人教版（2024）九年级上册（2024）25.1 一元二次方程的概念课堂教学ppt课件

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一元二次方程一元二次方程的一般形式一元二次方程的解(根)根据实际问题列一元二次方程
1. 定义：一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程.
2. 一元二次方程的“三要素”一是只含有一个未知数；二是整式方程；三是未知数的最高次数是 2．
分母或根号内不含未知数
特别提醒最高次数是2的项的系数的取值范围不明确的方程不一定是一元二次方程，如(m-2)x2+3x-8=0不 一 定是一元二次方程.
解：①符合一元二次方程的概念；②整理，得x2+2x-1=0，符合一元二次方程的概念.故①②是一元二次方程.③含有两个未知数；④不是整式方程；⑤未知数的最高次数是3；⑥当m=0 时，不是一元二次方程；⑦整理，得x=0，不是一元二次方程；⑧不是整式方程.故③④⑤⑥⑦⑧不是一元二次方程.综上可知，一定是一元二次方程的有2 个.
解题秘方：紧扣一元二次方程的“三要素”进行判断.
一元二次方程的一般形式
1. 一元二次方程的一般形式
2.一元二次方程的特殊形式
特别提醒1.如果明确指出方程ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程，那么隐含条件a≠ 0．否则，a的取值不确定是否为0．2.确定一元二次方程的各项和各项系数时，不要漏掉各项前面的符号．3.通常情况下，方程整理为一般形式时，将二次项系数化为正数.
解题秘方：将方程化成一元二次方程的一般形式的步骤如下：去分母、去括号、移项、合并同类项.
解：(1)移项，得一元二次方程的一般形式4x 2－5x+3 =0.它的二次项系数是 4，一次项系数是 －5，常数项是 3.(2)移项，得一元二次方程的一般形式3x 2－5 =0.其二次项系数是 3， 一次项系数是 0，常数项是 －5.(3)去括号，得3x2-3x+x-1 = 2x-1.移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-4x = 0.它的二次项系数为3，一次项系数为-4，常数项为0．(4)去分母，得2x2-3(x+1)= 6. 去括号，得2x2-3x-3=6.移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式2x2-3x-9 = 0.它的二次项系数为2，一次项系数为-3，常数项为-9．
2-1.将方程2x2=－3x+5 化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是(     )A. 2， 3， －5B. －2， 3， 5C. 2， －3， 5D. 2， 3， 5
2-2. 将一元二次方程(x-2)(2x+1)=(x+2)(x-2)化成一般形式为__________ .
已知关于 x 的一元二次方程 ax2－2x+a2－3x2 =9 的常数项是 0，求 a 的值 .
解：将原方程化为一般形式，得(a－3) x2－2x+a2－9=0.因为 (a－3) x2－2x+a2－9=0是一元二次方程，所以 a － 3≠ 0，即 a≠ 3.因为常数项为 0，所以a 2 － 9=0， 即a 2 =9，得a=3或a= － 3.又由a≠ 3可知， a 的值为 － 3.
3-1.关于x的一元二次方程(m － 3) x 2+ m2x =9x+5 化为一般形式后不含一次项，则 m 的值为(     ) A. 0 B. ± 3C. 3 D. － 3
一元二次方程的解(根)
1. 定义： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
若一元二次方程有解，则解一定有两个
2. 判断某数是不是一元二次方程的解的方法代入检验法：将此数代入一元二次方程，若能使方程左右两边的值相等，则这个数是一元二次方程的解；反之，它不是一元二次方程的解.
拓宽视野关于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根的三个重要结论：(1)有一个根为x=1 a+b+c=0；(2)有一个根为x=-1 a-b+c=0；(3)有一个根为x=0 c=0.
[母题 教材 P4 习题 T3]下列哪些数是一元二次方程x2-4x+3=0 的解？为什么？ -1，0，1，3.
解：当x=-1 时，左边=(-1)2-4×(-1)+3=8， 因为左边≠右边，所以-1 不是方程x2-4x+3=0 的解； 当x=0 时，左边=0-0+3=3， 因为左边≠右边，所以0 不是方程x2-4x+3=0 的解； 当x=1 时，左边=12-4×1+3=0， 因为左边= 右边，所以1 是方程x2-4x+3=0 的解； 当x=3 时，左边=32-4×3+3=0， 因为左边= 右边，所以3 是方程x2-4x+3=0 的解. 综上可知，1 和3 是一元二次方程x2-4x+3=0 的解.
4-1. 检验x=-2，x=3是不是方程x(x+1)=-2x-2的根.
解:当x=-2时,左边=-2×(-2+1)=-2×(-1)=2,右边=-2×(-2)-2=4-2=2.因为左边=右边,所以x=-2是方程x(x+1)=-2x-2的根.当x=3时,左边=3×(3+1)=3×4=12,右边=-2×3-2=-6-2=-8.因为左边≠右边,所以x=3不是方程x(x+1)=-2x-2的根.
根据实际问题列一元二次方程
知识链接设未知数的方法：1.直接设未知数；2.间接设未知数；3.辅助设未知数.
[母题 教材P4 习题T2]根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：(1)有一根1 m长的铁丝，用它围成一个面积为0.06 m2的矩形，求这个矩形的长与宽；
解题秘方：根据矩形面积公式列方程；
解：设这个矩形的长为x m，则矩形的宽为(0.5-x)m.根据矩形的面积公式，得x(0.5-x)=0.06.化成一般形式：x2-0.5x+0.06=0.
(2)2026年新春佳节，某班数学兴趣小组的同学互发信息祝贺(每名同学给其余同学每人各发一条信息)，共发出90条信息，求该班数学兴趣小组的人数.
解题秘方：注意互发信息问题与握手问题的区别：甲给乙发信息和乙给甲发信息记为2 条信息，但甲与乙握手和乙与甲握手记为1 次握手.
解：设该班数学兴趣小组有x 名同学.因为每名同学需给(x-1)名同学发信息，所以x 名同学共发信息x(x-1)条，即x(x-1)=90.化成一般形式：x2-x-90=0.
5-1. 参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手15 次，设有x人参加聚会，则可列方程为____________.
12x(x-1)=15
5-2.[期末·长沙岳麓区]如图，一张长方形照片长21 cm，宽10 cm，配一个相框，相框的四条边宽度都相等，且相框边的面积是照片面积的四分之一，求相框边的宽度.设相框边的宽度为x cm，依题意可列方程为______________. (化为一般形式)
8x2+124x-105=0
利用一元二次方程的相关定义求字母的值
[期中·广州番禺区] 若(m－3)x|m－1|－x－5 = 0 是关于 x 的一元二次方程，求 m 的值.
类型1 利用一元二次方程的定义求方程中字母的值
解： 由题意可知， m－3≠ 0且|m－1|=2，所以m-1=±2 且m≠ 3， 解得m=3 或m=-1，且m≠ 3.所以 m=－1.
解法提醒确定含字母的一元二次方程时，既要考虑未知数的最高次数是2，也要考虑二次项的系数不等于0．
若x=1是一元二次方程x2-4x+c=0的一个根，则c的值为________.
类型2 利用一元二次方程根的定义求方程中字母的值
解题秘方：紧扣一元二次方程根的定义，将根代入原方程，得到一个一元一次方程，从而求出字母的值.
解：将x=1 代入原方程，得12-4×1+c=0，即1-4+c=0，解得c=3.
方法点拨已知一元二次方程的根，求方程中字母的值时，利用方程的根的定义，将方程的根代入方程中转化为以所求字母为未知数的方程，求出字母的值.
利用一元二次方程根的定义求代数式的值
已 知 m 为 方 程 x2+x－3=0 的 一 个 根，则代数式 m3+2m2－2m+6 的值为__________ .
解题秘方：已知方程的根(含字母)求代数式的值时，若代数式中涉及的字母的值直接求出过于复杂或不能直接求出，则常用整体代入法求解，即将所求代数式或其中一部分看成一个整体. 必要时，要对代数式进行适当的拆分或提公因式再代入求值.
解： ∵ m 为方程 x 2+x－3=0 的一个根， ∴ m 2+m－3=0.∴ m 2+m=3．∴ m 3+2m 2－2m+6=m3+m 2+m 2+m－3m+6=m(m 2+m) +(m 2+m) －3m+6=3m+3－3m+6=9．
另解∵ m为 方 程x2+x－3=0的一个根，∴ m2+m－3=0．∴ m2=3－m， m2+m=3．∴ m3+2m2－2m+6=m(3－m)+2m2－2m+6=3m－m2+2m2－2m+6=m2+m+6=3+6=9．
利用一元二次方程根的定义求关联方程的解
[模拟·鄂州] 若 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ax2+ bx－1=0(a ≠ 0)有一根为 x=1，则一元二次方程 a(x－1) 2+b(x－1)－1=0 必有一根为 __________．
解题秘方： 两个方程的结构相同，可以借助第一个方程的根来确定第二个方程的根 .
解： 因为 一元二次方程 a(x－1) 2+b(x－1)－1=0与 ax2+ bx－1=0(a ≠ 0) 的结构相同，且一元二次方程ax 2+bx－1=0(a ≠ 0) 有一根为x=1，所以 x－1=1，解得 x=2.
解题方法两个方程的结构相同，将第二个方程中含x的代数式看作一个整体，可以得到其取值与第一个方程的解相同，进而求出第二个方程的解．
忽视一元二次方程中二次项的系数不为零
已知关于 x 的一元二次方程( m － 2) x2+3x+m2 － 4=0 有一个根是 0，求 m 的值 .
错解： ∵ x=0 是方程( m－2) x2+3x+m2 － 4=0的一个根，所以 m2 － 4=0，得 m=± 2.正解： (接错解)又∵方程( m － 2) x2+3x+m2 － 4=0是关于 x 的一元二次方程，所以 m － 2 ≠ 0，即 m ≠ 2.所以 m= － 2.
诊误区：已知方程的根求方程中字母的值时，需要将方程的根代入原方程求解，注意所求字母的值必须使二次项系数不等于0.
[中考·深圳] 已知一元二次方程x2 － 3x+m=0 的一个根为 1，则 m= ____________.
利用一元二次方程根的定义求字母的值
试题评析：本题考查的是一元二次方程根的定义，把方程的根代入原方程，得到关于字母参数的方程并求解．
解：将 x=1 代 入 一 元 二 次 方 程，得1－3+m=0，解得 m=2．
已 知m是 方 程x2+4x－1=0 的 一 个 根，则(m+5)(m－1)的 值为 ___________．
利用一元二次方程根的定义求式子的值
试题评析：本题考查的是一元二次方程根的定义，把代入方程的解所得的式子或待求式灵活变形，运用整体代入法求值.
解：把 x=m 代 入 x2+4x－1=0，得 m2+4m－1=0，即 m2+4m=1.故(m+5)(m－1)=m2－m+5m－5=m2+4m－5=1－5=－4.
2.关于x的方程(m+1)x|m|+1－(m－1)x+1=0是一元二次方程，则m的值是( )A. －1 B. 1 C. ± 1 D. 0
3. 在一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110 份小礼品. 如果参加聚会的同学有x 名，那么根据题意列出的方程是( )A. x(x+1)=110 B. x(x-1)=110C. 2x(x+1)=110 D. x(x-1)=110×2
5. [中考· 达州母题教材P4习题T5]已知关于x 的方程x2+mx- 3=0 的一个根是1，则m的值为________．
6. 我们知道方程x2－2x－3=0的解是x1=－1， x2=3，则方程(2x+1)2－2(2x+1)=3的解是_______________ .
(40-2x)(70-3x)=2 450
3x2-130x+175=0
9. [新视角 新定义题]定义：关于x 的一元二次方程cx2+bx+a=0(其中a，b，c 是常数，且ac ≠ 0)是关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0的“友好”方程.例如：-2x2-x+ 1=0 是x2-x-2=0 的“友好”方程. (1)【 概念感知】2x2-3x-2=0 的“友好”方程是_______________
-2x2-3x+2=0
解：是.理由如下:把x=3代入方程cx2+bx+a=0，得9c+3b+a=0，即a+3b+9c=0.关于x的一元二次方程cx2+bx+a=0的“友好”方程为ax2+bx+c=0,把x=13代入ax2+bx+c，得ax2+bx+c=19a+13b+c=19(a+3b+9c)=0，所以x=13是方程ax2+bx+c=0的一个解,即13为cx2+bx+a=0的“友好”方程的一个解.
10.已 知 关 于 x 的 方 程(m+1) x m ² +1+(m－2) x－1=0.(1)当m取何值时，它是一元一次方程？求出此方程的根 .
解：当m－2≠0,m+1=0时，解得m=-1；当m2+1=1,m+1+(m－2)≠0时，解得m=0.故当m=-1或m=0时，原方程为一元一次方程.当m=-1时，方程为-3x-1=0，解得x=-13；当m=0时，方程为-x-1=0，解得x=-1.