【期末冲刺】第18章 等腰三角形 培优复习讲义(新题速达)2026年沪教版数学七年级下册

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掌握 等边三角形的性质（三边相等，三角60°，三线合一）及判定（三边相等/三角相等/等腰+60°）。
理解 线段垂直平分线的性质与判定，能灵活运用解决最值问题（将军饮马）。
熟练 等腰三角形中的分类讨论（腰与底边、顶角与底角、中线分周长等）。
能综合运用 等腰三角形、等边三角形、垂直平分线知识解决几何综合题及动态问题。
体会 转化思想、方程思想、分类讨论思想在几何中的应用。
✨ 核心思想：等角对等边 · 三线合一 · 轴对称变换
课程目标 · 精准把握学习方向
知识梳理 · 核心知识点
☆ 等腰三角形的性质与判定
定义： 两边相等的三角形。相等的两边叫腰，第三边叫底边，两腰夹角为顶角，腰与底边的夹角为底角。
性质： ①等边对等角（两底角相等）；②三线合一（顶角平分线、底边中线、底边高线重合）；③轴对称图形（对称轴是顶角平分线所在直线）。
判定： ①定义法（两边相等）；②等角对等边（两角相等）；③三线合一逆定理（中线与高重合、角平分线与高重合等）。
分类讨论： 已知两边求第三边或周长时，需分清腰和底边，并验证三角形存在性（两边之和大于第三边）；已知一角求其它角时，需分该角为顶角或底角。
☆ 等边三角形的性质与判定
性质： 三边相等，三个角均为60°，每条边上的中线、高线、角平分线重合（三线合一），是轴对称图形（有三条对称轴），重心、内心、外心重合。
判定： ①三边相等；②三角相等（都60°）；③等腰三角形且有一个角为60°。
常见模型： 手拉手模型（两个共顶点的等边三角形）、含60°角的等腰三角形旋转。
☆ 线段垂直平分线
性质： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
判定： 到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三角形外心： 三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等。
将军饮马（最值问题）： 直线同侧两定点，在直线上找一点使距离和最小，作对称点连接即得。
☆ 等腰三角形中的常用辅助线与模型
角平分线+平行线→等腰三角形： 若 AD 平分 ∠BAC 且 DE∥AB，则 △ADE 为等腰三角形。
中线分周长问题： 一腰上的中线将三角形周长分成两部分，两部分之差等于腰与底边之差。
等边三角形中的旋转： 将等边三角形绕顶点旋转60°可得全等三角形，实现边角转移。
? 等腰三角形核心知识速查表
核心模块 ·4大典型模块精讲
【考点1】等腰三角形的性质（1-13题）
※方法总结
利用“等边对等角”进行角度计算，常结合三角形内角和、外角性质列方程。
利用“三线合一”证明垂直、中点、角平分线，尤其在等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线重合时，可快速得到线段相等或垂直。
等腰三角形中，一腰上的中线将周长分成两部分，两部分之差等于腰与底边之差，需分类讨论。
等腰三角形中，已知一个角，求其它角时需分顶角与底角两种情况。
在等腰三角形中，常通过作高或中线构造直角三角形，利用勾股定理求解边长。
1．（2026春•徐汇区校级期中）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，其中AE＝AF，GE＝GF，若∠BAC＝136°，则∠BAD的度数是（ ）
A．58°B．53°C．68°D．63°
【答案】C
【分析】利用全等得出全等三角形的对应角相等．
【解答】解：∵AE＝AF，GE＝GF，AG＝AG，
∴△AEG≌△AFG（SSS），
∴∠EAG＝∠FAG，
∵∠BAC＝136°，
∴∠BAD=12×136°＝68°，
故选：C．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
2．（2025秋•杨浦区校级月考）等腰三角形底边长为6厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长的差为2厘米，则它的腰长为（ ）
A．4厘米B．8厘米
C．4厘米或8厘米D．不确定
【答案】C
【分析】设等腰三角形的腰长为x厘米，腰上的中线长为a厘米，分别表示出分成的两个三角形的周长，根据周长之差为2厘米，从而得方程，即可求得x．
【解答】解：设等腰三角形的腰长为x厘米，腰上的中线长为a厘米，由题意得：|(x+12x+a)−(12x+a+6)|=2，
即|x﹣6|＝2，
∴x﹣6＝2或x﹣6＝﹣2，
解得x＝8或x＝4，
当x＝8时，该三角形的三边长分别为8厘米，8厘米，6厘米，
∵8+6＞8，
∴此时能构成三角形；
当x＝4时，该三角形的三边长分别为4厘米，4厘米，6厘米，
∵4+4＞6，
∴此时能构成三角形；
综上所述，等腰三角形的腰长为4厘米或8厘米，
故选：C．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形中线的定义，构成三角形的条件，熟练掌握以上知识点是关键．
3．（2025春•嘉定区期末）如果△ABC是等腰三角形，∠A＝50°，那么∠C的度数不可能是（ ）
A．50°B．65°C．75°D．80°
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的判定，有两个角相等的三角形是等腰三角形，分别求出每个角的度数，再进行判断即可．
【解答】解：A、∠A＝50°，∠C＝50°，可以构成等腰三角形，故∠C的度数可能是50°，不符合题意；
B、∠A＝50°，∠C＝65°，则∠B＝180°﹣50°﹣65°＝65°，可以构成等腰三角形，故∠C的度数可能是65°，不符合题意；
C、∠A＝50°，∠C＝75°，则∠B＝180°﹣50°﹣75°＝55°，不能构成等腰三角形，故∠C的度数不可能是75°，符合题意；
D、∠A＝50°，∠C＝80°，则∠B＝180°﹣50°﹣80°＝50°，可以构成等腰三角形，故∠C的度数可能是80°，不符合题意；．
故选：C．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质．根据已知条件解出三角形中的角是解题的关键．
4．（2025春•浦东新区期末）已知等腰三角形的周长为16，其底边长为a，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞0B．0＜a＜8C．0＜a＜16D．a＜16
【答案】B
【分析】根据已知易得：腰长为16−a2，然后根据三角形的三边关系可得16−a2+16−a2＞a16−a2−16−a2＜a，从而进行计算即可解答．
【解答】解：∵等腰三角形的周长为16，其底边长为a，
∴腰长为16−a2，
由题意得：16−a2+16−a2＞a16−a2−16−a2＜a，
解得：0＜a＜8，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解一元一次不等式组，三角形的三边关系，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5．（2025春•杨浦区校级月考）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化，当△ABC为等腰三角形时，AC的长为（ ）
A．4B．3C．3或4D．无法确定
【答案】B
【分析】分两种情况，由三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边即可解决问题．
【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，
∴AB＝AC或AC＝BC，
当AC＝BC＝4时，在△ACD中，2+2＝4，不构成三角形，
当AC＝AB＝3时．满足三角形三边关系，
∴AC＝3．
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟知三角形的三边关系是解题的关键．
6．（2025春•闵行区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABM＝∠CBN，MN＝BN，则∠MBC的度数为（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
【答案】D
【分析】设∠ABM＝∠CBN＝x，∠MBN＝y，可得∠ABC＝2x+y，根据MN＝BN，有∠BMN＝∠MBN＝y，故∠A＝∠BMN﹣∠ABM＝y﹣x，又AB＝AC，得∠C＝∠ABC＝2x+y，根据∠A+∠ABC+∠C＝180°，得（y﹣x）+（2x+y）+（2x+y）＝180°，即得x+y＝60°，故∠MBC＝60°．
【解答】解：设∠ABM＝∠CBN＝x，∠MBN＝y，
∴∠ABC＝2x+y，
∵MN＝BN，
∴∠BMN＝∠MBN＝y，
∴∠A＝∠BMN﹣∠ABM＝y﹣x，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝2x+y，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴（y﹣x）+（2x+y）+（2x+y）＝180°，
∴3x+3y＝180°，
∴x+y＝60°，
∴∠CBN+∠MBN＝60°，
即∠MBC＝60°，
故选：D．
【点评】本题考查等腰三角形性质及应用，解题的关键是用含x、y的式子表示相关角的大小，用三角形内角和列方程解决问题．
7．（2026春•青浦区校级期中）在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是边AB、AC的中点，CD和BE相交于点O．如果点O到边BC的距离为2，BC＝16，那么AB的长为 10 ．
【答案】10．
【分析】根据三角形中线的定义确定点O为△ABC的重心，利用等腰三角形三线合一的性质及重心的性质求出BC边上的高，再结合勾股定理求解即可．
【解答】解：如图，连接AO并延长交BC于点F，
∵D、E分别是边AB、AC的中点，
∴CD、BE是△ABC的中线，
∴点O是△ABC的重心，
∴AF是△ABC的中线，
∵AB＝AC，
∴AF⊥BC，BF=CF=12BC，
∵点O到边BC的距离为2，
∴OF＝2，
∴AO＝2OF＝4，
∴AF＝AO+OF＝4+2＝6，
∵BC＝16，
∴BF=12×16=8，
∴AB=AF2+BF2=62+82=10．
故答案为：10．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．
8．（2026春•徐汇区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，该三角形的面积为20，O是边BC上任意一点，OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，则OE+OF等于 5 ．
【答案】5．
【分析】根据△ABC的面积＝△ABO的面积+△AOC的面积，利用面积公式和已知条件，求出答案即可．
【解答】解：如图所示：连接AO，
∵S△AOB=12AB•OE，S△AOC=12AC•OF，AB＝AC＝8，S△ABC＝20＝S△AOB+S△AOC，
∴12AB•OE+12AC•OF＝20，
12×8OE+12×8OF＝20，
4OE+4OF＝20，
4（OE+OF）＝20，
OE+OF＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质．作出辅助线利用三角形的面积列方程是解题的关键．
9．（2025秋•浦东新区期中）如图是一个正方形，甲和乙分别是等腰三角形的两种不同的内接正方形，则图中甲的面积是乙的面积 98 .（填最简分数）
【答案】98．
【分析】通过设定等腰三角形的面积或边长，分别推导甲、乙两个内接正方形的面积与原三角形的关系，进而求出甲、乙的面积比．
【解答】解：将图形分割如图，
由图可知，等腰直角三角形1、2的面积都是小正方形乙的12，等腰直角三角形5的面积是小正方形乙的14，
设小正方形乙的面积为1，
则1+12+12+14=94，即大三角形的面积为94，
∴小正方形乙的面积占大三角形面积的49；
又∵等腰直角三角形3、4的面积都是小正方形甲的12，
∴小正方形甲的面积占大三角形面积的12，
则图中甲的面积是乙的面积的12：49=98．
故答案为：98．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，关键是等腰三角形性质的熟练掌握．
10．（2026春•上海校级月考）一个等腰三角形的三边长分别为7、3x﹣2、x+1，求x的值，并求这个等腰三角形三边的长．
【答案】x＝3，三边长为：7，7，4．
【分析】在没有明确给出腰和底边时，要注意和已知条件联系起来分情况讨论进而求解．分三种情况讨论．
【解答】解：根据题意，分三种情况讨论如下：
∴①当7＝3x﹣2时，解得：x＝3，
∴等腰三角形的三边分别为7，7，4，此时能组成三角形；
②当x+1＝3x﹣2时，解得：x=32，
∴等腰三角形的三边分别为7，52，52，此时不能组成三角形；
③当x+1＝7时，解得：x＝6，
∴等腰三角形的三边分别为7，16，7，此时不能组成三角形；
综上所述，x＝3，三角形三边长为7，7，4．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握该知识点是关键．
11．（2025春•上海校级期末）如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，且BE＝ED．
（1）求证：ED∥BC；
（2）当∠A＝70°，∠ADE＝30°时，求∠EDB的度数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由BD是∠ABC的平分线可知∠DBC＝∠EBD，由BE＝ED得∠EDB＝∠EBD，等量代换可得到一组内错角相等，则结论可证；
（2）由三角形内角和定理可推出∠AED＝80°，由平行的性质可知∠ABC＝∠AED＝80°，再利用角平分线和平行线的性质，可得∠DBC＝∠EDB＝40°．
【解答】（1）证明：∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBC＝∠EBD，
∵BE＝ED，
∴∠EDB＝∠EBD（等边对等角），
∴∠EDB＝∠CBD（等量代换），
∴ED∥BC（内错角相等，两直线平行）；
（2）解：∵∠A＝70°，∠ADE＝30°，
∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∵ED∥BC，
∴∠ABC＝∠AED＝80°且∠DBC＝∠EDB，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBC=∠EBD=12∠ABC=40°，
∴∠EDB＝∠DBC＝40°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
12．（2025春•徐汇区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D，E分别在边AB和AC上，连接BE，CD，交点为F，且AD=13AB，AE=13AC．
（1）求证：CD＝BE．
（2）求证：DF＝EF．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）根据等角对等边，得到AB＝AC，结合AD=13AB，AE=13AC，得到AD＝AE，通过△ACD≌△ABE（SAS），即可求解，
（2）由△ACD≌△ABE，得到∠ACD＝∠ABE，∠CFE＝∠BFD，结合BD＝CE，得到△BDF≌△CEF（AAS），即可求解，
本题考查了，等角对等边，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：全等三角形的性质与判定．
【解答】证明：（1）∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵AD=13AB，AE=13AC，
∴AD＝AE，
在△ACD和△ABE中，
AD=AE∠CAD=∠BAEAC=AB，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE；
（2）由（1）得△ACD≌△ABE，
∴∠ACD＝∠ABE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∵∠CFE＝∠BFD，
∴△BDF≌△CEF（AAS），
∴DF＝EF．
【点评】本题考查了，等角对等边，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：全等三角形的性质与判定．
13．（2025春•徐汇区校级月考）在△ABC中，AB＝AC．
（1）AD是BC上的高，AD＝AE．
①如图1，如果∠BAD＝20°，则∠EDC＝ 10 °；
②如图2，如果∠BAD＝50°，则∠EDC＝ 25 °．
（2）思考：通过以上两小题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示： ∠EDC=12∠BAD ．
（3）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．
【答案】（1）①10°；②25°；
（2）∠EDC=12∠BAD；
（3）仍成立，理由见解析．
【分析】（1）①等腰三角形三线合一，所以∠DAE＝20°，又因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝80°，所以∠EDC＝10°．
②同理，易证∠ADE＝65°，所以∠EDC＝25°．
（2）通过①②题的结论可知，∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC=12∠BAD）．
（3）由于AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED，根据已知，易证∠BAD+∠B＝2∠EDC+∠C，而B＝∠C，所以∠BAD＝2∠EDC．
【解答】解：（1）①在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAD＝20°，
∴∠BAD＝∠CAD＝20°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝80°，
∵AD是BC上的高，
∴∠EDC＝90°﹣∠ADE＝10°．
故答案为：10；
②∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAD＝50°，
∴∠BAD＝∠CAD＝50°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝65°，
∴∠EDC＝25°．
故答案为：25；
（2）∠EDC=12∠BAD．
故答案为：∠EDC=12∠BAD；
（3）仍成立，理由如下：
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠BAD+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝（∠EDC+∠C）+∠EDC
＝2∠EDC+∠C，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠BAD＝2∠EDC，即∠EDC=12∠BAD．
【点评】本题考查了等腰三角形三线合一这一性质，即等腰三角形底边上中线、高线以及顶角的平分线三线合一．得到角之间的关系是正确解答本题的关键．
【考点2】等腰三角形的判定（14-26题）
※方法总结
根据已知条件选择判定方法：两边相等（定义）、两角相等（等角对等边）、三线合一逆定理等。
常见模型：角平分线+平行线→等腰三角形；通过全等三角形证明两边相等。
动点问题中，利用等腰三角形存在性进行分类讨论，根据边或角相等列方程求解。
注意：等腰三角形存在性问题中，需验证三边能否构成三角形（两边之和大于第三边）。
14．（2025春•浦东新区校级月考）下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．AB＝3，AC＝3，BC＝4B．∠A：∠B：∠C＝3：4：4
C．∠B＝50°，∠C＝80°D．AB：AC：BC＝4：5：6
【答案】D
【分析】对于选项A，根据AB＝AC＝3即可对选项A进行判断；
对于选项B，根据∠A：∠B：∠C＝3：4：4，设∠A＝3α，∠B＝4α，∠C＝4α，则∠B＝∠C＝4α，由此可对选项B进行判断；
对于选项C，先利用三角形内角和定理求出∠A＝50°，则∠A＝∠B＝50°，由此可对选项C进行判断；
对于选项D，根据AB：AC：BC＝4：5：6，设AB＝4k，AC＝5k，BC＝6k，则AB≠AC≠BC，由此可对选项D进行判断；综上所述即可得出答案．
【解答】解：对于选项A，
∵AB＝3，AC＝3，BC＝4
∴AB＝AC，
∴选项A中的条件能判定△ABC是等腰三角形，
故选项A不符合题意；
对于选项B，
∵∠A：∠B：∠C＝3：4：4，
∴设∠A＝3α，∠B＝4α，∠C＝4α，
∴∠B＝∠C＝4α，
∴选项B中的条件能判定△ABC是等腰三角形，
故选项B不符合题意；
对于选项C，
∵∠B＝50°，∠C＝80°，
∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝50°，
∴∠A＝∠B＝50°，
∴△ABC是等腰三角形，
∴选项C中的条件能判定△ABC是等腰三角形，
故选项C不符合题意；
对于选项D，
∵AB：AC：BC＝4：5：6，
∴AB＝4k，AC＝5k，BC＝6k，
∴AB≠AC≠BC，
∴选项D中的条件不能判定△ABC是等腰三角形，
故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定，三角形的内角和定理是解决问题的关键．
15．（2025春•浦东新区校级期末）如图，△ABC中，BF、CF分别平分∠ABC和∠ACB，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：
①∠DFB＝∠DBF；
②△EFC为等腰三角形；
③△ADE的周长等于△BFC的周长；
④∠BFC=90°+12∠A．其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①②④D．①②③④
【答案】C
【分析】①根据平分线的性质、平行线的性质，借助于等量代换可求出∠DBF＝∠DFB；
②同理可得∠ECF＝∠EFC，则△EFC为等腰三角形；
③用特殊值法，当△ABC为等边三角形时，连接AF，根据等边三角形的性质，角平分线定义和等腰三角形的判定便可得出BF＝AF＝CF，进而得BF+CF＞AC，便可得出△ADE的周长不等于△BFC的周长；
④利用两次三角形的内角和，以及平分线的性质，进行等量代换，可求的∠BFC和∠BAC之间的关系式．
【解答】解：①∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABF＝∠CBF，
又∵DE∥BC，
∴∠CBF＝∠DFB，
∴∠DFB＝∠DBF，
故①正确；
②同理∠ECF＝∠EFC，
∴EF＝EC，
∴△EFC为等腰三角形，
故②正确；
③假设△ABC为等边三角形，则AB＝AB＝BC，如图，连接AF，
∵∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，
∴BD＝DF，EF＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+DF+EF+AE＝AD+BD+AE+EC＝AB+AC，
∵F是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，
∴第三条平分线必过其点，
即AF平分∠BAC，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠ABC＝60°，
∴∠FAB＝∠FBA＝∠FAC＝∠FCA＝30°，
∴FA＝FB＝FC，
∵FA+FC＞AC，
∴FB+FC＞AC，
∴FB+FC+BC＞BC+AC，
∴FB+FC+BC＞AB+AC，
即△BFC的周长＞△ADE的周长，
故③错误；
④在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°①，
在△BFC中，∠BFC+∠FBC+∠FCB＝180°，
即∠BFC+12∠ABC+12∠ACB＝180°②，
②×2﹣①得，∠BFC＝90°+12∠BAC，
故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质，以及三角形内角和定理解答，涉及面较广，需同学们仔细解答．尤其是第③小题在常规方法不能判断正误时，可采用的特殊值法进行判断，也即是举反例的方法．
16．（2026春•莱芜区期中）如图，点P是直线l上一点，线段AP与直线l的夹角为α（0°＜α≤90°），点C在直线l上，若以A，P，C为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点C共有（ ）
A．2个或4个B．3个或4个
C．4个D．2个或3个或4个
【答案】A
【分析】分别根据当α＝60°或120°或90°，当α为其他锐角与钝角时，得出即可．
【解答】解；如图1，当α＝60°或120°或90°时，
∴只有两个点符合要求，
如图2，当α为锐角与钝角时，
符合条件的点有4个，
分别是AC3＝AB，AB＝BC2，AC1＝BC，AB＝BC．
∴满足条件的点C共有：2个或4个．
故选：A．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，利用分类讨论得出是解题关键．
17．（2026春•梅江区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以3cm/s的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以2cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（ ）
A．2.5sB．3sC．3.5sD．4s
【答案】D
【分析】设运动的时间为x秒，则有BP＝3x，AQ＝2x，从而可求AP＝20﹣3x，由AP＝AQ，列方程，即可求解．
【解答】解：设运动的时间为x秒，则有
BP＝3x，AQ＝2x，
∴AP＝AB﹣BP
＝20﹣3x，
∵△APQ是以PQ为底的等腰三角形，
∴AP＝AQ，
∴20﹣3x＝2x，
整理得，5x＝20，
解得x＝4，
则当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是4秒，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，关键是相关判定定理的熟练掌握．
18．（2026春•平顶山月考）如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线交于点F，过F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，如果BD＝5，CE＝4．那么DE等于（ ）
A．1B．5C．9D．10
【答案】C
【分析】根据已知条件，可判断出△BDF和△CEF为等腰三角形，从而能够证明BD+CE＝DE即可解决．
【解答】解：∵BF、CF分别平分∠DBC、∠BCE，
∴∠DBF＝∠FBC，∠BCF＝∠ECF，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠BCF＝∠EFC，
∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，
∴DF＝BD，CE＝EF，
∵DF+EF＝DE，
∴BD+CE＝DE，
∵BD＝5，CE＝4，
∴DE＝9，
故选：C．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定，利用边角关系并结合等量代换来推导证明．
19．（2026春•禅城区期中）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD于点D．∠ABD＝∠A，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为 5 ．
【答案】5．
【分析】延长BD交AC于E，如图，利用CD平分∠ACB，BD⊥CD先判断△BCE为等腰三角形得到DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，再证明EA＝EB＝2，然后计算AE+CE即可．
【解答】解：延长BD交AC于E，如图，
∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，
∴△BCE为等腰三角形，
∴DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，
∵∠A＝∠ABD，
∴EA＝EB＝2，
∴AC＝AE+CE＝2+3＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．
20．（2026春•武侯区校级期中）如图，在△ABC中，BC＝5，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是 5 ．
【答案】5．
【分析】由BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，得∠ABP＝∠DBP，∠ACP＝∠ECP，根据平行线的性质得出∠ABP＝∠DPB，∠ACP＝∠EPC，从而有∠DBP＝∠DPB，∠ECP＝∠EPC，则BD＝PD，PE＝CE，然后代入求值即可．
【解答】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ACP＝∠ECP，∠ABP＝∠DBP，
∵PE∥AC，PD∥AB，
∴∠ACP＝∠EPC，∠ABP＝∠DPB，
∴∠DBP＝∠DPB，∠ECP＝∠EPC，
∴BD＝PD，PE＝CE，
∵BC＝5，
∴△PDE的周长为DE+PE+PD＝DE+CE+BD＝BC＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，掌握相关知识是解题的关键．
21．（2025秋•湖里区期末）如图，平板电脑立起来时，保护壳套与电脑会形成一个等腰△ABC，AB＝AC，使用时可根据观感调节平板电脑的倾斜度．在一次调节后∠ACD增大15°，则∠BAC 增大 （填“增大”或“减小”）的度数是 30° ．
【答案】增大，30°．
【分析】设调节前∠ACD＝x，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出变化前的∠BAC＝2x﹣180°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出变化后的∠BAC＝2x﹣150°，于是得到∠BAC增大的度数是2x﹣150°﹣（2x﹣180°）＝30°．
【解答】解：设调节前∠ACD＝x，
∴∠ACB＝180°﹣x，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝180°﹣x，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝2x﹣180°，
变化后∠ACD＝x+15°，
此时∠ACB＝180°﹣∠ACD＝165°﹣x，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝165°﹣x，
∴变化后∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝2x﹣150°，
∴∠BAC增大的度数是2x﹣150°﹣（2x﹣180°）＝30°．
故答案为：增大，30°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等．
22．（2025秋•厦门校级月考）如图，已知∠MON，在边ON上顺次取点P1，P3，P5⃯…，在边OM上顺次取点P2，P4，P6⃯…，使得OP1＝P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5⃯…，得到等腰△OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5…（1）若∠MON＝30°，可以得到的最后一个等腰三角形是 △P1P2P3 ；
（2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△P4P5P6，则∠MON的度数x的取值范围是 15°≤x＜18° ．
【答案】（1）△P1P2P3；（2）15°≤x＜18°．
【分析】（1）由OP1＝P1P2＝P2P3，得∠P1P2P3＝60°，于是∠OP2P3＝90°，故△P2P3P4不存在，得解；
（2）如图，运用等腰三角形两底角相等，三角形外角知识，得∠P6P4P5＝∠P4P6P5＝5x，∠NP5P6＝∠MON+∠P4P6P5＝6x，最后一个等腰三角形是△P4P5P6，则∠NP5P6＝6x≥90°且∠P6P4P5＝5x＜90°，解得，15°≤x＜18°．
【解答】解：（1）∵OP1＝P1P2＝P2P3，
∴∠OP2P1＝∠O＝30°，∠P2P1P3＝∠P2P3P1＝60°．
∴∠P1P2P3＝60°，
∴∠OP2P3＝90°．
∴△P2P3P4不存在．
∴得到的最后一个三角形为△P1P2P3；
故答案为：△P1P2P3；
（2）如图，∠MON＝x，∠P2P1P3＝∠P2P3P1＝2x，
∵OP1＝P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5＝..．
∴∠P3P2P4＝∠MON+∠P2P3P1＝3x；∠P3P4P2＝∠P3P2P4＝3x．
∴∠P4P5P3＝∠P4P3P5＝∠MON+∠P3P4P2＝4x．
∴∠P6P4P5＝∠MON+∠P4P5P3＝5x．
∴∠P6P4P5＝∠P4P6P5＝5x，
∴∠NP5P6＝∠MON+∠P4P6P5＝6x，
要得到的最后一个等腰三角形是△P4P5P6，则，
∠NP5P6＝6x≥90°且∠P6P4P5＝5x＜90°，
解得15°≤x＜18°．
【点评】本题考查等腰三角形性质，等腰三角形的判定，根据等腰三角形底角变化确定三角形形状变形是解题的关键．
23．（2026春•浦东新区校级期中）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交BC于点D．点A与点E关于直线BC对称，连接BE，CE，延长AD交BE于点F．
（1）补全图形；
（2）求证：△BDF是等腰三角形；
（3）求证：AB+BD＝2AC．
【答案】（1）补全图形见解答过程；
（2）证明见解答过程；
（3）证明见解答过程．
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）由AC＝BC，∠ACB＝90°，AD是∠CAB的平分线，可得∠CAD＝∠BAD＝22.5°，即得∠ADC＝∠BDF＝90°﹣22.5°＝67.5°，根据点A与点E关于直线BC对称，可得∠AFB＝90°﹣∠BAD＝67.5°，故∠BDF＝∠AFB，从而△BDF是等腰三角形；
（3）过D作DK⊥AB于K，证明△ACD≌△AKD（AAS），得AC＝AK，CD＝DK，又AC＝BC，∠ACB＝90°，可得△KBD是等腰直角三角形，BK＝DK，即知BK＝CD，而AB＝AK+BK，有AB＝AC+CD，故AB+BD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝AC+AC＝2AC．
【解答】（1）解：补全图形如下：
（2）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠CAD＝∠BAD＝22.5°，
∴∠ADC＝∠BDF＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∵点A与点E关于直线BC对称，
∴∠EBC＝∠CBA＝45°，
∴∠ABF＝90°，
∴∠AFB＝90°﹣∠BAD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠BDF＝∠AFB，
∴BF＝BD；
∴△BDF是等腰三角形；
（3）证明：过D作DK⊥AB于K，如图：
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠KAD，
∵DK⊥AB，
∴∠AKD＝90°＝∠ACD，
在△ACD和△AKD中，
∠ACD=∠AKD∠CAD=∠KADAD=AD，
∴△ACD≌△AKD（AAS），
∴AC＝AK，CD＝DK，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠KBD＝45°，
∴△KBD是等腰直角三角形，
∴BK＝DK，
∴BK＝CD，
∵AB＝AK+BK，
∴AB＝AC+CD，
∴AB+BD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝AC+AC＝2AC．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，角平分线等知识，解题的关键是掌握对称的性质，能熟练应用全等三角形的判定与性质定理．
24．（2025秋•庐阳区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△ECF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．
（2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△ECF中
BE=CF∠ABC=∠ACBBD=CE，
∴△DBE≌△ECF（SAS），
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B=12（180°﹣40°）＝70°
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题．
25．（2025春•长宁区期末）定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”．
已知在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上．
（1）如图1，如果BD＝BC，求证：BD是△ABC的“等角分割线”；
（2）如图2，如果BD⊥AC，且BD是△ABC的“等角分割线”，求∠C的度数；
（3）BD是△ABC的“等角分割线”，∠BAC的平分线交BD于点F．如果DF＝DC，那么∠BAC的度数为 45°或180°7 ．
【答案】（1）详见解析；
（2）67.5°；
（3）45°或180°7．
【分析】（1）由等边对等角得到∠ABC＝∠C，∠BDC＝∠C，则∠ABC＝∠BDC，再由三角形的外角性质即可求证；
（2）先由等腰三角形性质以及三角形内角和定理得到∠A＝180°﹣2∠C，再由外角性质得到∠ABD＝2∠C﹣90°，∠DBC＝90°﹣∠C，然后再分类讨论即可；
（3）分两种情况讨论，当∠DBC＝∠BAC时，由三线合一得到AE⊥BC，BE＝CE，设∠BAE＝∠CAE＝x，则∠DBC＝∠BAC＝2x，可得AE垂直平分BC，则∠DBC＝∠FCB＝2x，然后根据外角性质表示出∠DFC＝∠DCF＝4x再由三角形内角和定理得到∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°；当∠ABD＝∠BAC时，设∠BAE＝∠CAE＝x，则∠ABD＝∠BAC＝2x，则∠FDC＝∠BAC+∠ABD＝4x，由△ABF≌△ACF（SAS），以及等腰三角形性质得到∠DFC＝∠DCF＝2x，在△DFC中由三角形内角和定理建立方程求解．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C，
∴∠ABC＝∠BDC，
∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠ABD+∠DBC＝∠A+∠ABD，
∴∠A＝∠DBC，
∴BD是△ABC的“等角分割线”；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣2∠C，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，∠BDA＝90°，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∠BDA＝∠DBC+∠C，
∴∠ABD＝2∠C﹣90°，∠DBC＝90°﹣∠C，
∵BD是△ABC的“等角分割线”，
∴①∠A＝∠ABD，180°﹣2∠C＝2∠C﹣90°，
解得：∠C＝67.5°；
②∠A＝∠DBC，180°﹣2∠C＝90°﹣∠C，
解得：∠C＝90°（舍去），
综上：∠C＝67.5°；
（3）解：记∠BAC的平分线与BC交于点E，
①当∠DBC＝∠BAC时，
∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，∠BAE＝∠CAE，BE＝CE（等腰三角形三线合一），
设∠BAE＝∠CAE＝x，则∠DBC＝∠BAC＝2x
∵AE⊥BC，BE＝CE，
∴AE垂直平分BC，
∴FB＝FC，
∴∠DBC＝∠FCB＝2x，
∴∠DFC＝∠FBC+∠FCB＝2x+2x＝4x，
∵DF＝DC，
∴∠DFC＝∠DCF＝4x，
∴∠ACE＝∠DCF+∠FCB＝4x+2x＝6x，
∵AE⊥BC，
∴∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，
∴x+6x+90°＝180°，
解得：x=90°7，
∴∠BAC=2×90°7=180°7；
②当∠ABD＝∠BAC时，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE（角平分线的定义），
设∠BAE＝∠CAE＝x，则∠ABD＝∠BAC＝2x，
∴∠FDC＝∠BAC+∠ABD＝4x，
在△ABF和△ACF中，
AB=AC∠BAE=∠CAEAF=AF，
∴△ABF≌△ACF（SAS），
∴∠ACF＝∠ABD＝2x，
∵DF＝DC，
∴∠DFC＝∠DCF＝2x，
∵∠FDC+∠DFC+∠DCF＝180°，
∴4x+2x+2x＝180°，
解得：x＝22.5°，
∴∠BAC＝2×22.5°＝45°，
综上：∠BAC的度数为45°或180°7，
故答案为：45°或180°7．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理等知识点．
26．（2025春•松江区校级期末）如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F．
（1）证明：BA＝BC；
（2）求证：△AFC为等腰三角形．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答．
【分析】（1）利用AAS证明△ABD≌△CBE可证得答案；
（2）由（1）易得∠BAC＝∠BCA，进而可求解∠FAC＝∠FCA，即可证明结论．
【解答】证明：（1）在△ABD和△CBE中，
∠BAD=∠BCE∠B=∠BBD=BE，
∴△ABD≌△CBE（AAS），
∴BA＝BC；
（2）∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BAD＝∠BCE，
∴∠FAC＝∠FCA，
∴FA＝FC，
∴△AFC为等腰三角形．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，通过△ABD≌△CBE是解题的关键．
【考点3】等边三角形（27-39题）
※方法总结
等边三角形具有等腰三角形的所有性质，且每个角60°，每条边上的高、中线、角平分线重合。
判定等边三角形：三边相等、三角相等、等腰三角形+60°。
等边三角形中常通过旋转60°构造全等，实现边角转移（手拉手模型）。
等边三角形与动点问题结合时，利用速度、时间表示边长，根据等边三角形边相等列方程。
27．（2025春•杨浦区校级月考）如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC，BF＝BD，则∠CDF的度数是（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【答案】B
【分析】先由三线合一定理和垂直的定义得到∠CBD=12∠ABC=30°，∠BDC=90°，再由等边对等角和三角形内角和定理求出∠BDF＝75°，则∠CDF＝∠BDC﹣∠BDF＝15°．
【解答】解：由条件可知∠CBD=12∠ABC=30°，∠BDC=90°，
∴∠BDF=∠BFD=180°−∠DBF2=75°，
∴∠CDF＝∠BDC﹣∠BDF＝15°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是关键．
28．（2025春•徐汇区校级期末）下列条件中，不能判定△ABC是等边三角形的是（ ）
A．AB＝AC，∠B＝60°B．AB＝AC，∠A＝∠B
C．∠A＝∠B＝60°D．∠A+∠B＝2∠C
【答案】D
【分析】对于选项A，根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形即可对选项A进行判断；
对于选项B，根据AB＝AC得∠B＝∠C，进而得∠A＝∠B＝∠C，由此即可对选项B进行判断；
对于选项C，根据两个角都等于60°的三角形是等边三角形即可对选项C进行判断；
对于选项D，根据∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝2∠C得∠C＝60°，但是根据已知条件无法判定∠A＝60°（或∠B＝60°），因此无法判定△ABC是等边三角形，综上所述即可得出结论．
【解答】解：对于选项A，
∵AB＝AC，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
故选项A能判定△ABC是等边三角形，不合题意；
对于选项B，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∴△ABC是等边三角形，
故选项B能判定△ABC是等边三角形，不合题意；
对于选项C，
∵∠A＝∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
故选项C能判定△ABC是等边三角形，不合题意；
对于选项D，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝2∠C，
∴2∠C+∠C＝180°，
∴∠C＝60°，
根据已知条件无法判定∠A＝60°（或∠B＝60°），因此无法判定△ABC是等边三角形，
故选项D符合题意．
故选D．
【点评】此题主要考查了等边三角形的判定，三角形的内角和定理，熟练掌握等边三角形的判定，三角形的内角和定理是解决问题的关键．
29．（2025春•徐汇区校级月考）下列说法中，正确的有（ ）个．
①有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形；
②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；
③三个外角都相等的三角形是等边三角形；
④有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；
⑤△ABC的三边为a，b，c，满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，则这个三角形是等边三角形．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由等边三角形的判定方法，即可判断．
【解答】解：①有一个外角为120°的等腰三角形的一个内角是60°，判定这样的等腰三角形是等边三角形，故①符合题意；
②任何等腰三角形的两个底角的外角相等，因此这样的等腰三角形不一定是等边三角形，故②不符合题意；
③三个外角都相等的三角形，其三个内角相等，判定这样的三角形是等边三角形，故③符合题意；
④等腰三角形底边的高也是这边上的中线，这样的等腰三角形不一定是等边三角形，故④不符合题意；
⑤△ABC的三边为a，b，c，满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，那么a﹣b＝0或b﹣c＝0或c﹣a＝0，因此a＝b或b＝c或c＝a，则这个三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，故⑤不符合题意，
∴说法正确的有2个．
故选：B．
【点评】本题考查等边三角形的判定，等腰三角形的性质，关键是掌握等边三角形的判定方法．
30．（2026春•上海期中）如图，甲、乙、丙三人分别沿图中所示的路线从A地运动到B地，他们所走的路程分别记为l甲，l乙，l丙．对于l甲，l乙，l丙，它们之间的关系正确的是（ ）
A．l甲＞l乙＞l丙B．l乙＞l甲＞l丙
C．l丙＞l甲＝l乙D．l甲＝l乙＞l丙
【答案】D
【分析】根据等边三角形的性质，以及三角形的三边关系进行计算，即可解答．
【解答】解：设AB＝a，
对于图甲：
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝AB＝a，
∴l甲＝AC+BC＝2a；
对于图乙：
∵△ADE和△EFB都是等边三角形，
∴AD＝DE＝AE，EF＝EB＝BF，
∴l乙＝AD+DE+EF+FB
＝2AE+2BE
＝2AB
＝2a；
对于图丙：延长AG和BH交于点P，则△ABP是等边三角形，
∴AP＝BP＝AB＝a，
∵GH＜PG+PH，
∴AG+GH+BH＜AG+PG+PH+BH，
∴AG+GH+BH＜AP+BP，
∴l丙＜2a，
∴对于l甲，l乙，l丙，它们之间的关系是l甲＝l乙＞l丙，
故选：D．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，三角形三边关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
31．（2025春•杨浦区校级月考）如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论不正确的是（ ）
A．AD⊥BCB．EF＝FDC．BE＝BDD．AE＝AC
【答案】D
【分析】根据等腰三角形三线合一，即可一一判断．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，△AED是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，AE＝AD＝ED，∠EAD＝60°，
∴∠DAB＝∠DAC＝30°，
∴AD⊥BC，故①正确，∠EAB＝∠BAD＝30°，
∴AB⊥ED，EF＝DF，故②正确
∴BE＝BD，故③正确，
无法得出AC＝AE，故④错误；
故选：D．
【点评】本题考查等边三角形的性质，解题的关键是灵活应用等腰三角形的三线合一的性质解决问题，属于中考基础题．
32．（2026春•虹口区校级期中）等边△ABC的边长为30cm，分别以点A、B、C为圆心，30cm为半径画弧，则弧AB、弧AC、弧BC围成的图形就是“圆弧三角形”．“圆弧三角形”上有一个直径为10cm的圆O．“圆弧三角形”保持不动，圆O从A点出发紧贴“圆弧三角形”的外侧滚动，则其至少要滚动 4 圈能回到原处．
【答案】4．
【分析】首先根据弧长公式计算“圆弧三角形”周长，再根据圆O在圆弧三角形顶点的自转情况得到圆O在顶点处的转弯路径的长度，最后计算圆O自身周长以及滚动圈数．
【解答】解：∵“圆弧三角形”由半径为30cm、圆心角60°的圆弧构成，
∴每段弧长为：30×60π180=10π(cm)，
∴3×10π＝30π（cm），即总周长30πcm，
∵圆O在每个顶点处绕外侧转弯，等边三角形内角60°，外侧转向角为180°﹣60°＝120°，圆O的半径为102=5(cm)，
∴每顶点处转弯弧长为：5×120π180=10π3(cm)，
∴三个顶点总转弯弧长为：3×10π3=10π(cm)，
∴圆O总的滚动路程为：30π+10π＝40π（cm），
∵圆O直径为10cm，
∴圆O周长为：10πcm，
∴40π10π=4（圈），即滚动圈数为4圈，
故答案为：4．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，关键是等边三角形性质的熟练掌握．
33．（2026春•浦东新区校级期中）如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN；④∠DAE＝∠DBC．其中正确的有 ①②④ （填番号）
【答案】①②④
【分析】由已知条件，得到线段相等，角相等，可得到三角形全等，利用三角形全等求对应边，对应角相等求得其它结论．
【解答】解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，BC＝CE，∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△DCB，A，C，B三点不共线时①正确
A，C，B三点共线时①也成立，由①得∠AEC＝∠CBD，∴△BCN≌△ECM，∴CM＝CN，②正确
假使AC＝DN，即CD＝CN，△CDN为等边三角形，∠CDB＝60°，
又∵∠ACD＝∠CDB+∠DBC＝60°，∴假设不成立，③错误；
∵∠DBC+∠CDB＝60°，∠DAE+∠EAC＝60°，而∠EAC＝∠CDB，∴∠DAE＝∠DBC，④正确，
∴A，C，B共线时①②④正确
∴正确的有①②④
【点评】本题考查了等边三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质．能够用全等求解边相等，角相等．
34．（2025春•虹口区校级期中）如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝AB，过点C作 CE∥AB且CE＝BC，若∠B＝60°，∠D＝22°，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G，则∠AFG＝ 76° ．
【答案】76°．
【分析】利用全等三角形的性质定理可得∠ECD＝∠B＝60°，∠A＝∠D＝22°，由平行线的性质定理易得∠ACE＝∠A＝22°，由三角形的内角和定理和外角的性质可得结果．
【解答】证明：∵CE∥AB，
∴∠B＝∠DCE，
在△ABC与△DCE中，
BC=CE∠B=∠DCEAB=CD，
∴△ABC≌△DCE（SAS），
∵∠B＝60°，∠D＝22°，
∴∠ECD＝∠B＝60°，∠A＝∠D＝22°，
∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠A＝22°，
∵∠CED＝180°﹣∠D﹣∠ECD＝180°﹣22°﹣60°＝98°，
∴∠AFG＝∠DFC＝∠CED﹣∠ACE＝98°﹣22°＝76°．
故答案为：76°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定定理及性质定理，平行线的性质定理，外角的性质等，熟记定理是解答此题的关键．
35．（2025春•浦东新区期末）如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3⋯在射线OM上，点B1、B2、B3⋯在射线ON上，且△A1A2B1、△A2A3B2、△A3A4B3⋯为等边三角形，若OA1＝1，则△A6A7B6的周长为 96 ．
【答案】96．
【分析】利用等边三角形的性质和几何关系，证得A2为OA3的中点，A3为OA4的中点，⋯，从而求得各等边三角形的边长，进而求得△A6A7B6周长．
【解答】解：∵∠MON＝30°，∠A1A2B1＝60°，
∴∠OB1A2＝90°，
∴A2B1＝A1A2=12OA2=12（OA1+A1A2），
∴A1A2＝OA1＝1．
∴A1为OA2的中点．
同理可证，A2为OA3的中点，A3为OA4的中点，⋯
∴A2A3＝2，A3A4＝4，A4A5＝8，⋯
∴A6A7＝32，
∴△A6A7B6的周长为3A6A7＝3×32＝96．
故答案为：96．
【点评】本题通过求解三角形的周长，考查了等边三角形的性质．
36．（2024春•上海期末）如图，点B是线段AE上一点，AB＝3BE，△ABC与△BDE都是等边三角形，联结AD、CE交于点P，过点B作BG⊥AD，BH⊥CE，垂足为G、H，联结GH，如果△ABC的面积是S，AD的长是a，那么GH＝ 2S3a ．（用含字母S和a的代数式表示）
【答案】2S3a．
【分析】先求出∠CBD＝60°，进而得∠ABD＝∠CBE＝120°，由此可依据“SAS”判定△ABD和△CBE全等得∠BAD＝∠BCE，AD＝CE＝a，再证明△ABG和△CBH全等得BG＝BH，∠ABG＝∠CBH，进而可得∠CBG＝∠DBH，由此得∠GBH＝60°，则△BGH为等边三角形，S△CBE=12CE•BH=12a•GH，然后根据AB＝3BE得S△ABC＝3S△CBE，即S=3×12a⋅GH，由此即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴AB＝CB，∠ABC＝60°，BD＝BE，∠DBE＝60°，
∴∠CBD＝180°﹣∠ABC﹣∠DBE＝60°，
∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝120°，∠CBE＝∠CBD+∠DBE＝120°，
即∠ABD＝∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
AB=CB∠ABD=∠CBEBD=BE，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠BAD＝∠BCE，AD＝CE＝a，
∵BG⊥AD，BH⊥CE，
∴∠AGB＝∠CHB＝90°，
在△ABG和△CBH中，
∠AGB=∠CHB=90°BAD=∠BCEAB=CB，
∴△ABG≌△CBH（AAS），
∴BG＝BH，∠ABG＝∠CBH，
∴∠ABC+∠CBG＝∠CBD+∠DBH，
∵∠ABC＝∠CBD＝60°，
∴∠CBG＝∠DBH，
∴∠GBH＝∠GBD+∠DBH＝∠GBD+∠CBG＝∠CBD＝60°，
∴△BGH为等边三角形，
∴GH＝BH＝BG，
∴S△CBE=12CE•BH=12a•GH，
∵AB＝3BE，△ABC的面积是S，
∴S△ABC＝3S△CBE，
即S=3×12a⋅GH，
∴GH=2S3a．
故答案为：2S3a．
【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，列代数式，理解等边三角形的判定和性质，利用三角形的面积公式列出代数式是解决问题的关键，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的难点．
37．（2026春•雁塔区校级期中）如图，△ABC的三边相等，三个内角也相等，点D、E分别是△ABC的边CB、BA的延长线上一点，且BD＝AE，连接CE，连接DA并延长交CE于点F．
（1）试说明：AD＝CE；
（2）求∠CFA的度数．
【答案】（1）证明：∵△ABC的三边相等，三个内角也相等，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=13×180°=60°，AB=AC=BC，
∴∠CAE＝∠ABD＝180°﹣60°＝120°，
在△ABD和△CAE中，
AB=AC∠EAC=∠ABDBD=AE，
∴△ABD≌△CAE（SAS）；
∴AD＝CE；
（2）60°．
【分析】（1）根据题意结合三角形内角和定理可得∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，根据邻补角的性质可得∠CAE＝∠ABD，即可证明△ABD≌△CAE，则AD＝CE；
（2）根据全等三角形的性质可得∠E＝∠D，再根据对顶角相等可得∠EAF＝∠DAB，由三角形内角和可得∠AFE＝∠ABD＝120°，根据邻补角互补可得∠CFA的度数．
【解答】（1）证明：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=13×180°=60°，AB=AC=BC，
∴∠CAE＝∠ABD＝180°﹣60°＝120°，
在△ABD和△CAE中，
AB=AC∠EAC=∠ABDBD=AE，
∴△ABD≌△CAE（SAS）；
∴AD＝CE；
（2）解：∵△ABD≌△CAE，
∴∠E＝∠D，
∵∠EAF＝∠DAB，∠E+∠EAF+∠AFE＝∠D+∠DAB+∠ABD＝180°，
∴∠CFA＝180°﹣∠AFE＝60°．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键．
38．（2025秋•太和县校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝AC，D是BC边上动点（不与B，C重合），点E在AC边上，连接AD，DE，AD＝AE，AF平分∠BAD．
（1）当△AEF为等边三角形时，求∠EDC的度数；
（2）探究∠BAF与∠EDC之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）30°；
（2）∠BAF＝∠EDC，设∠EDC＝x，则∠AED＝45°+x，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝45°+x，
∴∠DAE＝180°﹣2（45°+x）＝90°﹣2x，
∴∠BAD＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=12∠BAD=x（角平分线的定义），
∴∠BAF＝∠EDC．
【分析】（1）等边三角形的性质，得到∠EAF＝60°，角的和差关系得到∠BAF＝30°，角平分线的定义，推出∠DAE＝30°，等边对等角，求出∠C，∠AED的度数，再利用三角形的外角的性质，进行求解即可；
（2）设∠EDC＝x，三角形的外角得到∠AED＝45°+x，等边对等角，求出∠DAE的度数，再根据角的和差关系，角平分线的定义求出∠BAF的度数，即可．
【解答】解：（1）∵△AEF为等边三角形，
∴∠EAF＝60°，
∵AF平分∠BAD，∠BAC＝90°，
∴∠FAD＝∠BAF＝∠BAC﹣∠EAF＝30°，
∴∠DAE＝30°，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠C=12(180°−∠BAC)=45°，∠AED=12(180°−∠DAE)=75°，
∵∠AED＝∠EDC+∠C，
∴∠EDC＝30°；
（2）∠BAF＝∠EDC．
设∠EDC＝x，则∠AED＝45°+x，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝45°+x，
∴∠DAE＝180°﹣2（45°+x）＝90°﹣2x，
∴∠BAD＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=12∠BAD=x（角平分线的定义），
∴∠BAF＝∠EDC．
【点评】本题考查等边三角形的性质，等边对等角，三角形的外角等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
39．（2026春•梅州月考）如图，△ABC是边长是16cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，其中点P运动的速度是3cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）在点P与点Q的运动过程中，当t为何值时，△BPQ是等边三角形？
（2）在点P与点Q的运动过程中，当t为何值时，∠BQP是直角？
【答案】（1）165；
（2）t=167．
【分析】（1）由等边三角形的性质列方程即可求解；
（2）结合∠BQP是直角，由直角三角形的性质列方程即可求解．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
根据题意得AP＝3tcm，BQ＝2tcm，
∴BP＝（16﹣3t）cm，
∴∠B＝60°．
∴BP＝BQ时，△BPQ为等边三角形，
∴16﹣3t＝2t，
解得t=165；
（2）根据题意得AP＝3tcm，BQ＝2tcm，
∴BP＝（16﹣3t）cm，
∵∠PBQ＝60°，∠BQP＝90°，
∴∠BPQ＝30°，
∴BQ=12BP，
即2t=12(16−3t)，
解得t=167；
当t=167时，∠BQP是直角．
【点评】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握含30°的直角三角形的性质是解题关键．
【考点4】线段垂直平分线（40-51题）
※方法总结
线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，可用来证明线段相等或求边长。
利用垂直平分线可构造等腰三角形，进而得到角相等。
将军饮马（最值问题）：作定点关于直线的对称点，连接对称点与另一动点，与直线交点即为所求，最小值为线段长。
尺规作图：作一条线段的垂直平分线，依据是SSS全等。
三角形外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等。
40．（2026春•浦东新区校级期中）如图，△ABC中，∠B＝30°，∠BCA＝70°，请依据尺规作图的作图痕迹，计算∠α＝（ ）
A．30°B．70°C．80°D．100°
【答案】C
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠BCA＝80°，由作法可知，AD是∠BAC的平分线，得到∠CAD=12∠BAC=40°，由作法可知，EF 是线段BC的垂直平分线，得到∠B＝∠FCB＝30°，再由三角形外角定理即可得出结果．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠BCA＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠BCA＝80°．
由作法可知，AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=12∠BAC=40°，
由作法可知，EF 是线段BC的垂直平分线，
∴BF＝CF，
∴∠B＝∠FCB＝30°，
∵∠ACF＝∠ACB﹣∠BCF＝70°﹣30°＝40°，
∴∠α＝∠CAD+∠ACF＝40°+40°＝80°．
故选：C．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
41．（2025秋•浦东新区校级期末）如图，从△ABC内一点O出发，把△ABC剪成三个三角形（如图1），边AB，BC，AC放在同一直线上，点O都落在直线MN上（如图2），直线MN∥AC，则点O是△ABC的（ ）
A．三条角平分线的交点B．三条高的交点
C．三条中线的交点D．三边中垂线的交点
【答案】A
【分析】利用平行线间的距离处处相等，可知点O到BC、AC、AB的距离相等，然后可作出判断．
【解答】解：如图1，过点O作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F．
∵MN∥AB，
∴OD＝OE＝OF（夹在平行线间的距离处处相等）．
如图2：过点O作OD'⊥BC于D'，作OE'⊥AC于E'，作OF'⊥AB于F'．
由题意可知：OD＝OD'，OE＝OE'，OF＝OF'，
∴OD'＝OE'＝OF'，
∴图2中的点O是三角形三个内角的平分线的交点，
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行线间的距离处处相等，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解本题的关键是判断出OD＝OE＝OF．
42．（2025春•黄浦区期末）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明∠AOB＝∠A′O′B′，需要证明△COD和△C'O'D'，则这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SASB．AASC．SSSD．ASA
【答案】C
【分析】根据尺规作图可得OC＝O'C'，OD＝O'D'，CD＝C'D'，再根据SSS定理即可得．
【解答】解：由尺规作图可知，OC＝O'C'，OD＝O'D'，CD＝C'D'，
在△COD和△C'O'D'中，
OC=O′C′OD=O′D′CD=C′D′，
∴△COD≌△C'O'D'（SSS），
即这两个三角形全等的依据是SSS，
故选：C．
【点评】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图、三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
43．（2025秋•普陀区校级期中）如图，等腰三角形ABC底边BC的长为5cm，面积是18cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的动点，M为线段EF上一动点，则BM+DM最小值为（ ）cm．
A．95B．135C．185D．365
【答案】D
【分析】连接AD，AM，由线段垂直平分线的性质得到AM＝BM，则当A、D、M三点共线，且AD⊥BC时，AM+DM有最小值，即此时BM+DM有最小值，最小值为线段AD的长，据此根据三角形面积计算公式求出线段AD的长即可得到答案．
【解答】解：连接AD，AM，如图，
∵AB的垂直平分线EF交AC于点F，
∴AM＝BM，
∴BM+DM＝AM+DM，
∵AM+DM≥AD，且垂线段最短，
∴当A、D、M三点共线，且AD⊥BC时，AM+DM有最小值，即此时BM+DM有最小值，最小值为线段AD的长，
∵等腰三角形ABC底边BC的长为5cm，面积是18cm2，
∴12BC⋅AD=18，
∴AD=365cm，
∴BM+DM的最小值为365cm，
故选：D．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．
44．（2026春•上海期中）如图，在△ABC中，DE是边AC的垂直平分线，AD＝4，BD＝2，则BC的长是 6 ．
【答案】6．
【分析】先根据DE是边AC的垂直平分线结合AD＝4，得出CD的值，再根据BC＝BD+CD求解即可．
【解答】解：∵DE是边AC的垂直平分线，AD＝4，
∴CD＝AD＝4（线段垂直平分线的性质）．
∵BD＝2，
∴BC＝BD+CD＝2+4＝6．
则BC的长为6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查垂直平分线的性质，即垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
45．（2025秋•崇明区期末）如图，依据尺规作图的痕迹，∠ACP＝ 25 °．
【答案】25．
【分析】由尺规作图痕迹可知，DE为线段AC的垂直平分线，CP为∠ACB的角平分线，结合线段垂直平分线的性质以及角平分线的定义可得答案．
【解答】解：如图，标记点D、点E，
∵∠ADB＝100°，
∴∠ADC＝180°﹣100°＝80°，
由尺规作图可知，DE为线段AC的垂直平分线，CP为∠ACB的角平分线，
∴AD＝CD，DE⊥AC，∠ACP＝∠BCP，
∴∠ADE=∠CDE=12×80°=40°，
∴∠ACD＝180°﹣90°﹣40°＝50°，
∴∠ACP=12∠ACD=12×50°＝25°．
故答案为：25．
【点评】本题考查作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，解答本题的关键是熟练掌握角平分线与线段垂直平分线的作法．
46．（2026春•宝山区校级月考）在△ABC中，分别以B，C为圆心，大于12BC的长为半径画弧，两弧交于点D，E，且点D恰好落在AC边上．直线DE与BC交于点F．连接BD，BE，CE．若CD＝2，∠ACB＝30°，则四边形BECD的面积为 23 ．
【答案】23．
【分析】由作图可得到DE⊥BC，四边形BECD是菱形，则BC＝2CF，DE＝2DF，再由含30°角的直角三角形和勾股定理求出DF＝1，CF=3，即可得到BC＝23，DE＝2，即可得到四边形BECD的面积．
【解答】解：由题意可知，DE垂直平分BC，BD＝CD＝BE＝CE，
∴DE⊥BC，四边形BECD是菱形，
∴BC＝2CF，DE＝2DF，
∵CD＝2，∠ACB＝30°，
∴FD=12DC=12×2=1，
∴CF=DC2−FD2=22−12=3，
∴BC＝2CF＝23，DE＝2DF＝2，
∴四边形BECD的面积为12BC•DE=23，
故答案为：23．
【点评】此题考查了作图﹣基本作图，菱形的判定和性质、含30°角的直角三角形、勾股定理等知识．熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．
47．（2025春•闵行区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点M的速度为4cm/s，点N的速度为6cm/s，当点M、N第一次相遇时间时停止运动．设点M、点N的运动时间为t（t＞0）秒，当线段MN的垂直平分线经过△ABC的某一顶点时，t的值为 65或125或185或245 ．
【答案】65或125或185或245．
【分析】由题易得0＜t≤6；然后分四种情况讨论：①当线段MN的垂直平分线经过点A时，AM＝AN；②当线段MN的垂直平分线经过点B时，BM＝BN，进而AN＝CM；③当线段MN的垂直平分线经过点C时，CM＝CN，④第一种情况的MN位置互换，分别建立方程求解即可．
【解答】解：由题可知当M和N第一次相遇时，6t﹣12＝4t，
解得t＝6，
即0＜t≤6；
①当线段MN的垂直平分线经过点A时，如图，
此时△AMN为等边三角形，
∴AM＝AN，
∴12﹣6t＝4t，
解得t=65；
②当线段MN的垂直平分线经过点B时，如图，
此时BM＝BN，
∵∠A＝∠C，AB＝CB，
∴△ABN≌△CBM（SAS），
∴AN＝CM，
即6t﹣12＝12﹣4t，
解得t=125；
③当线段MN的垂直平分线经过点C时，如图，
此时CN＝CM，
即24﹣6t＝4t﹣12，
解得t=185；
④当线段MN的垂直平分线经过点A时，
∴CE＝BE，NE＝ME，
∴CN＝BM，
∴24﹣4t＝6t﹣24，
解得t=245；
综上，t的值为65或125或185或245；
故答案为：65或125或185或245．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
48．（2025秋•黄浦区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，按以下步骤作图：①以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点G；②分别以点G，C为圆心，大于12GC的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP．若点D在射线BP上，则线段BD的长度为 45 ．
【答案】45．
【分析】过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点H，先根据勾股定理求出AB的长，再证明AD＝AB＝5，证明四边形ACHD是矩形得AD＝CH＝5，DH＝AC＝4，然后根据勾股定理求解即可．
【解答】解：过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点H，如图，
由勾股定理可知AB=32+42=5．
由作图过程可知射线BP平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC．
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AD＝AB＝5．
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝ADH＝90°，
∴四边形ACHD是矩形，
∴AD＝CH＝5，DH＝AC＝4，
∴BH＝3+5＝8，
在Rt△BHD中，BD=42+82=45．
故答案为：45．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定，矩形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
49．（2026春•松江区校级月考）如图，有两条互相垂直的公路l1，l2，A厂离公路l1的距离为2千米，离公路l2的距离为5千米；B厂离公路l1的距离为11千米，离公路l2的距离为4千米；现在要在公路l2上建造一仓库P，使A厂到P仓库的距离与B厂到P仓库的距离相等，求仓库P的位置．
【答案】仓库P在距离两条公路交点O处6km的位置．
【分析】根据题意，画出示意图，再结合线段垂直平分线的性质进行计算即可．
【解答】解：因为点A和点B到点P的距离相等，
所以点P在线段AB的垂直平分线上，如图所示，
∵直线l垂直平分AB，
∴PA＝PB．
∵AC＝2，AD＝5，BE＝11，BF＝4，
∴DF＝11﹣2＝9．
在Rt△ADP中，
AP2＝52+PD2，
在Rt△BPF中，
BP2＝（9﹣PD）2+42，
∴52+PD2＝（9﹣PD）2+42，
解得PD＝4，
∴OP＝2+4＝6，
∴仓库P在距离两条公路交点O处6km的位置．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键．
50．（2025秋•金山区校级期末）【综合与探究】数学活动课上，老师进行了如下操作：如图1，将三角尺COD的直角顶点O放在直线AB上，过点O作∠BOC平分线OE．
（1）【操作发现】“勤奋小组”通过画图度量，得到了如下数值：
请依据上表，写出∠AOC与∠DOE的数量关系 ∠AOC＝2∠DOE ；
（2）【思考论证】老师进一步提出了如下问题：当三角尺COD在直线AB上方绕顶点O旋转时（OD到达OB边时停止旋转），∠AOC与∠DOE是否还满足（1）中的数量关系，请说明理由；
（3）【拓展延伸】“创新小组”又提出如下问题：将图1中∠COD的边OC与OA重合的位置开始，绕顶点O顺时针旋转，旋转的速度为每秒9度，旋转时间t秒（0＜t＜20），OF为∠COD的角平分线，当∠EOF＝28°时，求t的值．
【答案】（1）∠AOC＝2∠DOE；
（2）满足，
理由：设∠AOC＝α，则∠BOC＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=12∠BOC=12(180°−α)，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−12(180°−α)=12α，
∴∠AOC＝2∠DOE；
（3）349或1469．
【分析】（1）由表格数据可得结论；
（2）设∠AOC＝α，则∠BOC＝180°﹣α，由角平分线可得∠COE=12∠BOC=12(180°−α)，再结合角的和差运算可得结论；
（3）∠AOC＝9t°，则∠BOC＝180°﹣9t°，分0＜t≤10和10＜t＜20两种情况，分别列方程计算即可．
【解答】解：（1）由表中数据可得：∠AOC＝2∠DOE，
故答案为：∠AOC＝2∠DOE；
（2）∠AOC与∠DOE还满足（1）中的数量关系，理由如下：
设∠AOC＝α，则∠BOC＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=12∠BOC=12(180°−α)，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−12(180°−α)=12α，
∴∠AOC＝2∠DOE；
（3）当10＜t＜20时，∠AOC＝9t°，则∠BOC＝180°﹣9t°，
∵OF平分∠COD，∠COD＝90°，
∴∠FOC=12∠COD=45°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=12∠BOC=12(180°−9t°)=90°−4.5t°，
∴∠FOE＝∠FOC﹣∠COE＝45°﹣（90°﹣4.5t）°＝28°，
解得t=1469，
当0＜t≤10时，∠AOC＝9t°，则∠BOC＝180°﹣9t°，
∵OF平分∠COD，∠COD＝90°，
∴∠FOC=12∠COD=45°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=12∠BOC=12(180°−9t°)=90°−4.5t°，
∴∠FOE＝∠COE﹣∠FOC＝90°﹣4.5t°﹣45°＝28°，
解得t=349；
综上可知，当∠EOF＝28°时，t的值为349或1469．
【点评】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，一元一次方程的应用，熟练地利用方程解决问题是解本题的关键．
51．（2026春•浦东新区校级期中）已知，如图，AD，CE相交于点G，且AD⊥CE．
（1）尺规作图：作线段AD的垂直平分线，垂足为点H，交AE的延长线于点B，交CD于点F；（保留作图痕迹，不写作法，作图请用黑色字迹的笔描黑）
（2）若∠C＝∠ABF，求证：△ABH≌△DFH．
【答案】（1）如图：
（2）由条件可知BF垂直平分AD，
∴∠AHB＝∠DHF＝90°，AH＝DH，
由条件可知CE∥BF，
∴∠C＝∠BFD，
由条件可知∠BFD＝∠ABF，
∴△ABH≌△DFH（AAS）．
【分析】（1）利用尺规作垂直平分的方法求解即可；
（2）由（1）得，BF垂直平分AD，得到∠AHB＝∠DHF＝90°，AH＝DH，然后得到CE∥BF，推出∠C＝∠BFD，等量代换得到∠BFD＝∠ABF，即可证明△ABH≌△DFH（AAS）．
【解答】解：（1）如图所示，
（2）由条件可知BF垂直平分AD，
∴∠AHB＝∠DHF＝90°，AH＝DH，
由条件可知CE∥BF，
∴∠C＝∠BFD，
由条件可知∠BFD＝∠ABF，
∴△ABH≌△DFH（AAS）．
【点评】此题考查了尺规作垂直平分线，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
课后巩固 · 针对性练习
作业1 — 等腰三角形边长分类讨论（三边关系）。
作业2 — 角平分线+平行线构造等腰三角形，求线段长。
作业3 — 等腰三角形动点问题与等腰三角形存在性（分类讨论）。
作业4 — 垂直平分线性质求线段长（周長转化）。
作业5 — 角平分线+平行线证等腰，结合三角形内角和求角度。
作业6 — 垂直平分线性质求线段长及角度（整体代入）。
作业7 — 垂直平分线、等腰三角形性质综合，证明线段相等并求长。
作业8 — 等腰三角形中角平分线与垂直、等腰三角形存在性综合。
作业9 — 角平分线、高线、内角和关系探究（新定义题型）。
作业10 — 线段垂直平分线与三角形内角和综合（角度推导）。
❤ 复习建议 本专题是几何证明与计算的基础。建议熟练掌握等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”的运用，注意分类讨论思想。等边三角形判定中“等腰+60°”是重要技巧。垂直平分线与将军饮马模型是中考最值问题的高频考点，务必理解对称点作法的原理。
【作业1】（2026春•上海校级月考）已知△ABC是等腰三角形，AB＝4，AC＝8，则边BC＝ 8 ．
【答案】8．
【分析】分类讨论BC的可能取值，再利用三角形三边关系验证能否构成三角形，舍去不符合条件的结果即可得到答案．
【解答】解：根据题意，分两种情况讨论如下：
①当BC＝AB＝4时，三角形三边长为4，4，8，
∵4+4＝8，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，此情况舍去；
②当BC＝AC＝8时，三角形三边长为4，8，8，
∵4+8＞8，满足三角形三边关系，可以构成三角形．
故BC＝8．
故答案为：8．
【点评】本题根据等腰三角形的性质，熟练掌握该知识点是关键．
【作业2】（2026•丛台区校级二模）如图，△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥AC交BC于点E，若BC＝7，DE＝3，则BE长度为 4 ．
【答案】4
【分析】先利用角平分线的定义可得：∠ACD＝∠DCB，再利用平行线的性质可得∠ACD＝∠EDC，从而可得∠DCB＝∠EDC，然后利用等角对等边可得：DE＝CE＝3，最后进行计算，即可解答．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB，
∵DE∥AC，
∴∠ACD＝∠EDC，
∴∠DCB＝∠EDC，
∴DE＝CE＝3，
∵BC＝7，
∴BE＝BC﹣CE＝7﹣3＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
【作业3】（2025秋•绥棱县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于点E．当△ADE是等腰三角形时，∠BAD的度数为 30°或15° ．
【答案】30°或15°．
【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数，△ADE是等腰三角形，分情况讨论：①AD＝AE时，②EA＝ ED时，③DA＝DE时，分别求解即可．
【解答】解：AB＝ AC，∠B ＝50°，
∴∠C＝∠B＝50°，
∴∠BAC＝80°，
∵∠ADE ＝ 50°，△ADE是等腰三角形，分情况讨论：①AD ＝ AE时，∠AED ＝∠ADE ＝ 50°，
∴∠DAE＝80°，此时D点与B点重合，不符合题意；②EA＝ ED时，∠EAD＝∠ADE ＝50°，
∴∠BAD＝80﹣50°＝ 30°；③DA＝ DE时，∠DAE＝∠DEA＝65°，
∴∠BAD＝80°﹣65°＝ 15°，
综上，∠BAD的度数为30°或15°．
故答案为：30°或15°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，注意分情况讨论．
【作业4】（2026春•锦江区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E．已知△BCE的周长为10，AC﹣BC＝3，则AC的长为 6.5 ．
【答案】6.5．
【分析】根据题意可得BC+AC＝10，然后根据AC﹣BC＝3，即可求解．
【解答】解：由条件可知AE＝BE，
∴BC+CE+BE＝10，
∴BC+CE+AE＝10，
∴BC+AC＝10，
∵AC﹣BC＝3，
∴BC＝AC﹣3，
∴AC﹣3+AC＝10，
∴AC＝6.5．
故答案为：6.5．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点是关键．
【作业5】（2026春•龙泉驿区校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过线段CD上一点E作EG∥AD，交AC于点F，交BA的延长线于点G．
（1）求证：∠G＝∠AFG．
（2）若CE＝EF，∠BAC＝80°，求∠B的度数．
【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．
∵EG∥AD，
∴∠BAD＝∠G，∠CAD＝∠AFG，
∴∠G＝∠AFG．
（2）∠B＝60°．
【分析】（1）结合角平分线的性质，根据平行线的性质得到∠BAD＝∠G，∠CAD＝∠AFG，然后等量代换可知∠G＝∠AFG；
（2）根据等边对等角可得∠CFE＝∠C，结合（1）可得∠C＝∠CAD，再根据角平分线及三角形的内角和定理即可求解．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．
∵EG∥AD，
∴∠BAD＝∠G，∠CAD＝∠AFG，
∴∠G＝∠AFG．
（2）解：∵CE＝EF，
∴∠CFE＝∠C．
∵∠AFG＝∠CFE，∠AFG＝∠CAD，
∴∠C＝∠CAD．
∵∠BAC＝80°，AD平分∠BAC，
∴∠C＝∠CAD＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝60°．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定及性质，平行线的性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定定理．
【作业6】（2026春•龙岗区期中）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点．
（1）若△CMN的周长为20cm，求AB的长；
（2）若∠ACB＝106°，求∠MCN的度数．
【答案】（1）20cm；
（2）32°．
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质推出CM＝AM，CN＝BN，得到AB＝△CMN的周长＝20cm；
（2）由三角形内角和定理求出∠A+∠B＝74°，由等腰三角形的性质推出∠ACM＝∠A，∠BCN＝∠B，得到∠ACM+∠BCN＝∠A+∠B＝74°，即可求出∠MCN的度数．
【解答】解：（1）∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，
∴CM＝AM，CN＝BN，
∴AB＝AM+MN+BN＝CM+MN+CN＝△CMN的周长＝20cm；
（2）∵∠ACB＝106°，
∴∠A+∠B＝180°﹣106°＝74°，
由（1）知CM＝AM，CN＝BN，
∴∠ACM＝∠A，∠BCN＝∠B，
∴∠ACM+∠BCN＝∠A+∠B＝74°，
∴∠MCN＝∠ACB﹣（∠ACM+∠BCN）＝32°．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是由线段垂直平分线的性质推出CM＝AM，CN＝BN．
【作业7】（2025春•奉贤区校级期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE．
（1）求证：AB＝EC；
（2）若△ABC的周长为42cm，AC＝16cm，求DC的长．
【答案】（1）见解析；
（2）13cm．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AE＝EC，AB＝AE，等量代换证明结论；
（2）根据三角形的周长公式得到AB+BC+AC＝42cm，根据AB＝EC，BD＝DE计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC，
∴AE＝EC，
∵AD⊥BC，BD＝DE，
∴AB＝AE，
∴AB＝EC；
（2）解：∵△ABC的周长为42cm，
∴AB+BC+AC＝42cm，
∵AC＝16cm，
∴AB+BC＝26cm，
∵AB＝EC，BD＝DE，
∴DC=DE+EC=12(AB+BC)=13cm．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【作业8】（2025春•崇明区期末）已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A．
（1）如图1，试说明CD＝CB的理由；
（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．
①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由；
②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，再利用三角形的外角性质可得∠BDC＝∠A+∠ACD，从而可得∠BDC＝∠ACB，然后根据等量代换可得∠ABC＝∠BDC．再根据等角对等边可得CD＝CB，即可解答；
（2）①根据垂直定义可得∠BEC＝90°，从而可得∠CBE+∠ACB＝90°，然后设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α，利用（1）的结论可得∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，最后利用三角形内角和定理可得∠BCD＝2α，即可解答；
②根据三角形的外角性质可得∠BFD＝3α，然后分三种情况：当BD＝BF时；当DB＝DF时；当FB＝FD时；分别进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BDC是△ADC的一个外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD，
∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A，
∴∠BDC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠BDC．
∴CD＝CB；
（2）①∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠CBE+∠ACB＝90°，
设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，
∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α，
∴∠BCD＝2∠CBE；
②∵∠BFD是△CBF的一个外角，
∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α，
分三种情况：
当BD＝BF时，
∴∠BDC＝∠BFD＝3α，
∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，
∴90°﹣α＝3α，
∴α＝22.5°，
∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°；
当DB＝DF时，
∴∠DBE＝∠BFD＝3α，
∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α，
∴90°﹣2α＝3α，
∴α＝18°，
∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°；
当FB＝FD时，
∴∠DBE＝∠BDF，
∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF，
∴不存在FB＝FD，
综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，分三种情况讨论是解题的关键．
【作业10】（2025春•嘉定区期末）小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究：
如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交边BC于点D，AE⊥BC，垂足为E．
小海猜想：通过∠C的度数可求出∠CAE的度数，再结合∠B、∠C的度数可求出∠CAD的度数，从而确定∠B、∠C与∠DAE之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组∠B、∠C的度数后（∠B＜∠C），验证了这一猜想．
（1）请补全下表：
（2）如图2，若∠B＝α，∠C＝β（α＜β），那么∠DAE＝ 12β−12α （用含α、β的代数式表示），并加以证明；
（3）在（2）的基础上作AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，连接AF．如图3，如果∠ACB＝64°，请直接写出∠BAF＝ 116° °．
【答案】（1）15°，24°；
（2）12β−12α，证明见解析；
（3）116°．
【分析】（1）由垂线的定义可得∠AEC＝90°，则由三角形内角和定理可得∠CAE＝90°﹣∠C，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，再由角平分线的定义可得∠CAD=90°−12∠B−12∠C，则可求出∠DAE=12∠C−12∠B，据此计算求解即可；
（2）根据（1）所求即可得到答案；
（3）由（1）可得∠DAE=32°−12∠B，则可求出∠ADE=58°+12∠B；由线段垂直平分线的性质可得FD＝FA，则∠FAD=∠FDA=58°+12∠B，求出∠BAD=12∠BAC=58°−12∠B，即可得到∠BAF=∠BAD+∠FAD=58°+12∠B+58°−12∠B=116°．
【解答】解：（1）∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝180°﹣∠C﹣∠AEC＝90°﹣∠C，
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∠BAC的平分线AD交边BC于点D，
∴∠CAD=12∠BAC=90°−12∠B−12∠C，
∴∠DAE=∠CAD−∠CAE=90°−12∠B−12∠C−(90°−∠C)=12∠C−12∠B，
当∠B＝30°，∠C＝60°时，∠DAE=12×60°−12×30°=15°；
当∠B＝24°，∠C＝72°时，∠DAE=12×72°−12×24°=24°；
故答案为：15°，24°；
（2）由（1）可得∠DAE=12∠C−12∠B，
∵∠B＝α，∠C＝β（α＜β），
∴∠DAE=12∠C−12∠B=12β−12α，
故答案为：12β−12α；
（3）由（1）可得∠DAE=12∠ACB−12∠B=32°−12∠B，
∵AE⊥BC，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE=180°−∠DAE−∠AED=58°+12∠B；
由线段垂直平分线的性质可得FD＝FA，
∴∠FAD=∠FDA=58°+12∠B，
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∠BAC的平分线AD交边BC于点D，
∴∠BAD=12∠BAC=58°−12∠B，
∴∠BAF=∠BAD+∠FAD=58°+12∠B+58°−12∠B=116°
故答案为：116°．
【点评】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，线段垂直平分线的性质，等边对等角等等，熟知三角形内角和定理是解题的关键．
类别
核心内容
应用要点
等腰三角形性质
等边对等角；三线合一
角度计算、证明垂直/中点
等腰三角形判定
等角对等边；定义法
证明两边相等
等边三角形
三边相等，三角60°；三线合一
判定、角度转换、旋转全等
垂直平分线
点到两端点距离相等；外心
求线段长、最值问题
分类讨论
腰与底边、顶角与底角
注意三角形存在性
将军饮马
轴对称化折为直
求最小值
∠AOC
10°
24°
50°
66°
∠DOE
5°
12°
25°
33°
∠B
36°
30°
24°
…
∠C
44°
60°
72°
…
∠DAE
4°
15°
24°
…