数学九年级上册（2024）30.1.2 圆的切线教学课件ppt

这是一份数学九年级上册（2024）30.1.2 圆的切线教学课件ppt，共120页。PPT课件主要包含了学习目标，课时讲解，课时流程，感悟新知，知识点，直线与圆的位置关系，思路导引，切线的性质和判定，切线长定理，2AC∥OP等内容，欢迎下载使用。
直线与圆的位置关系切线的性质和判定切线长定理
要点提醒如果一条直线满足下列三个条件中的任意两个，那么第三个条件也成立：(1)过圆心；(2)过切点；(3)垂直于切线.
特别解读1. 只有当直线与圆相切时，直线与圆的公共点才叫切点.2. 直线与圆的位置关系⇔圆心到直线的距离d与半径r之间的数量关系
[母题 教材P149 例1]如图30.1-1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，问直线AB与以点C为圆心，r 为半径的⊙C有何位置关系？(1)r=4 cm；(2)r = 4.8 cm；(3)r = 7 cm.
解题秘方：要判断直线AB与⊙C的位置关系，先求点C到直线AB的距离，再与圆的半径进行比较.
(1)当r =4 cm 时，CD﹥ r，∴直线AB与⊙C相离；(2)当r =4.8 cm 时，CD=r，∴直线AB与⊙C相切；(3)当r =7 cm 时，CD﹤ r，∴直线AB与⊙C相交.
1-1.已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙ O的半径为2，OA=3，OB=2，则直线AB与⊙O的位置关系为( )A.相离 B.相交C.相切 D.相交或相切1-2.在平面直角坐标系中，点A(3，4)，以A为圆心，4 为半径作圆，则⊙ A 与y轴的位置关系是_______ .
2-1.[期中·宿迁宿豫区]如图，∠ BAC=45°，点O 在AC 上， 且AO=4，以点O为圆心，r为半径画圆，若∠ BAC 的边AB与⊙O有两个公共点，则r的取值范围为________.
1. 切线的性质和判定
2. 与切线相关的常见辅助线作法
特别解读切线的判定定理与性质定理的区别：切线的判定定理是在未知相切而要证明相切的情况下使用；切线的性质定理是在已知相切而要推出其他的结论时使用.它们是一个互逆的过程，不要混淆.
拓宽视野切线的性质定理的推论：(1)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；(2)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
如图30.1-3，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D=2 ∠CAD.(1)求∠D的度数.(2)若CD=2，求BD的长.
解题秘方：“见切点，连半径”，可得直角三角形和等腰三角形，再利用它们的性质解决问题.
解：(1)如图30.1-3，连接OC.∵ AO=CO，∴∠ OAC= ∠ ACO.∴∠COD= ∠OAC+ ∠ACO=2 ∠CAD.又∠ D=2 ∠ CAD，∴∠ D= ∠COD.∵ PD 切⊙ O 于点C，∴OC⊥ PD，即∠OCD=90°.∴∠ D=45°.
3-1.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的⊙O 的切线互相垂直，垂足为D，AD和⊙O交于点E.
(1)求证：AC平分∠DAB；
证明：如图，连接OC，∵CD与⊙O相切，∴∠OCD=90°.∵AD⊥CD,∴∠D=90°.∴∠D+∠OCD=180°,∴OC∥AD.∴∠DAC=∠OCA.∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA.∴∠OAC=∠DAC,即AC平分∠DAB.
(2)若DE=2，DC=4，求⊙ O的半径.
解：如图，作OF⊥AD于点F,则∠OFD=90°,AF=EF.∴∠OFD=∠FDC=∠OCD=90°.∴四边形OFDC是矩形.∴OC=DF,OF=DC=4.设OC=r，则OA=DF=r,∴AF=EF=r-2.在Rt△AOF中，OA2=OF2+AF2，即r2=42+(r-2)2，∴r=5,即⊙O的半径为5.
如图30.1-4，AB为⊙O的直径，如果圆上的点D恰好使∠ADC= ∠B，求证：直线CD与⊙O相切.
证明：如图30.1-4，连接OD.∵OA=OD，∴∠ A= ∠ODA.∵ AB 为⊙O的直径，∴∠ ADB=90°.∴∠ A+ ∠ B=90°.∵∠ADC= ∠ B，∴∠ODA+ ∠ADC=90°，即∠CDO=90°.∴CD⊥OD.∵OD是⊙O的半径，∴直线CD与⊙O相切.
4-1.[期中·南京建邺区]如图， 在△ ABC 中，AB=AC，以AB为直径作⊙ O交BC于点D，过点D 作DE ⊥ AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线.
证明：如图，连接OD，则OD=OB.∴∠ODB=∠B.∵AB=AC，∴∠C=∠B.∴∠ODB=∠C.∴OD∥AC.又DE⊥AC于点E，∴∠ODE=∠DEC=90°.∴DE⊥OD.∵OD为⊙O的半径，∴DE为⊙O的切线.
[母题 教材P151 例2]如图30.1-5，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，以点D为圆心，DB长为半径作⊙D.求证：AC与⊙D相切.
证明：如图30.1-5，过点D作DF⊥AC于点F.∵∠B=90°，∴DB⊥AB.又∵AD平分∠BAC，∴DF=DB. ∴AC与⊙D相切.
5-1.[期中·福州长乐区]如图，在Rt △ OAB 中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2.4 为半径作⊙ O． 求证：AB是⊙O的切线．
如图30.1-6，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连接DE.
(1)若AD=DB，OC=5，求AC的长；
解：如图30.1-6，连接CD.∵ BC 是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，即CD⊥ AB.∵AD=DB，∴ AC=BC=2OC=10.
(2)求证：DE是⊙O的切线.
6-1.[中考·雅安]如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC 交BC 于点E，过点B 作⊙ O 的切线交OE的延长线于点D，连接DC 并延长交BA 的延长线于点F．
(1)求证：DC 是⊙ O 的切线；
证明：连接OC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°.∵OE∥AC,∴∠OEB=∠ACB=90°.∴OD⊥BC.∴OD垂直平分BC.∴DB=DC.∴∠DBE=∠DCE.∵OC=OB,∴∠OBE=∠OCE.∴∠DBE+∠OBE=∠DCE+∠OCE,即∠DBO=∠OCD.∵DB为⊙O的切线,OB是半径,∴DB⊥OB.∴∠OCD=∠DBO=90°，即OC⊥DC.又OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线.
(2)若∠ ABC=30 °，AB=8，求线段CF 的长.
1. 尺规作图——过圆外一点作圆的切线如图30.1-7，P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线.作法：如图30.1-8 所示.
(1)连接OP，作线段OP的垂直平分线MN，与OP交于点C；(2)以点C为圆心，CO为半径作圆，与⊙O相交于A，B两点；(3)作直线PA，PB，即所求作的切线.
说明因为两点确定一条直线，并且所求作的直线过点P且与⊙O相切，所以需在⊙O上确定一点A，满足OA⊥AP，即∠OAP=90°. 由此可知，点O，P，A可以确定一个圆，OP是这个圆的直径. 因此以OP为直径作圆，该圆与⊙O的交点即为所要确定的点.
2. 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长.
特别提醒切线是直线，不可度量；切线长是切线上切点与切点外另一点之间的线段的长，可以度量.
拓展结论：因为直线PO是整个图形的对称轴，故直线PO两侧的图形完全重合，常见结论有：(1)三组全等三角形：△PAO≌△PBO；△PAC≌△PBC；△OAC≌△OBC.(2)两个等腰三角形：△ PAB；△OAB.
(3)三组相等的角(直角除外)：∠OAB= ∠OBA= ∠APO= ∠BPO；∠AOP= ∠BOP= ∠ PAB= ∠PBA；∠AOE= ∠BOE.(4)两组相等的弧：AD=BD； AE= BE .(5)三组垂直：AB⊥PO；OA⊥ PA；OB⊥PB.(6)P，A，O，B四点共圆，圆心是PO的中点.
特别解读经过圆上一点作圆的切线，有且只有一条，过切点的半径垂直于这条切线；经过圆外一点作圆的切线，有两条，这点和两个切点所连的两条线段长相等.
如图30.1-9，PA，PB，DE分别切⊙O于点A，B，C，点D在PA 上，点E在PB上.
(1)若PA=10，求△PDE的周长；
解：∵ PA，PB，DE分别切⊙O于点A，B，C，∴ PA=PB=10，DA=DC，EC=EB.∴PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=10+10=20.∴△ PDE 的周长为20.
(2)若∠P=50°，求∠DOE的度数.
7-1. 如图，PA，PB 是⊙ O的切线，A，B为切点，∠ OAB=30°.
(1)求∠ APB的度数；
解：∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=30°.∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠PAO=∠PBO=90°.∴∠PAB=∠PBA=60°.∴△PAB是等边三角形，∴∠APB=60°.
(2)当AP=3 时，求⊙ O的半径.
解：如图，连接OP.∵PA，PB是⊙O的切线，∴PO平分∠APB.∴∠APO=∠BPO=30°.∴OP=2OA.∵AP=3，OP2=OA2+AP2，∴(2OA)2=OA2+32，解得OA=3(负值已舍去).∴⊙O的半径为3.
[母题 教材P154 练习T1]如图30.1-10，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，BC为⊙O的直径，连接AB，AC，OP.
解题秘方：活用切线长定理中的有关性质进行证明.
求证：(1)∠APB = 2 ∠ABC；
证明： ∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，即AC⊥AB.由(1)知OP⊥AB，∴AC∥OP.
8-1.[期中·南京高淳区]如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB，AC分别与小圆相切于点D，E.求证：AB=AC.
利用相等的角转化证明垂直来证明切线
[新视角 等角转化法]如图30.1-11，在△ABC中，AB=AC，过AC延长线上的点O作OD⊥AO，交BC的延长线于点D，以O为圆心，OD的长为半径的圆过点B．求证：直线AB与⊙O相切.
证明：如图30.1-11，连接OB．∵ OD ⊥ AO，∴∠ DOC=90°．∴∠ D+ ∠ DCO=90°．∵OB=OD，AB=AC，∴∠OBD= ∠D，∠ABC= ∠ACB．又∵∠DCO= ∠ACB，∴∠ABC= ∠DCO．∴∠ABO= ∠OBD+ ∠ABC=90°，即AB⊥OB．又∵OB是⊙O的半径，∴直线AB与⊙O相切．
方法总结证明直线与圆相切的常见辅助线：(1)若已知直线与圆的一个公共点，则连接这个点和圆心，证直线与这条半径垂直，简记为“有切点，连半径，证垂直”.(2)若直线与圆的公共点没有确定，则先过圆心作已知直线的垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记为“无切点，作垂直，证半径”.
利用勾股定理的逆定理证明垂直来证明切线
[新考法 构造勾股定理模型法]如图30.1-12，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A，B两点，C是半圆上的一点. 若PC=3，PB=1，PA=9，求证：PC是半圆O的切线.
证明：如图30.1-12，连接OC.∵ PA=9，PB=1，∴AB=8. ∴OB=OC=4. ∴PO=5.又∵PC=3, ∴PO2=PC2+OC2. ∴∠PCO=90°，即PC⊥CO.又∵OC是半圆O的半径，∴PC是半圆O的切线.
方法点拨若要证明的三角形的边长已知，则考虑利用勾股定理的逆定理来证明它是直角三角形，从而达到证明垂直的目的.
利用平行线的性质证明垂直来证明切线
如图30.1-13，AB为⊙O的弦，C为AB 的中点，过点C作CD∥AB，交OB的延长线于点D．连接OA，OC．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
证明：∵OC是⊙O的半径，C为AB 的中点，∴OC⊥AB．∵CD∥AB，∴CD⊥OC．又OC 是⊙ O 的半径，∴ CD 是⊙ O 的切线．
(2)若OA=3，BD=2，求△OCD的面积．
解题通法在切线的判定中，若已知点在圆上，则关键就是证明垂直.除了通过计算求出角的度数或者利用勾股定理的逆定理判定直角外，还可利用转化思想，转化的方法一般有：(1)利用相等的角转化；(2) 利用平行线的性质转化；(3) 利用三角形全等的性质转化等.
利用三角形全等证明垂直来证明切线
如图30.1-14，AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PC，切点是C，过点C作弦CD⊥AB于点E，连接CO. 求证：PD是⊙O的切线.
证明：如图30.1-14，连接OD.∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC.∴∠OCP=90°.∵CO=DO，CD⊥OA，∴∠COA= ∠DOA.又∵CO=DO，OP=OP，∴△OPC≌△OPD.∴∠ODP= ∠OCP=90°. ∴OD⊥PD.又OD是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线．
方法点拨三角形全等的性质中“对应角相等”能起到转化角的作用.利用三角形全等可以将未知的直角向已知的直角转化.
混淆“两点之间的距离”与“点到直线的距离”导致判断直线与圆的位置关系时出错
已知⊙ O 的半径为5，点A 在直线l 上，且OA=5，则直线l 与⊙ O 的位置关系是( )A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交
错解：B正解：∵⊙O的半径为5，OA=5，∴点A在⊙O上.∴点O到直线l的距离等于或小于5.∴直线l与⊙O的位置关系是相切或相交.答案：D
诊误区：出现错误的原因是把OA=5当成圆心O到直线l的距离，事实上，圆心O到直线l的距离等于或小于5.
[新趋势学科内综合中考·镇江]已知一次函数y=kx+2 的图象经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心、r 为半径作⊙O.若对于符合条件的任意实数k，一次函数y=kx+2 的图象与⊙O总有两个公共点，则r 的最小值为_______.
利用直线与圆的位置关系求半径的取值
试题评析：本题考查一次函数的图象、直线与圆的位置关系，解题关键是充分理解直线与圆相交满足的条件.
解：∵ y=kx+2 的图象经过第一、二、四象限，∴ k