，推导线段关系（题23）。
14．（1）已知在△ABC中，a＝12，b＝18，求第三边c的取值范围．
（2）已知在△ABC中，a＝7，b：c＝4：3，求这个三角形周长的取值范围．
15．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
（1）作图：在△BED中作出BD边上的高EF；BE边上的高DG；
（2）若△ABC的面积为40，BD＝5，则△BED中BD边上的高EF为多少？
16．已知，如图CE是△ABC的外角平分线，BE平分∠ABC，且BE、CE交于E点．
（1）求证：∠E=12∠A．
（2）请探究，在△ABC中，∠B、∠C内角平分线形成的∠D与∠A的关系？∠B、∠C外角平分线形成的∠D与∠A的关系？（直接写出结果）
17．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE是∠CAB的角平分线，交BD于点E，∠AED＝60°，∠CBA＝40°，求∠C的度数．
18．在△ABC中，∠A＝60°，点D、E分别是△ABC边AC、AB上的点，点P是一动点，设∠PDC＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）如图1，若点P在线段BC上，且∠α＝50°，求∠1+∠2的度数；
（2）若点P在线段BC延长线上，请分别写出图2，图3中，∠1、∠2与∠α之间的数量关系．
图2： ；图3： ．
19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点E．
（1）若∠C＝50°，∠BAC＝60°，求∠ADB的度数；
（2）若∠BED＝45°，求∠C的度数．
20．如图，点F、G分别在正五边形ABCDE的边BC、CD上，连结AF、BG相交于H，△ABF≌△BCG．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求∠AHG的度数．
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，且BE⊥AF．求证：
（1）FC＝AD；
（2）BC＝AB﹣AD．
22．已知：在△ABC中，AB＝6，AC＝5，∠A为锐角，△ABC的面积为9，点P为边AB上的动点，过点B作BD∥AC，交CP的延长线于点D，CE平分∠ACP交AB于点E．
（1）如图1，当CD⊥AB时，求PE的长？
（2）如图2，当点E为AB的中点时，请猜想并证明：线段AC、CD、DB的数量关系？
23．（1）如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，且有AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，猜想AD、BE与DE之间满足的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，过点A作AD⊥CE于点D，过点B作BE⊥CE于点E，AD＝11，BE＝5，则DE的长为 ．
（3）如图3，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．若BC＝28，AF＝19，求△ADG的面积．
【模块四】等腰三角形（对应第24-34题）
※ 方法总结
尺规作图：过一点作已知直线的垂线；点到直线距离（题24）。
等腰三角形性质与判定：利用等腰三角形底角相等、三线合一证明等边三角形或角度关系（题25-26）。
圆中半径相等证等腰：连接圆心与圆上点，得半径相等，结合已知线段相等证等腰（题27）。
垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到两端距离相等；利用30°角直角三角形边角关系证等边三角形（题28）。
全等三角形与等腰三角形综合：通过SAS证全等得边相等，再结合角度证等腰（题29-30）。
动点与等腰三角形存在性：分类讨论等腰三角形的腰和底，结合角度条件列方程求解（题31）。
旋转中的角平分线关系：利用三角板旋转，角平分线性质，列方程求时间（题32）。
角平分线与四边形内角和：构造全等证明线段相等（如截长补短法）（题33）。
倍长中线法：构造全等三角形，利用三角形三边关系求中线取值范围，再推广到等腰直角三角形中的中线问题（题34）。
24．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点，按下列语句画图．
（1）过点P画边OB的垂线，交OA于点C；
（2）过点P画△OPC的高PH；
（3）线段 的长度是点P到直线OA的距离．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边CA延长线上一点．
（1）尺规作图：过点D作DE⊥BC于点E，交AB于点F（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可直接画出草图，解答第（2）题）；
（2）在（1）得到的图中，若∠DAB＝60°，求证：△ADF是等边三角形．
26．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交BC于点D．点A与点E关于直线BC对称，连接BE，CE，延长AD交BE于点F．
（1）补全图形；
（2）求证：△BDF是等腰三角形；
（3）求证：AB+BD＝2AC．
27．在六年级时，我们学习了圆的相关知识，知道在同圆中半径都相等．如图，半圆所对的直径为BC，点O是圆心，点A在半圆外，AB，AC分别与半圆交于点D，E，且BD＝EC，求证：△ABC是等腰三角形．
28．如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，交边BC于点D，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD的延长线与边AC的延长线交于点E，且∠E＝30°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若BF＝2，求AE的长．
29．如图，已知△ABC，点D为BC边上一点，点E为△ABC外一点，连接AE交BC于点F，连接AD，DE，有∠B＝∠E＝40°，∠BAE＝60°，且∠ADC＝70°．
（1）求证：BD＝DE；
（2）若AB＝CD，求∠ACD的大小．
30．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE．
（1）求证：AB＝EC；
（2）若△ABC的周长为42cm，AC＝16cm，求DC的长．
31．如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D在AB边上运动（D不与A、B重合），连接CD．作∠CDE＝30°，DE交AC于点E．
（1）当DE∥BC时，△ACD的形状按角分类是 ；
（2）在点D的运动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED的度数；若不可以，请说明理由．
32．【综合与探究】数学活动课上，老师进行了如下操作：如图1，将三角尺COD的直角顶点O放在直线AB上，过点O作∠BOC平分线OE．
（1）【操作发现】“勤奋小组”通过画图度量，得到了如下数值：
请依据上表，写出∠AOC与∠DOE的数量关系 ；
（2）【思考论证】老师进一步提出了如下问题：当三角尺COD在直线AB上方绕顶点O旋转时（OD到达OB边时停止旋转），∠AOC与∠DOE是否还满足（1）中的数量关系，请说明理由；
（3）【拓展延伸】“创新小组”又提出如下问题：将图1中∠COD的边OC与OA重合的位置开始，绕顶点O顺时针旋转，旋转的速度为每秒9度，旋转时间t秒（0＜t＜20），OF为∠COD的角平分线，当∠EOF＝28°时，求t的值．
33．如图1和2，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．
（1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是
（2）问题解决：如图2，求证AD＝CD；
（3）问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC．
34．综合与实践
【问题情境】课外数学社团开展活动时，指导老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，D为BC边上的中点，试求中线AD长的取值范围．
【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明同学的方法思考：
（1）由已知条件和作辅助线，能得到△ADC≌△EDB，理由是 ．
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
（2）求中线AD长的取值范围．（直接写出答案）
【解决问题】
（3）老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形．∠ABC＝∠DBE＝90°，BF是△BEC的中线，若BF＝5，求AD的长．
课后巩固 · 针对性练习
巩固1 — 解不等式组，求负整数解（数形结合）。
巩固2 — 解不等式组，在数轴上表示解集，写整数解。
巩固3 — 解含参方程组，用含m代数式表示x,y，代入不等式求m的最大整数值。
巩固4 — 实际应用：搭建展位费用问题，列方程组求单价，再列不等式组求最多搭建数。
巩固5 — 采购问题：二元一次方程组求单价，再列不等式组求购买方案。
巩固6 — 平行线判定与性质：已知角相等，推平行，再证AB∥CD。
巩固7 — “猪蹄”模型的两种证明方法（过E作平行线或过B作平行线），拓展求角度。
巩固8 — 平行线性质与角平分线综合，结合垂直求角度。
巩固9 — 中点+平行证全等，推线段关系，勾股求边长。
巩固10 — 中点+倍长中线，证全等，推线段平行和相等，求中线范围。
巩固11 — 全等三角形判定（ASA）及线段和差（截长法）。
巩固12 — 等腰三角形中线与三线合一，利用外角性质求角度。
巩固13 — 等腰三角形边角关系，利用比例证全等，推线段相等。
巩固14 — 等腰三角形底边中点与高线、垂直平分线的综合运用。
巩固15 — “钻石三角形”新定义：过顶点和对边上一点的直线分割出两个等腰三角形，分类讨论角度。
? 复习建议 解答题重在逻辑推理与规范书写，几何题要善于构造辅助线（平行线、倍长中线、截长补短），不等式应用题需准确提取不等关系。建议每道题完成后总结所运用的核心知识点和数学思想，强化分类讨论和数形结合能力。
【作业1】解不等式组：4x−3(x−1)＜4x−12≤2x3，并写出所有负整数解．
【作业2】解不等式组：x+23≤12x+4＞0，将解集表示在数轴上，并写出不等式组的整数解．
【作业3】已知关于x、y的方程组x−y=m−1①x+y=−3m+7②，若方程组的解满足x﹣2y＜9，求m的最大整数值．
【作业4】据相关报道，2026年奉贤品牌大集会于近期在南桥举办，组委会计划搭建A，B两类特色展位，展示奉贤优质品牌与助农产品．
（1）若搭建2个A类展位和3个B类展位共需搭建费用1800元；搭建4个A类展位和1个B类展位共需搭建费用1600元．求A类展位和B两类展位的搭建费用单价各是多少？
（2）组委会计划搭建A，B两类展位共80个，其中A类展位的数量不超过B类展位数量的2倍．若总搭建预算资金不超过30000元，求组委会至多搭建多少个A类展位？
【作业5】某校为补充课间体育器材，计划采购沙包和篮球共90个．已知每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元．
（1）沙包和篮球的单价各是多少元？
（2）若采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的23，请问有几种购买方案？写出所有购买方案．
【作业6】如图，在四边形ABCD中，E、F分别是CD、AB延长线上的点，连接EF．分别交AD、BC于点G、H．若∠1＝∠2，∠A＝∠C．证明：AB∥CD．
【作业7】问题探究：
如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？
张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D．
李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D．
问题解答：
（1）填空：请按张山同学的思路，写出证明过程．
证明：过点E作EF∥AB
∴∠B＝∠ ，
∵EF∥AB，AB∥CD，
∴EF∥CD（ ），
∴∠ ＝∠DEF（ ），
∴∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D，
即∠BED＝∠B+∠D，
（2）请按李思同学的思路，写出证明过程；
证明：过点B作BF∥DE交CD的延长线于点G…
问题迁移：
（3）如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，请直接写出∠F的度数．
【作业8】如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：∠FAB＝∠BDC；
（2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数．
【作业9】如图在四边形ABCD中，AD∥BC．取CD中点P，联结AP，BP，若AP⊥BP．
（1）求证：AD+BC＝AB；
（2）若∠C＝90°，四边形ABCD面积为78，AB＝13，求CD的长．
【作业10】如图，在△ABC中，点D是边AB上一点，点E是边AC的中点，过C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）AB＝5，CF＝3，求BD的长．
【作业11】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，
（1）求∠AOE的度数；
（2）试说明：AC＝AE+CD．
【作业12】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且AE＝AD，∠BAD＝40°，求∠CDE的度数．
【作业13】如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D，E分别在边AB和AC上，连接BE，CD，交点为F，且AD=13AB，AE=13AC．
（1）求证：CD＝BE．
（2）求证：DF＝EF．
【作业14】如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，过点F作FG⊥BC于G点，并交AB于E点，试说明下列结论成立的理由．
（1）AD∥FG；
（2）点A在EF的垂直平分线上．
【作业15】经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”．
（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB，请说明△ABC是“钻石三角形”．
（2）如图2，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝60°，则Rt△ABC “钻石三角形”（填“是”或者“不是”）；若是，其“钻石分割线”必过顶点 （填A或B或C）．若不是，请说明理由．
（3）在△ABC中，∠BAC＝20°，若存在过点C的“钻石分割线”，使△ABC是“钻石三角形”，请直接写出满足条件的∠B的度数．
模块
核心内容
常用公式/结论
不等式（组）
性质、解法、整数解、参数范围、实际应用
同大取大，同小取小；乘除负数变号
相交线与平行线
同位角、内错角、同旁内角；平行线的判定与性质
平行线间距离处处相等；过拐点作平行线
三角形
三边关系、内角和、外角、全等判定、中线、高线
中线等分面积；中位线平行且等于第三边一半；倍长中线法
等腰三角形
等边对等角、三线合一、等边三角形性质、垂直平分线
底边上的高、中线、顶角平分线重合
综合应用
折叠、旋转、等边三角形内点、等腰存在性
分类讨论、构造全等、转化思想
因为a＞b，
所以a+c b+c．（填“＞”，“＝”，“＜”）
又因为c＞d，
所以b+c＞ ．
所以a+c＞b+d．
信息一
某校七年级举行了线上知识竞赛，竞赛共有30道题目，每道题目都给出了四个答案，其中只有一个答案正确，参赛者选对得4分，不选或选错扣2分，得分不低于78分者获奖
信息二
为奖励获奖同学，学校准备购买A，B两种文具作为奖品，已知购买1个A文具和4个B文具共需44元，购买2个A文具和3个B文具所花的钱一样多
信息三
学校计划用于本次活动的总费用（包括线上平台使用费和奖品费）不超过850元，其中支付线上平台使用费为180元，剩余的钱用于购买两种文具共60个，其中A文具大于45个
解决问题
任务一
小明是获奖者，他至少选对了多少道题？
任务二
求A文具和B文具的单价
任务三
该校共有哪几种购买方案
月使用费
主叫限定时间（分钟）
主叫超时费（元/分钟）
被叫
方式一
50
150
0.2
免费
方式二
80
350
0.25
免费
∠AOC
10°
24°
50°
66°
∠DOE
5°
12°
25°
33°