【期末冲刺】选择+填空题满分讲义(15~18章 知识点梳理+典例) 2026年沪教版数学七年级下册

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课程目标 · 精准把握学习方向
一元一次不等式 —— 掌握不等式的性质，会解一元一次不等式（组），能利用数轴表示解集，能根据整数解个数、解集范围求参数，能建立不等式模型解决实际问题（分配、围栏、得分等）。
相交线与平行线 —— 理解对顶角、邻补角概念，掌握同位角、内错角、同旁内角的识别；熟练运用平行线的判定与性质进行角度计算与推理，会构造平行线解决复杂角度问题。
三角形 —— 掌握三角形三边关系、内角和定理、外角性质，理解中线、高线、角平分线、中位线的性质；能运用全等三角形的判定（SAS、ASA、SSS等）与性质进行证明与计算，会利用面积法、倍长中线等构造全等。
等腰三角形 —— 掌握等腰三角形“等边对等角”、“三线合一”等性质，会判定等腰三角形和等边三角形；能综合运用垂直平分线、全等、等边三角形性质解决角度、线段长度问题，理解点与等边三角形构成等腰三角形的分类讨论。
核心思想 —— 数形结合、分类讨论、转化思想、方程思想在几何与不等式综合题中的运用。
✨ 核心：不等式组整数解与参数范围 · 平行线辅助线 · 全等模型 · 等腰分类。
知识梳理 · 核心知识点
? 一元一次不等式（组）
不等式性质： 两边加（减）同一个数（式）不等号方向不变；乘（除）同一个正数方向不变；乘（除）同一个负数方向改变。
解一元一次不等式： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1（注意负数变号）。
解集数轴表示： 空心圆圈表示不包括端点，实心圆点表示包括端点。
一元一次不等式组： 分别解每个不等式，取公共部分（口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了）。
含参数不等式组： 根据解集或整数解个数列不等式（组）求参数范围。
实际应用： 利用不等关系建立不等式（组），注意实际问题中隐含条件（边长>0、人数为整数等）。
? 相交线与平行线
对顶角、邻补角： 对顶角相等，邻补角互补。
三线八角： 同位角（F型）、内错角（Z型）、同旁内角（U型）。
平行线的判定： 同位角相等⇔两直线平行；内错角相等⇔两直线平行；同旁内角互补⇔两直线平行。
平行线的性质： 两直线平行⇔同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。
辅助线： 遇平行线间转折角，常过转折点作平行线，将角度转化到同一组平行线中。
光的反射问题： 入射角等于反射角，转化为角度相等模型，结合平行线求角度。
? 三角形
三边关系： 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
内角和定理： ∠A+∠B+∠C=180°。
外角性质： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。
三角形中的重要线段： 中线（等分面积）、高线、角平分线、中位线（平行且等于第三边一半）。
全等三角形： 判定（SSS,SAS,ASA,AAS,HL），性质（对应边、角相等）。
角平分线、高线综合模型： 构造全等、利用等面积法、直角三角形斜边中线等。
? 等腰三角形
性质： 等边对等角；三线合一（顶角平分线、底边中线、底边高线重合）。
判定： 等角对等边；两腰相等。
等边三角形： 三边相等，三个角都是60°；三线合一；外心、内心、重心重合。
线段垂直平分线： 垂直平分线上的点到线段两端距离相等；逆定理：到两端距离相等的点在线段垂直平分线上。
分类讨论： 等腰三角形腰和底不明确时，需分情况讨论；等边三角形外找点使与顶点构成等腰三角形，常利用垂直平分线作圆。
? 知识总结表
核心模块 ·4大典型考点精讲
【模块一】一元一次不等式（对应第1-10题）
? 方法总结
根据整数解个数求参数范围：先解出不等式组，用参数表示解集，再根据整数解个数确定端点范围（注意等号能否取到）。
已知解集求参数：利用“同大取大”原则，当解集为x≥a时，a必须大于另一不等式解集的右端点。
由不等式的解集反推系数关系：将解集形式与标准形式对比，确定系数正负及数值关系。
二元一次方程组解为正整数且不等式组无解：联立求参数范围，再取整数解。
实际应用（篱笆围栏）：根据几何条件（墙长限制）列出不等式组，求范围；根据得分问题列不等式，求最少题数。
不等式性质应用：不等式两边同乘负数，方向改变。
分配问题（图书分人）：建立不等式组，利用“不足”关系确定人数范围，再取整数解。
1．（2025春•杨浦区校级月考）若关于x的不等式组2x−a＜0x−12+2≤x的解集只有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．10＜a≤12B．10≤a＜12C．9≤a＜10D．9＜a≤10
【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组只有3个整数解得出不等式组，求出不等式组的解集即可．
【解答】解：2x−a＜0①x−12+2≤x②，
解不等式①，得x＜12a，
解不等式②，得x≥3，
∵关于x的不等式组2x−a＜0x−12+2≤x的解集只有3个整数解，（3个整数解是3，4，5），
∴5＜12a≤6，
∴10＜a≤12，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于a的不等式组5＜12a≤6是解题的关键．
2．（2026春•杨浦区校级月考）若关于x的不等式组2(x−1)＞4x−a≥0的解集为x≥a，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞3B．a＜3C．a≥3D．a≤3
【分析】依据题意，先分别解两个不等式，得到x＞3和x≥a，由于解集为x≥a，则需满足a＞3即可．
【解答】解：由题意，∵2(x−1)＞4x−a≥0，
∴解不等式2（x﹣1）＞4得，x＞3；
解不等式x﹣a≥0得，x≥a，
∵不等式组的解集为x≥a，
∴a＞3，
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
3．（2025春•闵行区校级月考）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为x＜13，则关于x的不等式（a+b）x＞b﹣a的解集是（ ）
A．x＜−12B．x＜12C．x＞−12D．x＞12
【分析】先求出a与b的数量关系及正负，再代入即可求得．
【解答】解：∵关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为x＜13，
∴a＜0，且x＜ba，
∴ba=13，
∴a＝3b，且b＜0，
∴（a+b）x＞b﹣a，
即4bx＞﹣2b，
∴x＜−12．
故选：A．
【点评】本题主要考查不等式的解集及不等式的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
4．（2025春•宝山区月考）整数a使得关于x，y的二元一次方程组ax−y=113x−y=1的解为正整数（x，y均为正整数），且使得关于x的不等式组14(2x+8)≥7x−a＜2无解，则所有满足条件的a的和为（ ）
A．9B．16C．17D．30
【分析】解方程组得出x=10a−3y=33−aa−3，根据方程组的解为正整数，求出整数a的值；解方程组，依据不等式组无解得出a+2≤10，即a≤8；综合以上两种情况得出最终符合条件的a的值，从而得出答案．
【解答】解：解方程组ax−y=113x−y=1得：x=10a−3y=33−aa−3，
∵方程组的解为正整数，
∴a﹣3＝1或a﹣3＝2或a﹣3＝5或a﹣3＝10，
解得a＝4或a＝5或a＝8或a＝13；
解不等式14（2x+8）≥7，得：x≥10，
解不等式x﹣a＜2，得：x＜a+2，
∵不等式组无解，
∴a+2≤10，即a≤8，
综上，符合条件的a的值为4、5、8，
则所有满足条件的a的和为17，
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组和二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，并结合题意得出整数a的值．
5．（2026春•闵行区校级月考）现有一段围墙长20米，王伯伯想紧靠这段围墙圈一块长方形空地作为兔舍饲养小兔．已知他圈好的空地如图所示，是一个长方形，它的一条边用墙代替，另三边用总长度为50米的篱笆围成．设垂直于墙的一边的长度为m米，则m的取值范围是（ ）
A．20＜m＜50B．15≤m＜25C．20≤m＜25D．15≤m≤20
【分析】根据题意可得平行于墙的一边的长为（50﹣2m）米，垂直于墙的长度要大于0，平行于墙的长度大于0且不能超过墙的长度，据此列出不等式组求解即可．
【解答】解：一条边用墙代替，另三边用总长度为50米的篱笆围成．
由题意得，平行于墙的一边的长为（50﹣2m）米，
∴m＞00＜50−2m≤20，
解得15≤m＜25，
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，正确进行计算是是解题关键．
6．（2026春•上海期中）根据不等式的基本性质，若“6a＞b”可变形为“6＜ab”，则a的取值范围为a＜0 ．
【分析】根据不等式的性质即可求解．
【解答】解：根据不等式的基本性质，若“6a＞b”可变形为“6＜ab”，
∵将“6a＞b”变形为“6＜ab”，需要在不等号两边同时乘以a，
∵不等号由“＞”变成“＜”，
∴a＜0，
故答案为：a＜0．
【点评】本题考查了不等式的性质，掌握“在不等式两边同时乘以一个负数，不等号的方向要改变”是解答本题的关键．
7．（2026春•上海期中）关于x的不等式组x＜m+1x＞2m−1无解，m应满足的条件m≥2 ．
【分析】不等式组无解的条件是“大于大的，小于小的”，即 2m﹣1≥m+1．
【解答】解：x＜m+1①x＞2m−1②，
不等式组无解，说明两个解集没有公共部分，因此需满足：2m﹣1≥m+1，
解这个不等式：
2m﹣1≥m+1，
2m﹣m≥1+1，
m≥2，
∴m应满足的条件是m≥2．
故答案为：m≥2．
【点评】本题考查了含参数的一元一次不等式组无解的情况．熟练掌握不等式组无解的判定规则，即“大大小小无处找”，是解题的关键．
8．（2026春•奉贤区期中）某次数学竞赛共有20道题，评分标准是：答对一题得5分，答错或不答一题倒扣1分；某同学想要超过60分，他至少要答对 14 道题．
【分析】设他答对x道题，则答错和不答共（20﹣x）道，根据该生成绩要超过60分，可得出不等式，解出即可．
【解答】解：设他答对x道题，则答错或不答共（20﹣x）道，
由题意，得：5x﹣（20﹣x）＞60，
解得：x＞403，
则他至少要答对14道题．
故答案为：14．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是设出未知数，找到不等式关系．
9．（2026春•杨浦区期中）关于x的一元一次不等式组x+a＞0x−2a≤−3有解，则a的取值范围是a＞1 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组有解，利用口诀：大小小大中间找可得关于a的不等式，解之即可．
【解答】解：x+a＞0①x−2a≤−3②，
由不等式①得：x＞﹣a，
由不等式②得：x≤2a﹣3，
∵关于x的一元一次不等式组x+a＞0x−2a≤−3有解，
∴﹣a＜2a﹣3，
解得a＞1，
故答案为：a＞1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
10．（2026春•杨浦区校级期中）在读书节活动中，老师把一些图书分给双语智慧小组的同学们，如果每人分5本，那么剩余12本，如果每人分8本，那么最后一人分到了书但不足8本，则双语智慧小组一共 5或6 人．
【分析】设双语智慧小组一共有x人，根据“如果每人分5本，那么剩余12本”可得这些图书的总数为：5x+12，根据“如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本”，即可列出不等式组，进一步可得解．
【解答】解：设双语智慧一共有x人，
∵如果每人分5本，那么剩余 12本，
∴这些图书的总数为：5x+12，
∵如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本，
∴0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8，即5x+12−8(x−1)＞0①5x+12−8(x−1)＜8②，
由①得：x＜203，
由②得：x＞4，
∴不等式组的解集为：4＜x＜203，
∵x为正整数，
∴x＝5或x＝6，
∴双语智慧小组一共有5人或6人，
故答案为：5或6．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，掌握其相关知识点是解题的关键．
【模块二】相交线与平行线（对应第11-21题）
? 方法总结
命题判断：命题是陈述句，能判断真假；疑问句、祈使句不是命题。
平行线求角度：利用内错角、同位角相等，同旁内角互补，结合三角板已知角计算。
同位角、内错角、同旁内角识别：根据截线和被截线位置判断，注意三线八角图形。
折叠杆道闸问题：作辅助平行线，利用平行线性质推导角度和关系。
光的反射：入射角等于反射角，结合平角、三角形内角和求角度。
平行线间角平分线问题：多次作平行线，利用角平分线定义和“猪蹄”模型推导角度关系。
翻折平行问题：由平行得相等角，结合折叠（折痕为角平分线）求角度。
指甲剪问题：延长构造平行线，利用直角和角平分线求角。
11．（2026春•普陀区期中）下列语句中，是命题的是（ ）
A．画一个角等于已知角
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等吗？
C．等角的余角相等
D．延长线段AB到点D，使得BD＝AB
【分析】根据“判断一件事情的语句叫做命题”这一定义，逐一判断选项即可得到结果．
【解答】解：根据“判断一件事情的语句叫做命题”这一定义逐项分析判断如下：
A选项是操作指令，没有对事件做出判断，不是命题；
B选项是疑问句，没有对事件做出判断，不是命题；
C选项是对等角的余角关系做出判断的陈述句，符合命题定义，是命题；
D选项是操作指令，没有对事件做出判断，不是命题．
故选：C．
【点评】本题考查命题的定义，熟练掌握该知识点是关键．
12．（2026春•浦东新区校级月考）将三角板ABC按如图位置摆放，顶点A落在直线l1上，顶点B落在直线l2上，若l1∥l2，∠2＝25°，则∠1的度数是（ ）
A．45°B．35°C．30°D．25°
【分析】由角的和差即可求出∠3，再利用平行线的性质可求出∠3＝∠1即可．
【解答】解：∵∠CAB＝60°，∠2＝25°，
∴∠3＝35°，
∵l1∥l2，
∴∠1＝∠3＝35°，
故选：B．
【点评】此题考查平行线的性质与判定，关键是利用平行线的性质得出内错角相等解答．
13．（2026春•普陀区期中）如图，下列说法中不正确的是（ ）
A．∠1与∠3是直线AB、FC被直线DE所截得的内错角
B．∠1与∠4是直线AB、FC被直线DE所截得的同位角
C．∠1与∠2是直线AB、FC被直线DE所截得的同旁内角
D．∠B与∠C是直线AB、FC被直线BC所截得的同旁内角
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，结合图形逐一判断各选项即可．
【解答】解：根据同位角、内错角、同旁内角的定义，结合图形逐一判断各选项可得：
A、∵∠1与∠3在直线AB，FC之间，且在直线DE两侧，∴∠1与∠3是内错角，原说法正确，不符合题意；
B、∵∠1在直线DE上方，∠4在直线DE下方，
∴∠1与∠4不是同位角，原说法不正确，符合题意；
C、∵∠1与∠2在直线AB，FC之间，且在直线DE同旁，
∴∠1与∠2是同旁内角，原说法正确，不符合题意；
D、∵∠B与∠C在直线AB，FC之间，且在直线BC同旁，
∴∠B与∠C是同旁内角，原说法正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查同位角，内错角，同旁内角，正确记忆相关知识点是解题关键．
14．（2026春•徐汇区校级期中）图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱AB、CD和折叠杆“AE﹣EF”组成．道闸工作时，折叠杆“AE﹣EF”可绕点A在一定范围内转动，且杆EF始终与地面BD保持平行，则下列判断中，正确的是（ ）
A．∠BAE+∠AEF＝180°
B．∠BAE+∠AEF＝270°
C．∠BAE+∠AEF＝360°
D．∠BAE+∠AEF的度数无法确定
【分析】根据平行线的性质对所给选项进行判断即可．
【解答】解：过点A作EF的平行线AM，
∵EF∥BD，EF∥AM，
∴AM∥BD，∠AEF+∠EAM＝180°，
∴∠MAB+∠B＝180°．
∵∠B＝90°，
∴∠MAB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠BAE+∠AEF＝∠BAM+∠EAM+∠AEF＝90°+180°＝270°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
15．（2026春•杨浦区校级期中）如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即a∥b），根据光的反射可知∠1＝∠3，∠2＝∠4，其原理如图2所示，若∠1＝48°，则∠2的度数为（ ）
A．52°B．54°C．48°D．42°
【分析】由平角的定义求出∠MAB＝88°，由平行线的性质推出∠ABN+∠MAB＝180°，求出∠ABN＝92°，即可得到∠2的度数．
【解答】解：如图，
∵∠1＝∠3＝48°，
∴∠MAB＝180°﹣48°﹣48°＝84°，
∵a∥b，
∴∠ABN+∠MAB＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣84°＝96°，
∵∠2＝∠4，
∴∠2=12×(180°−96°)=42°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义，掌握以上知识点是解题的关键．
16．（2026春•普陀区期中）如图，已知AB∥CD，BE∥DF，如果∠B＝30°，那么∠CDH＝ 150 °．
【分析】先根据BE∥DF，∠B＝30°得出∠FMA＝∠B＝30°，再由AB∥CD即可得出∠CDM的度数，再由平角的定义即可得出结论．
【解答】解：∵BE∥DF，∠B＝30°，
∴∠FMA＝∠B＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠CDM＝∠FMA＝30°，
∴∠CDH＝180°﹣∠CDM＝180°﹣30°＝150°，
故答案为：150．
【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．
17．（2026春•杨浦区校级期中）2026年春晚机器人表演武术，动作精准，难度极高，视觉冲击力极强意义重大．如图1，这是捕捉某款机器人表演的姿态，图2为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中∠BAE＝110°，∠BCD＝140°，∠ABC＝3∠CBF，若AE∥CD，则∠ABF＝ 100 度．
【分析】过点B作TH∥CD，结合平行线的性质得∠TBA＝∠BAE，∠BCD+∠CBT＝180°，代入数值得∠TBA＝110°，∠CBT＝40°，再运算角的和差以及根据∠ABC＝3∠CBF列式计算，即可作答．
【解答】解：过点B作TH∥CD，如图2所示：
∵AE∥CD，TH∥CD，
∴TH∥CD∥AE，
∴∠TBA＝∠BAE（两直线平行，内错角相等），∠BCD+∠CBT＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠BAE＝110°，∠BCD＝140°，
∴∠TBA＝110°，∠CBT＝40°，
∴∠ABC＝40°+110°＝150°，
∵∠ABC＝3∠CBF，
∴∠CBF＝50°，
∴∠ABF＝150°﹣50°＝100°，
故答案为：100．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，关键是相关性质和定理的熟练掌握．
18．（2026春•杨浦区校级期中）已知：如图AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的角平分线EG与∠DFE的角平分线FG交于点G．作∠BEG的角平分线EM与∠DFG的角平分线FM交于点M，则∠EMF＝ 45° ．
【分析】先求∠EGF的度数，然后过M作MN∥AB，得到MN∥CD，由平行线的性质推得到∠EMF＝∠BEM+∠MFD，同理∠EGF＝∠BEG+∠DFG，由角平分线定义得到∠EGF＝2（∠BEM+∠MFD）＝2∠EMF，即可求出∠EMF＝45°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∵EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，
∴∠GEF=12∠BEF，∠GFE=12∠EFD，
∴∠GEF+∠GFE=12（∠BEF+∠EFD）＝90°，
∴∠EGF＝180°﹣90°＝90°，
如图，过M点作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠EMN＝∠BEM，∠FMN＝∠MFD，
∴∠EMN+∠FMN＝∠BEM+∠MFD，
∴∠EMF＝∠BEM+∠MFD，
同理：∠EGF＝∠BEG+∠DFG，
∵EM平分∠BEG，FM平分∠DFG，
∴∠BEG＝2∠BEM，∠DFG＝2∠DFM，
∴∠EGF＝2（∠BEM+∠MFD）＝2∠EMF，
又∠EGF＝90°，
∴∠EMF=12∠EGF＝45°．
故答案为：45°．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是灵活应用平行线的性质来解决问题．
19．（2026春•徐汇区校级期中）如图，有一张三角形纸片ABC，∠B＝36°，∠A＝96°，点D是边AB上的定点(BD＜12AB)．在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，当EF与边AC平行时，∠BDE的度数为 120° ．
【分析】利用平行线的性质及三角形内角和即可求解．
【解答】解：∵EF∥AC，∴∠BEF＝∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣96°﹣36°＝48°，
∵∠BED=12∠BEF＝24°，
∴∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠BED＝180°﹣36°﹣24°＝120°．
故答案为：120°．
【点评】此题考查的是翻折变换和平行线的性质，掌握翻折的性质是解决此题的关键．
20．（2026春•闵行区校级期中）如图，指甲剪利用杠杆原理操作，图1是实物图，图2是使用指甲剪的侧面示意图，∠CEO＝90°，未使用指甲剪时，杠杆BC与上臂OC重合；使用时，下压点A至A'时，B刚好至B'点，当A'B∥OE时，两刀片咬合，恰好CB'平分∠OCE，若∠CB'A'＝128°，则∠COE的度数为 14 度．
【分析】根据平行线的性质进行计算即可．
【解答】解：延长A′B′交CE于点M，
∵A'B∥OE，∠CEO＝90°，
∴∠CMA′＝∠CEO＝90°．
∵∠CB′A′＝128°，
∴∠B′CE＝128°﹣90°＝38°．
∵CB'平分∠OCE，
∴∠OCE＝2∠B′CE＝76°，
∴∠COE＝90°﹣76°＝14°．
故答案为：14．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
21．（2026春•闵行区校级月考）如图，a∥b，∠1＝50°，则∠ACB+∠2＝ 230 度．
【分析】过点C作CD∥a，利用平行线的性质进行求解．
【解答】解：如图，过点C作CD∥a，
∵a∥b，
∴a∥CD∥b（平行于同一直线的两直线相互平行），
∴∠BCD＝∠1＝50°，∠2+∠ACD＝180°，
∴∠ACB+∠2＝∠BCD+∠ACD+∠2＝50°+180°＝230°，
故答案为：230．
【点评】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．
【模块三】三角形（对应第22-34题）
? 方法总结
三边关系判断：检查较小两边之和是否大于最大边。
内外角平分线模型：∠D=12∠A（内角平分线与外角平分线夹角）。
全等三角形判定：根据已知条件选择合适判定方法，注意“对应顶点”及折叠、旋转中的全等。
直角三角形斜边中线：等于斜边一半，用于求线段长或比较大小。
角平分线与垂线综合：构造全等，利用等量代换证线段相等、垂直。
三角形按角分类：通过内角和比例求出最大角，判断锐角/直角/钝角。
中线与周长差：中线分两三角形周长差等于腰与底的差，注意分类讨论。
动点全等问题：分类讨论点的不同运动方向，根据全等对应边相等列方程求时间。
高线交点（垂心）：锐角三角形内，钝角三角形外，结合外角性质求角度。
22．（2026春•虹口区期中）下列长度的三根铁条能首尾顺次连接做成三角形框架的是（ ）
A．5cm、2cm、2cmB．5cm、4cm、8cm
C．5cm、7cm、12cmD．5cm、5cm、12cm
【分析】根据三角形的三边关系解答即可．
【解答】解：A、最长边为5cm，2+2＜5，不能做成三角形框架，不符合题意；
B、最长边为8cm，4+5＞8，能做成三角形框架，符合题意；
C、最长边为12cm，5+7＝12，不能做成三角形框架，不符合题意；
D、最长边为12cm，5+5＜12，不能做成三角形框架，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键．
23．（2026春•奉贤区期中）如图，BD、CD分别是△ABC的一条内角平分线与一条外角平分线，如果∠D＝20°，那么∠A＝（ ）
A．20°B．30°C．40°D．60°
【分析】由BD平分∠ABC，CD平分∠AEC，得∠DBC=12∠ABC，∠DCE=12∠ACE，则∠D＝∠DCE﹣∠DBC=12（∠ACE﹣∠ABC）=12∠A，因为∠D＝20°，所以∠A＝2∠D＝40°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠AEC，
∴∠DBC=12∠ABC，∠DCE=12∠ACE，
∵∠DCE是△DBC的外角，∠ACE是△ABC的外角，
∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC，∠A＝∠ACE﹣∠ABC，
∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC=12（∠ACE﹣∠ABC）=12∠A，
∵∠D＝20°，
∴∠A＝2∠D＝40°，
故选：C．
【点评】此题重点考查角平分线的定义、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出∠D=12∠A是解题的关键．
24．（2026春•闵行区校级期中）如图，在△ABC中，点D是边AB上一点，点E是线段CD上一点，且△BDE≌△CDA，其中点B与点C、点D与点D、点E与点A分别是对应顶点，下列结论中正确的是（ ）
①∠CBE＝∠CAE；
②CE＝ED；
③BE⊥AC；
④AE⊥BC．
A．①②③B．①②C．①③④D．③④
【分析】由全等三角形的性质推出∠CAD＝∠BED，DE＝DA，BD＝CD，∠ADC＝∠BDE，判定△ADE和△BDC是等腰直角三角形，得到∠DAE＝∠BCD＝45°，由三角形的外角性质得到∠CBE＝∠CAE，CE和ED不一定相等，延长BE交AC于M，由三角形内角和定理得到∠CME＝∠BDE＝90°，判定BE⊥AC，延长AE交BC于N，由△ADE是等腰直角三角形，得到∠AED＝45°，求出∠CNE＝90°，判定AE⊥BC．
【解答】解：∵△BDE≌△CDA，
∴∠CAD＝∠BED，DE＝DA，BD＝CD，∠ADC＝∠BDE，
∵∠ADC+∠BDE＝180°，
∴∠ADC＝∠BDE＝90°，
∴△ADE和△BDC是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝∠BCD＝45°，
∵∠CAE+∠DAE＝∠CBE+∠BCD，
∴∠CBE＝∠CAE，
故①符合题意；
∵E不一定是CD的中点，
∴CE和ED不一定相等，
故②不符合题意；
延长BE交AC于M，
∵△BDE≌△CDA，
∴∠MCE＝∠DBE，
∵∠CEM＝∠BED，
∴∠CME＝∠BDE＝90°，
∴BE⊥AC，
故③符合题意；
延长AE交BC于N，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠AED＝45°，
∴∠CEN＝∠AED＝45°，
∵∠ECN＝45°，
∴∠CNE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴AE⊥BC，
故④符合题意．
∴结论正确的是①③④．
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角形的性质推出△ADE和△BDC是等腰直角三角形．
25．（2025秋•上海校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，线段CD、CE分别为△ABC的高和中线，下列说法错误的是（ ）
A．∠B＝∠ACDB．2DE＝CEC．2CE＝ABD．∠BCE＝∠ACD
【分析】根据三角形高和中线的性质，结合图形对选项一一判断即可求解．
【解答】解：线段CD、CE分别为△ABC的高和中线，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
∵∠ACD+∠DCB＝∠B+∠DCB＝90°，
∴∠B＝∠ACD（同角的余角相等），所以A选项正确，不符合题意；
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴CE=12AB=BE=AE，即AB＝2CE，所以C选项正确，不符合题意；
∴∠BCE＝∠B（等边对等角），
∴∠BCE＝∠ACD，所以D选项正确，不符合题意；
根据题中条件无法推出AD＝DE，故无法推出2DE＝AE＝CE，所以选项B错误，符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形高和中线的性质是解题的关键．
26．（2026春•上海校级期中）如图，已知△ABC≌△DEF（点A、B、C的对应点分别是点D、E、F），点C在DE边上，若∠A＝30°，∠CGF＝88°，则∠DCB的度数是（ ）
A．38°B．48°C．58°D．60°
【分析】根据全等三角形对应角相等求出∠D的度数，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求解．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠D＝∠A＝30°，
由条件可知∠CGF＝∠D+∠DCB，
∵∠CGF＝88°，
∴∠DCB＝∠CGF﹣∠D＝88°﹣30°＝58°．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握该知识点是关键．
27．（2026春•浦东新区校级月考）如图，AD是△ABC的高，AE平分∠CAD交BC于点E，过点B作BF⊥AE，垂足为点F，并交AD于点G．若AF＝BF，则下列结论中：①∠ABF＝45°；②△AFG≌△BFE；③AG+CE＝AC；④BC＞BG+2GF．所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【分析】由BF⊥AE于点F，得∠AFB＝90°，而AF＝BF，所以∠ABF＝∠BAF＝45°，可判断①正确；由AD⊥BC于点D，得∠ADE＝90°，则∠GAF＝∠EBF＝90°﹣∠AEB，即可根据“ASA”证明△AFG≌△BFE，可判断②正确；根据全等三角形的性质得出AG＝BE，EF＝GF，所以AG+CE＝BE+CE＝BC，由∠GAF＝∠CAE，得∠EBF＝∠CAE，推导出∠CBA＝∠EBF+∠ABF＝∠CAE+∠BAF＝∠CAB，则BC＝AC，所以AG+CE＝AC，可判断③正确；得出BG+2GF＝AE，即可判断④．
【解答】解：∵BF⊥AE于点F，
∴∠AFB＝90°，
∵AF＝BF，
∴∠ABF＝∠BAF＝45°，
故①正确；
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC于点D，
∴∠AFG＝∠BFE＝∠ADE＝90°，
∴∠GAF＝∠EBF＝90°﹣∠AEB，
在△AFG和△BFE中，
∠GAF=∠EBFAF=BF∠AFG=∠BFE
∴△AFG≌△BFE（ASA），
故②正确；
∴AG＝BE，
∴AG+CE＝BE+CE＝BC，
∵AE平分∠CAD交BC于点E，
∴∠GAF＝∠CAE，
∴∠EBF＝∠CAE，
∴∠CBA＝∠EBF+∠ABF＝∠CAE+∠BAF＝∠CAB，
∴BC＝AC，
∴AG+CE＝AC，
故③正确；
∵BG+2GF＝BG+GF+GF＝BF+EF＝AF+EF＝AE，又AE＜AC＝BC，
∴BC＞BG+2GF，故④正确．
综上，正确结论的序号为①②③④．
故选：D．
【点评】该题主要考查了全等三角形的性质和判定．等腰三角形的性质和判定，角平分线的定义等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
28．（2026春•杨浦区校级期中）已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：2：6，如果按角分类，那么△ABC是 钝角 三角形．
【分析】由∠A：∠B：∠C＝3：2：6，得∠A=12∠C，∠B=13∠C，由三角形内角和定理得12∠C+13∠C+∠C＝180°，则∠C=(108011)°＞90°，可知△ABC是钝角三角形，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝3：2：6，
∴∠A=36∠C=12∠C，∠B=26∠C=13∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴12∠C+13∠C+∠C＝180°，
∴∠C=(108011)°＞90°，
∴△ABC是钝角三角形，
故答案为：钝角．
【点评】此题重点考查三角形内角和定理、三角形的分类等知识，正确地求出△ABC的最大内角的度数是解题的关键．
29．（2026春•上海校级期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长是22cm，△ABD的周长是18cm，AB＝2cm，则AC＝ 6 cm．
【分析】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，再根据三角形周长公式表示出△ADC和△ABD的周长，利用作差法建立等式即可求出AC的长．
【解答】解：由条件可知BD＝CD，
∵△ADC的周长是22cm，△ABD的周长是18cm，
∴△ADC的周长﹣△ABD的周长＝（AC+CD+AD）﹣（AB+BD+AD）
＝AC﹣AB
＝22﹣18
＝4（cm），
∵AB＝2cm，
∴AC﹣2＝4，
∴AC＝6cm．
故答案为：6．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握该知识点是关键．
30．（2026春•浦东新区期中）已知△ABC≌△DEF，△ABC的三边长度为4、x+y和2x，△DEF的三边长度为6、x、x+2y，则△ABC的周长是 18 ．
【分析】根据全等三角形对应边相等的性质，分情况列出方程组求解，舍去不符合三角形边长要求的解，得到三角形三边长后计算周长即可．
【解答】解：根据全等三角形对应边相等的性质，分情况列出方程组求解，舍去不符合三角形边长要求的解，得到三角形三边长后计算周长如下：
情况1：列方程组x=46=x+yx+2y=2x，解得x=4y=2，
此时△ABC的三边长为4，x+y＝6，2x＝8，满足三角形三边关系，符合题意；
情况2：列方程组x=42x=6x+2y=x+y，由2x＝6得x＝3，与x＝4矛盾，舍去；
情况3：列方程组x=2x6=x+yx+2y=4，
由x＝2x得x＝0，边长不能为0，不符合题意，舍去；
情况4：列方程组x=x+y2x=6x+2y=4，
由x＝x+y得y＝0，则x+2y＝x＝4，此时2x＝2×4＝8，这与2x＝6矛盾，舍去，
故△ABC的周长为4+6+8＝18．
故答案为：18．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握该知识点是关键．
31．（2026春•上海期中）在△ABC中，∠BAC＝65°，若三条高所在直线交于点H，则∠BHC＝ 115或65 °．
【分析】分△ABC是锐角三角形和△ABC是钝角三角形两种情况，分别画出图形，利用高线定义和直角三角形的锐角互余以及三角形的外角性质求解即可．
【解答】解：当△ABC是锐角三角形时，如图1，
∵BD、CE是△ABC的高线，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
∵∠BAC＝65°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAC＝25°，
∴∠BHC＝∠CEB+∠ABD＝115°；
当△ABC是钝角三角形时，设∠ACB为钝角，如图2，
∵BD、CE是△ABC的高线，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
∵∠BAC＝65°，
∴∠DCH＝∠ACE＝90°﹣∠BAC＝25°，
∴∠BHC＝90°﹣∠DCH＝65°，
综上，∠BHC的度数为115°或65°，
故答案为：115或65．
【点评】本题考查三角形内角和定理，解答的关键是要分△ABC是锐角三角形和钝角三角形两种情况求解，作出图形更直观一点．
32．（2026春•虹口区校级月考）如图在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝AD＝8cm．点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度持续作往返运动，点E从点A出发沿线段AD方向以2cm/s的速度运动，记EF与AC的交点为G．若E、F两点同时出发，则当△AGE≌△CGF时，点E运动时间t＝ 43或4 秒．
【分析】当点F沿BC方向运动时，当点F沿CB方向运动时，根据△AGE≌△CGF，得到方程，解方程即可得到结论．
【解答】解：根据题意得，AE＝2tcm，
当点F沿BC方向运动时，∵△AGE≌△CGF，
∴AE＝CF，
∴2t＝8﹣4t，
∴t=43，
当点F沿CB方向运动时，∵△AGE≌△CGF，
∴AE＝CF，
∴2t＝4t﹣8，
∴t＝4，
综上所述，当△AGE≌△CGF时，点E运动时间t=43或4秒，
故答案为：43或4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
33．（2026春•虹口区校级月考）已知△ABC与△DEF全等，且两个三角形的三边分别是3，3x﹣2，5和3，4，2y+1，则xy＝ 4 ．
【分析】利用全等三角形的性质构建方程组求解．
【解答】解：∵两三角形全等，
∴3x−2=42y+1=5，
解得x=2y=2，
∴xy＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．
34．（2026春•锦江区校级月考）如图，已知△ABC≌△ADE，点D恰好在BC边上，若∠EAC＝40°，则∠B的度数是 70° ．
【分析】根据全等三角形的性质得出AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，求出∠BAD＝∠EAC＝40°，根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠ADB，即可求出答案．
【解答】解：已知△ABC≌△ADE，点D恰好在BC边上，若∠EAC＝40°，则：
∵△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵∠EAC＝40°，
∴∠BAD＝∠EAC＝40°，
∴∠B=∠ADB=180°−40°2=70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能根据全等三角形的性质求解是解此题的关键．
【模块四】等腰三角形（对应第35-45题）
? 方法总结
等腰三角形顶角平分线、底边中线、高线重合（三线合一）。
等边三角形的外心、内心、重心重合，常用于找点构造等腰。
等边三角形外一点与顶点构成等腰三角形：利用垂直平分线、圆规作图分类讨论（在三条边的垂直平分线上及交点，共10个点）。
已知等腰三角形周长及中线分周长差，求边长：注意分类讨论腰和底的长度关系，验证三角形三边关系。
垂直平分线性质：得等边，结合勾股定理求边长。
全等与等腰综合：通过SAS证全等，得角相等，进而得等腰或特殊角。
等边三角形内点与旋转构造：通过旋转60°构造全等，将分散条件集中，利用等腰三角形性质求角度关系。
等腰三角形与平行线结合：由平行得内错角相等，结合等边对等角推导角相等。
35．（2026春•徐汇区校级期中）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，其中AE＝AF，GE＝GF，若∠BAC＝136°，则∠BAD的度数是（ ）
A．58°B．53°C．68°D．63°
【分析】利用全等得出全等三角形的对应角相等．
【解答】解：∵AE＝AF，GE＝GF，AG＝AG，
∴△AEG≌△AFG（SSS），
∴∠EAG＝∠FAG，
∵∠BAC＝136°，
∴∠BAD=12×136°＝68°，
故选：C．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
36．（2025春•杨浦区校级月考）如图，在等边△ABC外作射线AD，使得AD和AC在直线AB的两侧，∠BAD＝α（0°＜α＜180°），直线AD为BP的中垂线，连接PB，PC．则∠BPC的度数是（ ）
A．30°B．30°+αC．45°−12αD．60°﹣α
【分析】连接PA，由线段垂直平分线的性质推出PA＝BA，得到∠APB＝∠ABP＝90°﹣α，由等腰三角形的性质推出∠PAB＝2∠BAD＝2α，由等腰三角形的性质推出∠APC＝∠ACP=12×（180°﹣∠PAC）＝60°﹣α，即可求出∠BPC的度数．
【解答】解：连接PA，
∵AD垂直平分PB，
∴PA＝BA，
∴∠APB＝∠ABP，
∵∠BAD＝α，∠AHB＝90°，
∴∠ABP＝90°﹣α，
∴∠APB＝90°﹣α，
∵PA＝BA，PD⊥PB，
∴∠PAB＝2∠BAD＝2α，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，∠BAC＝60°，
∴AP＝AC，
∴∠APC＝∠ACP，
∵∠PAC＝∠PAB+∠BAC＝2α+60°，
∴∠APC=12×（180°﹣∠PAC）＝60°﹣α，
∴∠BPC＝∠APB﹣∠APC＝30°．
故选：A．
【点评】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是由等腰三角形的性质推出∠APC＝∠ACP＝60°﹣α．
37．（2025春•徐汇区校级月考）下列说法中，正确的有（ ）个．
①有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形；
②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；
③三个外角都相等的三角形是等边三角形；
④有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；
⑤△ABC的三边为a，b，c，满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，则这个三角形是等边三角形．
A．1B．2C．3D．4
【分析】由等边三角形的判定方法，即可判断．
【解答】解：①有一个外角为120°的等腰三角形的一个内角是60°，判定这样的等腰三角形是等边三角形，故①符合题意；
②任何等腰三角形的两个底角的外角相等，因此这样的等腰三角形不一定是等边三角形，故②不符合题意；
③三个外角都相等的三角形，其三个内角相等，判定这样的三角形是等边三角形，故③符合题意；
④等腰三角形底边的高也是这边上的中线，这样的等腰三角形不一定是等边三角形，故④不符合题意；
⑤△ABC的三边为a，b，c，满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，那么a﹣b＝0或b﹣c＝0或c﹣a＝0，因此a＝b或b＝c或c＝a，则这个三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，故⑤不符合题意，
∴说法正确的有2个．
故选：B．
【点评】本题考查等边三角形的判定，等腰三角形的性质，关键是掌握等边三角形的判定方法．
38．（2025春•浦东新区月考）如图，直线l经过线段AB的中点O，点P在直线l上，且PA＝PB，则下列结论：①∠PAO＝∠PBO；②∠A＝30°；③PO平分∠APB；④PO垂直平分线段AB．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据三线合一进行判断即可．
【解答】解：∵直线l经过线段AB的中点O，点P在直线l上，且PA＝PB，
∴∠PAO＝∠PBO，PO平分∠APB，PO垂直平分线段AB，
故①③④正确，
条件不足，无法求出∠A的度数，故②错误；
故选：C．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握三线合一．
39．（2025春•杨浦区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE＝9，则CF的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】连接AC，先证明△ABC≌△ADC（SSS），根据全等三角形的性质可得∠BAC＝∠CAD，根据平行线的性质可得∠BAC＝∠ACE，进一步可得∠CAD＝∠ACE，可得EA＝EC＝9，根据AB＝AD，∠BAD＝60°，可知△ABD是等边三角形，从而可知△EFD是等边三角形，可知EF＝DE＝3，根据CF＝CE﹣EF求解即可．
【解答】解：连接AC，
∵AB＝AD＝12，BC＝DC，
在△ABC和△ADC中，
AB=ADBC=CDAC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠CAD，
∵CE∥AB，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴∠CAD＝∠ACE，
∴EA＝EC，
∵CE＝9，
∴AE＝9，
∴ED＝12﹣9＝3，
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，
∵CE∥AB，
∴∠EFD＝∠ABD＝60°，∠FED＝∠BAD＝60°，
∴△EFD是等边三角形，
∴EF＝ED＝3，
∴CF＝CE﹣EF＝9﹣3＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解题的关键．
40．（2025春•浦东新区校级期末）如图，△ABC中，BF、CF分别平分∠ABC和∠ACB，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：
①∠DFB＝∠DBF；
②△EFC为等腰三角形；
③△ADE的周长等于△BFC的周长；
④∠BFC=90°+12∠A．其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①②④D．①②③④
【分析】①根据平分线的性质、平行线的性质，借助于等量代换可求出∠DBF＝∠DFB；
②同理可得∠ECF＝∠EFC，则△EFC为等腰三角形；
③用特殊值法，当△ABC为等边三角形时，连接AF，根据等边三角形的性质，角平分线定义和等腰三角形的判定便可得出BF＝AF＝CF，进而得BF+CF＞AC，便可得出△ADE的周长不等于△BFC的周长；
④利用两次三角形的内角和，以及平分线的性质，进行等量代换，可求的∠BFC和∠BAC之间的关系式．
【解答】解：①∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABF＝∠CBF，
又∵DE∥BC，
∴∠CBF＝∠DFB，
∴∠DFB＝∠DBF，
故①正确；
②同理∠ECF＝∠EFC，
∴EF＝EC，
∴△EFC为等腰三角形，
故②正确；
③假设△ABC为等边三角形，则AB＝AB＝BC，如图，连接AF，
∵∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，
∴BD＝DF，EF＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+DF+EF+AE＝AD+BD+AE+EC＝AB+AC，
∵F是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，
∴第三条平分线必过其点，
即AF平分∠BAC，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠ABC＝60°，
∴∠FAB＝∠FBA＝∠FAC＝∠FCA＝30°，
∴FA＝FB＝FC，
∵FA+FC＞AC，
∴FB+FC＞AC，
∴FB+FC+BC＞BC+AC，
∴FB+FC+BC＞AB+AC，
即△BFC的周长＞△ADE的周长，
故③错误；
④在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°①，
在△BFC中，∠BFC+∠FBC+∠FCB＝180°，
即∠BFC+12∠ABC+12∠ACB＝180°②，
②×2﹣①得，∠BFC＝90°+12∠BAC，
故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质，以及三角形内角和定理解答，涉及面较广，需同学们仔细解答．尤其是第③小题在常规方法不能判断正误时，可采用的特殊值法进行判断，也即是举反例的方法．
41．（2026春•普陀区校级期中）把一个半径为6厘米的草编圆形茶杯垫按如图的方法剪开并展开，得到的近似等腰三角形底是 37.68 厘米．（π取3.14）
【分析】通过观察可知，得到的三角形的底等于圆形茶杯垫的周长，三角形的高等于圆形茶杯垫的半径，根据圆的周长公式：C＝2πr，把数据代入公式解答．
【解答】解：2×3.14×6＝37.68（厘米），
故答案为：37.68．
【点评】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式．
42．（2026春•杨浦区校级月考）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，周长为16cm，AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为4cm的两个三角形，求△ABC底边BC的长 83 cm．
【分析】设AB＝AC＝x cm，BC＝y cm，根据三角形周长得到第一个方程，再利用中线性质得到两个三角形的周长差即为腰长与底边长的差，分两种情况建立方程组求解，最后根据三角形三边关系检验，得到符合条件的BC的长．
【解答】解：设AB＝AC＝x cm，BC＝y cm，
由△ABC周长为16cm得：
2x+y＝16，
∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝CD，
又BD是△ABD和△BCD的公共边，
∴|x﹣y|＝4，
分两种情况讨论：
（1）当x＞y时，x﹣y＝4，
联立方程组2x+y=16x−y=4，
两式相加得3x＝20，解得x=203，
代入x﹣y＝4得y=83，
此时三边长为203cm，203cm，83cm，满足三角形三边关系，符合题意．
（2）当x＜y时，y﹣x＝4，
联立方程组2x+y=16y−x=4，
解得x=4y=8，
此时三边长为4cm，4cm，8cm，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去．
综上，底边BC的长为83cm．
故答案为：83．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握分类讨论是关键．
43．（2025秋•普陀区期末）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，如果DA⊥AC，BC＝8，AC=42，那么BD＝ 2 ．
【分析】设BD＝a，根据线段垂直平分线性质得AD＝BD＝a，进而得CD＝8﹣a，然后在Rt△ACD由勾股定理求出a＝2，继而可得出BD的长．
【解答】解：设BD＝a，
∵边AB的垂直平分线交BC于点D，
∴AD＝BD＝a，
∵BC＝8，
∴CD＝BC﹣BD＝8﹣a，
∵DA⊥AC，
∴△ACD是直角三角形，
在Rt△ACD中，AC=42，
由勾股定理得：CD2＝AD2+AC2，
∴(8−a)2=a2+(42)2，
解得：a＝2，
∴BD＝a＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质，勾股定理是解决问题的关键．
44．（2025春•虹口区校级期中）如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝AB，过点C作 CE∥AB且CE＝BC，若∠B＝60°，∠D＝22°，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G，则∠AFG＝ 76° ．
【分析】利用全等三角形的性质定理可得∠ECD＝∠B＝60°，∠A＝∠D＝22°，由平行线的性质定理易得∠ACE＝∠A＝22°，由三角形的内角和定理和外角的性质可得结果．
【解答】证明：∵CE∥AB，
∴∠B＝∠DCE，
在△ABC与△DCE中，
BC=CE∠B=∠DCEAB=CD，
∴△ABC≌△DCE（SAS），
∵∠B＝60°，∠D＝22°，
∴∠ECD＝∠B＝60°，∠A＝∠D＝22°，
∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠A＝22°，
∵∠CED＝180°﹣∠D﹣∠ECD＝180°﹣22°﹣60°＝98°，
∴∠AFG＝∠DFC＝∠CED﹣∠ACE＝98°﹣22°＝76°．
故答案为：76°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定定理及性质定理，平行线的性质定理，外角的性质等，熟记定理是解答此题的关键．
45．（2025春•浦东新区期末）如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3⋯在射线OM上，点B1、B2、B3⋯在射线ON上，且△A1A2B1、△A2A3B2、△A3A4B3⋯为等边三角形，若OA1＝1，则△A6A7B6的周长为 96 ．
【分析】利用等边三角形的性质和几何关系，证得A2为OA3的中点，A3为OA4的中点，⋯，从而求得各等边三角形的边长，进而求得△A6A7B6周长．
【解答】解：∵∠MON＝30°，∠A1A2B1＝60°，
∴∠OB1A2＝90°，
∴A2B1＝A1A2=12OA2=12（OA1+A1A2），
∴A1A2＝OA1＝1．
∴A1为OA2的中点．
同理可证，A2为OA3的中点，A3为OA4的中点，⋯
∴A2A3＝2，A3A4＝4，A4A5＝8，⋯
∴A6A7＝32，
∴△A6A7B6的周长为3A6A7＝3×32＝96．
故答案为：96．
【点评】本题通过求解三角形的周长，考查了等边三角形的性质．
课后巩固 · 针对性练习
巩固1（新定义不等式组） — 将新运算转化为普通不等式，根据整数解个数求参数范围。
巩固2（不等式组整数解） — 已知整数解个数，确定参数端点范围（注意开闭）。
巩固3（唯一整数解求参数） — 解集为x>4和x≤某式，整数解为7，列不等式求a≥19。
巩固4（平行线判定与性质综合） — 对顶角、平行线判定、三角形内角和、同位角内错角识别。
巩固5（真假命题判断） — 钝角定义、对顶角性质、平行线判定、同旁内角平分线垂直需平行条件。
巩固6（平行线求角度） — 利用内错角相等和三角板已知角差计算。
巩固7（全等三角形判定与面积） — SAS证全等，得平行，推同旁内角互补，面积相等。
巩固8（光的反射） — 入射角等于反射角，利用垂直、平角、对顶角求镜面夹角。
巩固9（全等三角形外角性质） — 全等得对应角相等，利用外角等于不相邻内角和求角。
巩固10（等腰三角形综合） — 利用SAS证全等，得∠ABD=∠ACD，结合外角推导∠BAC=∠BDC。
巩固11（全等对应边） — 全等得对应边相等，利用线段和求DE长。
巩固12（等边三角形外等腰点个数） — 三边垂直平分线上各3点，加中心，共10点。
巩固13（等边三角形外延与全等） — SAS证全等，得等边三角形DEF，勾股求边长，面积比，外心重合。
巩固14（等腰直角三角形分类） — 以AP为腰的等腰三角形，分AP=AC和AP=PC，利用相似和勾股求PQ。
巩固15（等边三角形内点与等腰） — 旋转构造全等，分类讨论等腰△CDE腰的情况，得x与y关系式。
? 复习建议 本章重点在于不等式参数讨论的端点取舍、平行线辅助线的添加技巧、全等三角形的构造方法以及等腰三角形分类讨论思想。建议多画图、多列方程，掌握“拐点作平行线”、“旋转构全等”等常见辅助线模型。
【作业1】（2025春•闵行区校级月考）对a，b定义一种新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a﹣2b．若关于x的不等式组3x⊗(−5)＜m−7x⊗(2x−2)＜2有且只有一个整数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≥20B．20＜m≤23C．20＜m＜23D．20≤m＜23
【分析】已知不等式组利用题中的新定义化简，根据不等式组有且只有一个整数解，确定出m的范围即可．
【解答】解：根据题意，原不等式组化为3x+10＜m−7①x−2(2x−2)＜2②，
解①得：x＜m−173，
解②得：x＞23，
∵关于x的不等式组有且只有一个整数解，
∴1＜m−173≤2，
解得：20＜m≤23．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式，定义新运算的题目，弄清题中的新定义是解本题的关键．
【作业2】（2025春•杨浦区校级期末）关于x的不等式组x＜212x+23＜x+a只有4个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．−5≤a≤−143B．−5≤a＜−143C．−5＜a≤−143D．−5＜a＜−143
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【解答】解：不等式组的解集是2﹣3a＜x＜21，
因为不等式组只有4个整数解，则这4个解是20，19，18，17．
所以可以得到16≤2﹣3a＜17，
解得﹣5＜a≤−143．
故选：C．
【点评】正确解出不等式组的解集，正确确定2﹣3a的范围，是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
【作业3】（2026春•嘉定区期中）若不等式组3x−2≤ax−3＞1有一个整数解为x＝7，则a的取值范围是a≥19 ．
【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“唯一整数解为 x＝7”确定 a 的取值范围．
【解答】解：解不等式x﹣3＞1，
移项得x＞4，
解不等式3x﹣2≤a，
移项得3x≤a+2，
两边同除以3得x≤a+23，
∴结合两个解集，不等式组的解集为：4＜x≤a+23，
∵不等式组有一个整数解x＝7，则：7≤a+23，
解得：a≥19，
故答案为：a≥19．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，熟练掌握不等式组解集的确定方法，并能根据整数解的唯一性列出关于参数的不等式是解题的关键．
【作业4】（2026春•嘉定区期中）如图，下列说法正确的有（ ）个．
（1）若∠1＝∠2，则DB∥EG；
（2）若∠1＝80°，∠A＝55°，则∠DBA＝45°；
（3）∠A和∠F是内错角；
（4）若DB∥EG，则∠A+∠DBA+∠2＝180°．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据平行线的判定与性质对所给说法依次进行判断即可．
【解答】解：∵∠1＝∠DHF，∠1＝∠2，
∴∠DHF＝∠2，
∴DB∥EG．
故①正确；
∵∠1＝80°，∠A＝55°，
∴∠DBA＝180°﹣80°﹣55°＝45°．
故②正确；
∵∠A和∠F是直线DF和AC被直线AF所截得的一对内错角，
故③正确；
∵DB∥EG，
∴∠2＝∠DHG．
∵∠1＝∠DHG，
∴∠2＝∠1．
又∵∠A+∠DBA+∠1＝180°，
∴∠A+∠DBA+∠2＝180°．
故④正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质及同位角、内错角、同旁内角，熟知平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
【作业5】（2026春•虹口区期中）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①钝角大于直角；
②对顶角相等；
③同位角相等，两直线平行；
④如果两条直线被第三条直线所截，那么一对同旁内角的平分线互相垂直．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】逐个判断四个命题的真假，统计真命题的个数，用到钝角的定义，对顶角的性质，平行线的判定与性质等知识点．
【解答】解：根据真假命题及平行线性质、钝角、对顶角性质逐项分析判断如下：
①∵钝角是大于90°且小于180°的角，直角为90°，
∴钝角大于直角，①是真命题．
②∵对顶角相等是对顶角的性质，
∴②是真命题．
③同位角相等，两直线平行是平行线的判定定理，
∴③是真命题．
④只有两条平行直线被第三条直线所截时，同旁内角互补，同旁内角的平分线才互相垂直，命题未说明被截的两条直线平行，
∴④是假命题．
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理、平行线的性质，熟练掌握以上知识点是关键．
【作业6】（2026春•杨浦区校级期中）将含30°角的三角板如图放置，已知a∥b，∠1＝65°，则∠2的度数为 35° ．
【分析】利用平行线的性质得出∠BAC＝∠1＝65°，再根据角的和差得出∠2即可．
【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠BAC＝∠1＝65°，
∵∠CAD＝30°，
∴∠2＝∠BAC﹣∠CAD＝65°﹣30°＝35°，
故答案为：35°．
【点评】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
【作业7】（2026春•虹口区校级月考）如图在△ABC中，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝EF，AE＝EC．则下列说法中不正确是（ ）
A．∠ADE＝∠EFCB．∠A+∠DEC+∠F＝180°
C．∠B+∠BCF＝180°D．S△ABC＝S四边形DBCF
【分析】证明△ADE≌△CFE（SAS），得出∠A＝∠ECF，∠ADE＝∠EFC，S△ADE＝S△CFE，再由三角形内角和定理和平行线的性质即可解决问题．
【解答】解：在△ADE和△CFE中，
DE=FE∠AED=∠CEFAE=CE，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠A＝∠ECF，∠ADE＝∠EFC，S△ADE＝S△CFE，故选项A不符合题意；
∵∠A+∠AED+∠ADE＝180°，
∴∠A+∠AED+∠F＝180°，故选项B符合题意；
∵∠A＝∠ECF，
∴AB∥CF，
∴∠B+∠BCF＝180°，故选项C不符合题意；
∵S△ADE＝S△CFE，
∴S△ADE+S四边形BDCE＝S△CFE+S四边形BDCE，
∴S△ABC＝S四边形DBCF，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．
【作业8】（2025春•上海校级期中）如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线OC⊥MN，反射光线AO与水平线的夹角∠AOD＝56°，则平面镜MN与水平线BD的夹角∠DON的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角）（ ）
A．24°B．28°C．34°D．56°
【分析】先求出∠AOB＝124°，再求出∠AOC=∠BOC=12∠AOB=62°，根据垂直的定义可得∠COM＝90°，从而可得∠BOM＝28°，最后根据对顶角相等即可得．
【解答】解：由条件可得∠AOB＝180°﹣∠AOD＝124°，
∵入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，
∴∠AOC=∠BOC=12∠AOB=62°，
由条件可知∠COM＝90°，
∴∠BOM＝∠COM﹣∠BOC＝28°，
由对顶角相等得：∠DON＝∠BOM＝28°，
故选：B．
【点评】本题考查了求一个角的余角与补角、垂直、对顶角相等，熟练掌握求一个角的余角与补角的方法是解题关键．
【作业9】（2026春•虹口区校级月考）如图△ABC≌△ADE，∠D＝20°，∠E＝100°，C在AD上，则∠EFC＝ 120 °．
【分析】利用全等三角形的性质以及三角形外角的性质求解．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠ACB＝∠E＝100°，
∴∠FCD＝∠ACB＝100°，
∴∠EFC＝∠FCD+∠D＝100°+20°＝120°．
故答案为：120．
【点评】本题考查全等三角形的性质，三角形的外角的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
【作业10】（2025春•虹口区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD，且BD交AC于点O，在BD上取一点E，使得AE＝AD，∠EAD＝∠BAC．若∠ABC＝∠ACB＝α，则∠BDC＝ （180﹣2α）° ．
【分析】根据SAS证明△ABE≌△ACD，得出∠ABD＝∠ACD，再根据三角形外角的性质以及三角形内角和定理求解．
【解答】解：∵∠EAD＝∠BAC，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，
即∠BAE＝∠CAD；
在△ABE和△ACD中，
AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠ABD＝∠ACD，
∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，
∴∠BOC＝∠ABD+∠BAC，∠BOC＝∠ACD+∠BDC，
∴∠ABD+∠BAC＝∠ACD+∠BDC，
∴∠BAC＝∠BDC，
∵∠ABC＝∠ACB＝α°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣α°﹣α°＝（180﹣2α）°，
∴∠BDC＝∠BAC＝（180﹣2α）°，
故答案为：（180﹣2α）°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△ABE≌△ACD是解题的关键．
【作业11】（2025春•崇明区期末）如图，已知△ABC≌△DEB，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在AB边上，DE与AC交于点F．如果AE＝8，BC＝12，则线段DE的长是 20 ．
【分析】根据△ABC≌△DEB，得出BE＝BC＝12，DE＝AB，根据AE＝8，得出AB＝AE+BE＝12+8＝20，即可得出答案．
【解答】解：由条件可知BE＝BC＝12，DE＝AB，
∴AB＝AE+BE＝12+8＝20，
∴DE＝20．
故答案为：20．
【点评】本题主要考查了三角形全等的性质，熟练掌握该知识点是关键．
【作业12】（2025春•松江区校级月考）在等边△ABC所在平面上找这样一点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，所有具有这样性质的点有几个？（ ）
A．3B．7C．8D．10
【分析】①以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P1，P9两点；以B为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P4，这样在BC的垂直平分线上有三点；②同样在AC，AB的垂直平分线上也分别有3点；③还有一点就是AB，BC，AC三条边的垂直平分线的交点P7；相加即可得出点P的个数．
【解答】解：①以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P1，P9两点；以B为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P4，这样在BC的垂直平分线上有三点，
②同样在AC，AB的垂直平分线上也分别有三点；
③还有一点就是AB，BC，AC三条边的垂直平分线的交点；
∴共3+3+3+1＝10个．
故选：D．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和等腰三角形的判定，线段垂直平分线性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
【作业13】（2025春•杨浦区校级月考）如图，等边三角形ABC边长为1，点D，E，F分别在边CA，AB，BC的延长线上，AD＝BE＝CF＝1，连接DE，EF，FD，EC．给出下面四个结论中正确的是（ ）
①△DEF是等边三角形；②DC⊥EC；③△ABC的面积为与△DEF面积之比为1：6；④△DEF的外心与△ABC的外心重合．
A．①②B．③④C．①②④D．①②③④
【分析】利用SAS证明△DAE≌△EBF≌△FCD，推出DE＝EF＝FD，证明△DEF是等边三角形；利用三角形的外角性质求得∠BEC＝∠BCE=12∠ABC＝30°，可证明DC⊥EC；利用勾股定理求得CE=3，求得S△ABC＝S△DEF；利用等边三角形的外心和内心的性质即可求解．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形且边长为1，
∴AB＝BC＝CA＝1，∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°，
∵AD＝BE＝CF＝1，
∴AE＝BF＝CD＝2，∠DAE＝∠EBF＝∠FCD＝180°﹣60°＝120°，
∴△DAE≌△EBF≌△FCD（SAS），
∴DE＝EF＝FD，
∴△DEF是等边三角形，
故①正确；
∵BE＝BC＝1，∠ABC＝60，∠BEC＝∠BCE=12∠ABC＝30°，
∴∠DCE＝60°+30°＝90°，即DC⊥EC，
故②正确；
∵∠ACE＝90°，AC＝1，AE＝2，
∴CE=22−12=3，
∴DE=CD2+CE2=22+(3)2=7，
∵△ABC和△DEF是等边三角形，
∴S△ABC=12×1×32=34，S△DEF=12×7×32×7=734，
∴△ABC的面积为与△DEF面积之比为1：7，故③错误；
设△ABC的外心为O，
∵△ABC是等边三角形，
∴点O也是△ABC的内心，作OG⊥AC于点G，OH⊥BC于点H，
∴OG＝OH，AG＝CH=12，
∴DG＝FH=32，
∴△DGO≌△FHO（SAS），
∴OD＝OF，
同理OD＝OE，则OD＝OE＝OF，
∴△DEF的外心与△ABC的外心重合，
故④正确．
综上，正确的有①②④，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．
【作业14】（2026•松江区二模）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点P、Q分别在边AB、BC上，如果△ACP是以AP为腰的等腰三角形，且CP⊥PQ，那么PQ的长是 154或655 ．
【分析】先由勾股定理求出AB的长度，根据△ACP是以AP为腰的等腰三角形，分AP＝AC和AP＝PC两种情况讨论，利用相似三角形的判定与性质以及解直角三角形进行求解即可．
【解答】解：由题意可得：AB=AC2+BC2=62+82=10，
当PA＝PC时，
∴∠A＝∠1，
∵∠ACB＝90°
∴∠1+∠2＝90°，∠A+∠B＝90°
∴∠B＝∠2，
∴PC＝PB，
∴PA=PB=PC=12AB=5，
∵∠B＝∠2，
∴tan∠2＝tan∠B，
∵CP⊥PQ
∴ACBC=PQPC
∴68=PQ5
∴PQ=154；
当AP＝AC＝6时，则BP＝AB﹣AP＝4，过点AG⊥CP于点G，
∴∠1＝∠4
∵∠ACB＝90°，CP⊥PQ
∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠4＝90°
∴∠2＝∠3，
∵∠B＝∠B
∴△BPQ∽△BCP，
∴BPBC=BQBP=PQCP，
∴BP2＝BQ×BC，即42＝8BQ
解得BQ＝2，
∴CQ＝8﹣2＝6，24=PQCP=12，
设PQ＝x，CP＝2x，
在Rt△CPQ中，由勾股定理得，x2+（2x）2＝62，
解得x=655（舍负），
∴PQ=655
故答案为：154或655．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，正确进行计算是解题关键．
【作业15】（2026春•双流区校级期中）如图，D是等边△ABC内一点，连接AD，BD，CD，以AD为边作等边△ADE，使得点E在直线AC的右侧，若∠ADB＝x°，∠BDC＝y°，且△CDE是以DE为腰的等腰三角形，则x与y的关系是x＝y或x+2y＝360 ．
【分析】证明△ABD≌△ACE，得到∠AEC＝∠ADB，根据周角的定义和等边三角形的性质表示出∠CDE和∠CED的度数，分DE＝DC和DE＝CE两种情况，结合等边对等角和三角形内角和定理列方程求解即可．
【解答】解：∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠AEC＝∠ADB＝x°，
∵∠AED＝60°，
∴∠CED＝∠AEC﹣∠AED＝（x﹣60）°，
∵∠ADB＝x°，∠BDC＝y°，
∴∠ADC＝360°﹣∠ADB﹣∠BDC＝（360﹣x﹣y）°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝（360﹣x﹣y﹣60）°＝（300﹣x﹣y）°，
∵△CDE是以DE为腰的等腰三角形，
∴分两种情况：
当DE＝CE时，∠CDE＝∠DCE，
在△CDE中，∠CDE+∠DCE+∠CED＝180°，
∴2∠CDE+∠CED＝180°，
∴2（300﹣x﹣y）+（x﹣60）＝180，
600﹣2x﹣2y+x﹣60＝180，
540﹣x﹣2y＝180，
解得x+2y＝360；
当DE＝DC时，∠DCE＝∠CED＝（x﹣60）°，
在△CDE中，∠CDE+∠CED+∠DCE＝180°，
∴（300﹣x﹣y）+（x﹣60）+（x﹣60）＝180，
解得x＝y；
综上所述，x与y的关系是x＝y或x+2y＝360．
故答案为：x＝y或x+2y＝360．
【点评】本题考查了等腰三角形、等边三角形性质，熟练掌握以上知识点是关键．
模块
核心内容
常用公式/结论
不等式（组）
性质、解法、整数解、参数范围、实际应用
同大取大，同小取小；乘除负数变号
相交线与平行线
同位角、内错角、同旁内角；平行线的判定与性质
平行线间距离处处相等；过拐点作平行线
三角形
三边关系、内角和、外角、全等判定、中线、高线
中线等分面积；中位线平行且等于第三边一半
等腰三角形
等边对等角、三线合一、等边三角形性质、垂直平分线
底边上的高、中线、顶角平分线重合
综合应用
折叠、旋转、等边三角形内点、等腰存在性
分类讨论、构造全等、转化思想