人教版（2024）九年级上册（2024）25.3 实际问题与一元二次方程课文内容ppt课件

这是一份人教版（2024）九年级上册（2024）25.3 实际问题与一元二次方程课文内容ppt课件，共111页。PPT课件主要包含了学习目标，课时讲解，课时流程，感悟新知，知识点，一般步骤，增长率一般为正数，解题秘方，例10，例11等内容，欢迎下载使用。
列一元二次方程解应用题
特别解读1.列方程，这是解应用题的关键一步，一般先找出一个能够表达全部含义的等量关系，然后列代数式表示等量关系中的各个量，就得到含未知数的等式，即方程 .2.设未知数时，尽量问什么设什么，同时必须写清单位．
2. 常见实际问题的数量关系
规律总结传播的第二轮可以抽象为一元二次方程，设a为传染源数，x为每个传染源传播的个数，则传播两轮后感染的总个数为a(1+x)列方程时，方程两边各个代数式的单位必须一致，答时必须写上单位．
[母题中考· 威海教材P24 习题T6]如图25.3-1，某校有一块长20 m、宽14 m的矩形种植园.为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分).小路把种植园分成面积均为24 m2 的9块矩形地块，请你求出小路的宽度.
解题秘方：设小路的宽度为x m，根据题意可知，9 块矩形地块的总面积等于一个长为(20-4x) m，宽为(14-4x) m 的矩形面积，据此建立方程求解即可.
1-1. 小明准备进行如下操作：把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形. 要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小明应该怎么剪这根铁丝？
[新考向 数学文化]《九章算术》中有一题：“今有二人同所立. 甲行率七，乙行率三.乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会. 问：甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3.乙一直向东走，甲先向南走10 步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇. 那么相遇时，甲、乙各走了多远？
解题秘方：先设他们相遇时用的时间为x，根据“路程= 速度×时间”用含x 的式子表示出直角三角形三边的长度，再利用勾股定理列方程求解.
解：如图25.3-2，设他们相遇时用的时间为x，则有(3x)2=(7x-10)2-102.解得x1=0(舍去)，x2=3.5.∴ 3x=3×3.5=10.5，7x=7×3.5=24.5.答：甲走了24.5 步，乙走了10.5 步.
2-1.《 九章算术》中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短.横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出.”译文：今有门，不知其高、宽；有竿，不知其长短.横放，竿比门宽长出4 尺；竖放，竿比门高长出2 尺；斜放，竿与门的对角线长恰好相等.则门的对角线长为________尺.
[母题 教材P21 探究1]某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700 台？
解题秘方：先设每轮感染中平均一台电脑感染的电脑台数为未知数，再利用被感染电脑的总台数列方程即可解决问题，但是一定要注意检验方程的解是否符合实际问题情境.
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.根据题意，得1+x+(1+x)x=81，整理得(1+x)2=81，解得x1=8，x2=-10(舍去).三轮感染 后，被感染的电脑台数为(1+x)2+x(1+x)2=(1+x)3=(1+8)3=729>700. 答：每轮感染中平均一台电脑会感染8 台电脑；三轮感染后，被感染的电脑会超过700 台.
3-1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有 64 人患了流感 .(1)每轮传染中平均一人传染了几人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
解：设每轮传染中平均一人传染了 x 人 .根据题意得 1＋x＋x(1＋x) =64,解得 x1=7， x2=－9(不符合题意，舍去) .答：每轮传染中平均一人传染了 7 人 .
(1)每轮传染中平均一人传染了几人？
解： 64× 7=448(人) .答：第三轮将又有 448 人被传染 .
(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
随着消费观念的转变，中药代茶饮“火爆出圈”，成为众多年轻人的饮品首选．据统计，某购物网站上某品牌的中药茶饮包 7 月份的销量为 4 万盒， 9 月份的销量为 4.84 万盒．(1)求该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率.(2)假设该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率保持不变，则 10 月份的销量能不能达到 5.5 万盒？请通过计算说明．
解题秘方：(1)根据“7 月份的销量×(1+ 增长率)2=9 月份的销量”列方程求解；(2)由“9 月份的销量×(1+ 增长率)”求出10 月份的销量，与5.5 万盒作比较即可.
解：设该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率为 x，根据题意，得 4(1+x)2=4.84，解得 x1=0.1=10%，x2=－2.1(不符合题意，舍去) .答： 该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率为 10%．
(1)求该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率.
解：4.84×(1+10%) =5.324(万盒)．因为 5.324 万盒＜5.5 万盒，所以10 月份的销量不能达到 5.5 万盒.
(2)假设该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率保持不变，则 10 月份的销量能不能达到 5.5 万盒？请通过计算说明．
4-1. 随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2 月份游客人数为1.6 万人，4 月份游客人数为2.5 万人.(1)求这两个月该景区游客人数的月平均增长率.
解:设这两个月该景区游客人数的月平均增长率为x.根据题意,得1.6(1+x)2=2.5,解得x1=25%,x2=-94(不合题意,舍去).答:这两个月该景区游客人数的月平均增长率为25%.
(2)预计5 月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率. 已知该景区5 月1 日至5 月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客最多是多少万人？
解:设5月份后10天日均接待游客是a万人.根据题意,得2.125+10a≤2.5(1+25%),解得a≤0.1.答:5月份后10天日均接待游客最多是0.1万人.
[母题 教材P22 探究2]某超市购进甲、乙两种商品，2024 年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25 元，乙种商品2026 年每件的进价为80 元.(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；(2)2026年该超市用不超过7 800 元的资金一次购进甲、乙两种商品共100 件，求最少购进多少件甲种商品.
解题秘方：(1)根据“2024 年乙种商品每件的进价×(1- 降低率)2=2026 年乙种商品每件的进价”列方程求解；(2)根据“购买资金不超过7 800 元”列不等式求解.
解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x.根据题意，得125(1-x)2=80，解得x1=0.2=20%，x2=1.8(舍去).答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%.
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；
解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品(100-m)件.根据题意，得(125-25×2)m+80(100-m)≤ 7 800，解得m≥ 40. 所以m的最小值为40.答：最少购进甲种商品40 件.
(2)2026年该超市用不超过7 800 元的资金一次购进甲、乙两种商品共100 件，求最少购进多少件甲种商品.
5-1. [中考·绵阳]超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元.因销量持续攀升，商家在3月份提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3 月份售价的基础上，4、5 月份按照相同的降价率r连续降价.已知5 月份礼盒的售价为486 元，则r=_________ .
某公司举办产品鉴定会，参加会议的是该公司的林经理和他邀请到的专家，在专家到会时，林经理和每位专家握一次手表示欢迎；在专家离会时，林经理又和他们每人握一次手表示道别，且参加会议的每两位专家之间都握了一次手，所有参加会议的人共握手20 次.参加这次会议的专家有多少人？
解题秘方：握手问题是典型的单循环问题，根据“林经理和专家握手的总次数+ 专家之间握手的总次数=20”列方程求解.
6-1.[期末·泸州江阳区]参加一次商品交易会活动的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了36 份合同，问共有多少家公司参加此次商品交易会？
距期末考试还有20 天的时间，为鼓舞干劲，班主任要求班上每一名同学要给同组的其他同学写一份拼搏进取的留言，小明所在的“战无不胜”学习小组共写了30 份留言，该学习小组共有多少名同学？
解题秘方：本题中“写留言”是相互的，要求每两个元素之间算两次(不除以2)
解：设该学习小组共有x 名同学.根据题意，得x(x-1)=30，解得x1=6，x2=-5(不合题意，舍去).答：该学习小组共有6 名同学.
7-1. 在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了72 个红包，那么这个微信群共有多少人？
解:设这个微信群共有x人.根据题意，得x(x-1)=72,解得x1=9,x2=-8(舍去).答：这个微信群共有9人.
一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？
解题秘方：列方程解数字问题的关键是用代数式表示出这个多位数的数值，设未知数时，通常采用间接设元法，即设这个多位数的某一数位上的数字为x，然后将其他数位上的数字用含x的代数式表示出来，最后再根据题中的数量关系列方程即可.
解：设个位数字为x，则十位数字是(x-3)，因此这个两位数是 10(x-3)+x. 根据题意，得x2=10(x-3)+x. 整理，得x2-11x+30=0，解得x1=5，x2=6. 当x=5 时，x-3=2；当x=6 时，x-3=3. 答：这个两位数是25 或36.
这里用到间接设未知数法
8-1. 有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的新的两位数乘原来的两位数的积为1 855，求原来的两位数.
解：设原来的两位数的十位数字为x，则个位数字为8-x.根据题意，得(10x+8-x)×［10(8-x)+x］＝1 855，整理，得x2-8x+15＝0，解得x1＝3，x2＝5.当x=3时，个位数字为8-x=5；当x=5时，个位数字为8-x=3.答：原来的两位数为35或53.
某商品现在的销售单价为60 元，每星期可卖出300 件.市场调查反映：销售单价每降低1元，每星期可多卖出20 件. 已知该商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期还想获得6 080元的利润，则应将销售单价定为多少元？
解法一：(间接设未知数)设商品的销售单价应降低x 元，则商品的销售单价为(60-x)元，销售量为(300+20x)件. 列方程，得(60-x- 40)(300+20x)=6 080. 整理，得x2-5x+4=0，解得x1=1，x2=4. 因为要使顾客得实惠，所以取x=4，所以销售单价应定为60-4= 56(元). 答：应将销售单价定为56 元.
当所设未知数非所求时，切勿直接下结论
解法二：(直接设未知数)设销售单价为x 元. 列方程，得(x-40)[300+20(60-x)]=6 080. 整理，得x2-115x+3 304=0，解得x1=56，x2=59. 因为要使顾客得实惠，所以取x=56. 答：应将销售单价定为56 元.
9-1.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了增加盈利，该商店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1 200元？
解：设当每件商品降价x元时，该商店每天的销售利润为1 200元.根据题意,得(40-x)(20+2x)=1 200.整理,得x2-30x+200=0,解得x1=10,x2=20.因为要求每件盈利不少于25元,所以40-x≥25,解得x≤15.所以x2=20应舍去.所以x=10.答:当每件商品降价10元时,该商店每天的销售利润为1 200元.
实际问题与一元二次方程
建立一元二次方程模型解决不规则几何图形问题
[一题多解]如图 25.3-3，在宽为 20 m，长为 32 m的矩形地面上修筑等宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，求道路的宽 .
解题秘方一： 利用平移法，把不规则图形的面积转化为规则图形的面积.
解法一： 设道路的宽为 x m，根据题意，得(20－x)(32－x) =540，解得 x 1=50(不符合题意，舍去)， x 2=2.答： 道路的宽为 2 m.
解题秘方二： 利用分割法，把不规则图形的面积转化为规则图形面积的差，即草坪面积=矩形面积-道路面积.
解法二： 设道路的宽为 x m，根据题意，得 32× 20－(20x+32x－x 2) =540，解得 x 1=50(不符合题意，舍去)，x 2=2.答： 道路的宽为 2 m.
道路面积为长32 m的横向道路面积与长20 m的纵向道路面积的和减去重叠部分的小正方形的面积
方法点拨平移法是列一元二次方程解面积类应用题常用的方法，其核心思想是将不在一起的几个图形通过平移转化为一个规则的图形，通过面积关系列一元二次方程求解.如此题可将道路平移到矩形的右侧和下侧，则可得草坪的面积等于一个长为(32－x)m，宽为(20－x)m的矩形的面积，如图25.3-4所示.
建立一元二次方程模型解决围墙问题
如图 25.3-4，某农场要建一个矩形 ABCD 的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长25 m)，另外三边用木栏围成，木栏长40 m.(1)若养鸡场的面积为 168 m2，求养鸡场垂直于墙的一边 AB 的长 .(2)养鸡场的面积能否达到 210 m2 ？请说明理由 .
类型1 墙长增加限制问题
解题秘方： 紧扣矩形的面积公式，建立一元二次方程模型解决问题，注意根据墙的长度，作出取舍.
解题通法常见围墙问题为一边靠墙围成矩形场地，其本质是另三边长度之和等于木栏长度．解答此类问题一般利用矩形面积公式列一元二次方程求解．在此类问题中，当墙的长度有限制时，需要根据墙的长度，对求得的根加以取舍．
解：设养鸡场垂直于墙的一边 AB 的长为 x m，则另一边 BC 的长为(40－2x) m，根据题意，得 x(40－2x) =168，解得 x 1=14， x 2=6.因为 墙长 25 m， 所以 0 m