初中人教版（2024）第二十五章 一元二次方程25.1 一元二次方程的概念教学设计

这是一份初中人教版（2024）第二十五章 一元二次方程25.1 一元二次方程的概念教学设计，共21页。教案主要包含了教学与建议等内容，欢迎下载使用。
教师备课 素材示例
●情景导入 如图，现在要将一块矩形绿地扩大，长、宽各增加x m．若扩大后的绿地的面积为936 m2，求长、宽各增加的长度．
引导学生分析：等量关系为__扩大后的长×宽＝扩大后的面积__，则矩形的长为__(30＋x)__m，宽为__(20＋x)__m.根据矩形的面积为936 m2，得方程__(30＋x)(20＋x)＝936__．整理，得__x2＋50x－336＝0__．
【归纳】方程中只含有__一__个未知数，且含有未知数的式子都是__整式__，未知数的最高次数是__2__，这样的方程叫作一元二次方程．一元二次方程的一般形式是__ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)__．
【教学与建议】教学：通过图形的变化让学生感知等量关系，通过整理所得到的方程的特征归纳出一元二次方程的定义．建议：讲解一元二次方程定义要抓住三个关键点：一是只含有一个未知数；二是整式方程；三是未知数的最高次数是2.
●复习导入 (教师)同学们，至今为止我们学习了哪些方程？它们都有什么特点？能举例说明吗？类似于5x2＋4x－2＝0的方程我们学习过吗？这类方程有什么特点？属于什么方程呢？它们存在于我们的实际生活中吗？下面我们一起探索新知——一元二次方程！
【教学与建议】教学：复习回顾前面学过的一元一次方程，二元一次方程，分式方程，为继续探索和学习一元二次方程的特点和定义做好铺垫，同时对新方程产生疑问，激发学生探索新知的兴趣．建议：通过复习，让学生明确“元”和“次”在方程中的含义.
命题角度1 根据定义判断一个方程是否为一元二次方程
一元二次方程化简后的特征：①只含有一个未知数；②是整式方程；③未知数的最高次数是2.
【例1】(1)下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(D)
A．ax2＋bx＋c＝0 B． eq \f(1,x2)＋x＝2
C．2x＝1 D．2＋x2＝10
(2)在下列方程中，是一元二次方程的有__①__．(填序号)
①3x2＋7＝10；②ax2＋bx＋c＝0；③(x－2)(x＋5)＝x2－1；④3x2－ eq \f(5,x)＝0.
命题角度2 利用一元二次方程的定义求待定字母的值或取值范围
根据一元二次方程的定义求方程中待定字母的值或取值范围时，需注意二次项的系数不能为0.

【例2】(1)若关于x的方程(a－1)x|a|+1－3x＋2＝0是一元二次方程，则 (C)
A．a≠±1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a＝±1
(2)如果方程ax2－7＝x＋2是关于x的一元二次方程，则a__≠0__．
命题角度3 利用一元二次方程的根求待定字母或与待定字母相关的代数式的值
一元二次方程的根就是方程的解，它能使方程左右两边相等．
【例3】(1)若x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的解，则(C)
A．a＋b＋c＝1 B．a－b＋c＝0
C．a＋b＋c＝0 D．a－b－c＝0
(2)关于x的一元二次方程(p－1)x2－x＋p2－1＝0有一个根为0，则实数p的值是__－1__．
(3)若m是方程2x2－3x－1＝0的一个根，则6m2－9m＋2 025的值为__2_028__．
命题角度4 根据等量关系列一元二次方程解决实际问题
寻找等量关系，利用一元二次方程来解决实际问题(只列方程)．
【例4】用一条长100 cm的绳子围成一个面积为128 cm2的矩形．设矩形的长为x cm，则可列方程为(B)
A．x(50＋x)＝128 B．x(50－x)＝128
C．x(100＋x)＝128 D．x(100－x)＝128
高效课堂 教学设计
1．理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程化成一般式，正确识别二次项系数、一次项系数和常数项．
2．会判断一个数是否是一元二次方程的根．
3．经历由实际问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，让学生体会到方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型．
▲重点
理解一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式．
▲难点
1．在一元二次方程化成一般形式后，如何确定一次项和常数项．
2．从实际问题中抽象出一元二次方程．
◆活动1 新课导入
1．你能举例说明一元一次方程的概念吗？
解：如2 026＋18x＝2 025，这样只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程．
2．下列是一元一次方程的是：__①④__．(填序号)
①x－1＝2x＋1；②x－3；③4x＋3y＝1；④x2－x(x＋1)＝0.
◆活动2 探究新知
1．教材P2 问题1.
提出问题：
(1)本问题中的等量关系是什么？应该设哪个量为未知数？
(2)若设各角切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)__cm，宽为__(50－2x)__cm；
(3)请根据题意列出方程，你能化简该方程吗？
学生完成并交流展示．
2．教材P2 问题2.
提出问题：
(1)说说“每两个队之间比赛1场”的含义，甲队对乙队和乙队对甲队的比赛是同一场比赛吗？
(2)问题中比赛总场次是多少？等量关系是什么？
(3)请设出未知数，列出方程式，并将所列方程化简．
学生完成并交流展示．
3．小明用30 cm的铁丝围成一斜边长等于13 cm的直角三角形，求该直角三角形的两直角边长．
提出问题：本题必须设两个未知数吗？如果只设一个未知数，那么方程应该怎样列？
◆活动3 知识归纳
提出问题：
(1)请谈谈上述方程有什么共同特点；
(2)归纳一元二次方程的概念．
1．一般地，如果方程中只含有__一__个未知数，且含有未知数的式子都是__整式__，未知数的最高次数是__2__，这样的方程叫作一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式是__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__，其中__ax2__是二次项，__a__是二次项系数；__bx__是一次项，__b__是一次项系数；__c__是常数项．
提出问题：
(1)二次项系数a为什么不能为0?
(2)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，a，b，c可以是些什么样的数？
3．方程－x2＋3x＝0中二次项系数是__－1__，一次项系数是__3__，常数项是__0__.
4．使一元二次方程的__左右两边相等__的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根．
◆活动4 例题与练习
例1 判断下列各方程是不是一元二次方程．
(1)x2－3xy＋4y2＝0；(2)y2＝3y＋2；(3)x＋ eq \f(1,x2)－3＝0.
解：(2)是，(1)(3)不是．
例2 将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
解：一般形式为3x2－8x－10＝0.其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10.
例3 已知a是方程2x2＋x－2＝0的根，求代数式4a2＋2a的值.
解：由题意，得2a2＋a－2＝0，∴2a2＋a＝2，∴4a2＋2a＝4.
练习
1．教材P3 练习第1，2题．
2．(教材P4习题T3变式)下列数：6，－6，8，－8，12，－12，2，－2，是方程x2－2x－48＝0的根有( B )
A.1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．若关于x的方程(m－1)xm2+1－3x＋2＝0是一元二次方程，则此一元二次方程为__－2x2－3x＋2＝0__．
◆活动5 课堂小结
我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你会解一元二次方程吗？
1．作业布置
(1)教材P4 习题25.1第1，2，3题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思