人教版（2024）八年级下册（2024）23.4 实际问题与一次函数第3课时教学设计

这是一份人教版（2024）八年级下册（2024）23.4 实际问题与一次函数第3课时教学设计，共30页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第3课时

一、教材分析
本节课选自人教版八年级下册《一次函数》章节，是一次函数知识的综合应用课，在教材中起着承上启下的关键作用. 从知识体系看，它是对一次函数的概念、解析式、图象性质及增减性的巩固与深化，同时也是后续学习二次函数、实际问题建模的基础，体现了“数学建模”的核心思想.
教材首先以“租车问题”为情境，通过“确定车辆总数”的探究，引导学生分析实际问题中的约束条件；接着以“费用优化”为核心，引导学生设变量、列函数解析式，利用一次函数的增减性求解最值，形成“情境引入——问题探究——模型构建——求解应用”的完整逻辑；最后通过归纳建模方法，提炼“分析变量——选定自变量——构建函数——解决问题”的通用步骤，并搭配采购类练习巩固应用，实现从具体情境到通用方法的迁移，让学生体会函数模型在解决优化问题中的价值.

二、学情分析
已有基础：八年级学生已掌握一次函数的概念、解析式求法、图象性质及增减性，具备初步的代数运算和方程求解能力，能识别简单的变量关系，对“租车、采购”等实际情境有生活经验，具备一定的情境理解能力.
存在困难：学生容易混淆实际问题中的约束条件，难以从多变量情境中选定合适的自变量；对“利用一次函数增减性求最值”的应用场景理解不深，易忽略自变量的实际取值范围；难以将生活问题转化为数学模型，缺乏建模的系统性思维.
认知特点：八年级学生正处于从具象思维向抽象思维过渡的阶段，对生活化的情境探究兴趣浓厚，但逻辑思维的严谨性不足，容易在约束条件分析、取值范围确定中出现疏漏，需要通过阶梯式探究和实例引导，帮助其搭建从生活到数学的桥梁，逐步形成建模意识和应用能力.

三、教学目标
1.能结合实际情境建立一次函数模型，利用增减性求解优化问题.
2.准确分析实际问题中的约束条件，确定自变量的取值范围.
3.经历“情境分析——变量选择——构建函数——求解应用”的探究过程，提升建模与应用能力.
4.体会一次函数在解决实际问题中的价值，增强数学应用意识与优化思想.

四、教学重难点
重点：能结合实际情境建立一次函数模型，利用增减性求解优化问题；
难点：准确分析实际问题中的约束条件，确定自变量的取值范围.

五、教学过程
情境导入
生活中我们时常会面临如何精打细算、做出最优选择的实际问题.比如，学校组织研学旅行，在有限的预算内租车，既要保证所有师生都有座位，又要让租车总费用最少；又或者，工厂在采购原材料时，需要在满足生产需求的前提下，让采购成本降到最低.

这类问题的核心，都是在多种限制条件下，寻找一个最佳方案.解决这类问题，需将实际情境转化为数学模型，利用一次函数表示费用与数量关系，结合增减性判断趋势；用一元一次不等式组处理约束条件确定取值范围，进而研究最值优化问题.
师生活动：教师展示研学、工厂采购实例，引导学生讨论生活中优化问题，提炼共性；学生分享见解，明确问题核心.
设计意图：从生活情境切入，激发学习兴趣，让学生感知一次函数与不等式的实际价值，为后续建模学习铺垫.
探究新知
活动：探究运用一次函数设计最佳方案
问题1：某学校计划在总费用不超过2 300元的情况下，租用客车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有1名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示：
(1)共需租多少辆客车？
(2)给出最节省费用的租车方案．
注意：条件①：总费用不超过2300元；
条件②：234名学生和6名教师，每辆客车上至少有1名教师.
师生活动：教师以研学租车问题引导学生分析约束条件，分步探究客车总数、变量取值范围，通过讨论、计算推导函数模型；学生小组合作，用代入法、函数性质法求解最优方案，总结建模步骤.
讨论以下问题：
(1)影响租车费用的因素有哪些?
(2)客车总数又与哪些因素有关?
(3)如果单独租甲种车需要多少辆？乙种车呢？
答：(1)甲、乙两种车所租辆数
(2)与乘车人数有关. 234+6=240(名)
(3)①单独租用甲种车：240÷45=513≈6(辆)
②单独租用乙种车：240÷30=8(辆).
问题2：如何由乘车人数确定客车总数?
答：①要保证240名师生都有车坐，客车总数不能小于6.
②要使每辆客车上至少要有1名教师，客车总数不能大于6.
综合起来可知客车总数为6辆.
问题3：合租甲、乙两种车的时候，又有很多种方案可供选择，应该如何选出最节省费用的租车方案呢？
答：租车费用与所租车的种类有关.可以看出，当汽车总数a确定后，在满足各项要求的前提下，尽可能少地租用甲种客车可以节省费用.
设租用x辆甲种客车，则租车费用y(单位：元)是x的函数，即
y=400x+280(a-x).
将已经确定的a=6代入，化简这个函数，得y=120x+1 680.
追问：怎样确定x的取值范围呢?
分析：从人数上看：为使240名师生乘车都有座位，所以总载客量≥240 → 45x+30(6-x)≥240
x≥4
从费用上看：为使租车费用不超过2300元，所以总费用≤2 300 →
120x+1 680≤2 300
x≤516
综合起来可知x的取值为：4≤x≤516 .
注意：因为x是租车的辆数，必须是非负整数，所以x的可取值只有4和5两个.
问题4：在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中哪个方案？请说明理由.
答：共有两种方案：
方案一：4辆甲种客车， 2辆乙种客车；
方案二：5辆甲种客车， 1辆乙种客车.
方法一：直接判断
∵甲车费用400元/辆，乙车费用280元/辆，
∴应尽可能地少租用甲.
故选择方案一租甲种客车4辆，乙种客车2辆时最省钱.
此时租车费用为400×4+280×2=2160(元)
方法二：代入比较
方案一的租车费用为：
y=120×4+1680=2160(元)
方案二的租车费用为：y=120×5+1680=2280(元)
∵21600，
∴y随x的增大而增大，
∴所以当x=4时，
y最省钱=120×4+1680=2160(元)
故租甲种客车4辆，乙种客车2辆时最省钱，此时租车费用为2160元.
总结：建立函数模型解决实际问题：
解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型.
设计意图：以真实情境驱动探究，引导学生经历“实际问题——数学建模——求解验证”过程，掌握一次函数在方案优化中的应用，体会建模思想，提升解决实际问题的能力.
应用新知
【经典例题】
师生活动：教师呈现路灯采购、农场种植两道例题，引导学生分析题意、建立函数模型，讲解代入消元法处理多变量问题；学生独立解题、小组交流，梳理物资调配类问题的解题步骤.
例1 2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统.已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140 元．
(1)求甲、乙两种路灯的单价；
(2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的13，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少．
解：(1)设甲、乙两种路灯的单价分别为x元、y元，
则x+2y=2203x+140=4y
解得x=60y=80
答：甲、乙两种路灯的单价分别为60 元、80 元.
(2)设购买甲种路灯m盏，则m ≤ 13(40－m)，解得m ≤ 10.
设购买费用为n 元，根据题意，得
n＝60m＋80(40－m)＝－20m＋3 200.
因为－200，
∴y随着x的增大而增大.
∴当x=33时，利润y最大.
此时，A型号：33台，B型号：100-33=67台
最大利润为y=4×33+600=732元
师生活动：教师引导学生分析采购计算器的成本、利润关系，独立建立一次函数模型，求解不等式约束下的利润最大值；学生自主解题、交流思路，教师点评易错点(如自变量取整)，强化规范步骤.
设计意图：通过教材练习巩固一次函数优化问题的解题流程，检验学生建模、求最值的掌握情况，强化实际问题中自变量取值的现实意义，提升应用能力.
【限时训练】
1.一名旅客乘坐某航空公司飞机时，购买了经济舱机票.他所托运的行李的费用y(元)与行李的质量x(kg)之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么这名旅客可免费携带的行李的最大质量为( )
A. 20kg B. 25kg C. 28kg D. 30kg
【答案】A
2.如图，李大爷要围一个长方形菜园ABCD，菜园的一边利用足够长的墙，另外三边用总长为24m的篱笆围成.设BC边的长为xm，AB边的长为ym．
(1)求y关于x的函数解析式，以及自变量x的取值范围;
(2)若AB的长至少为6m，则BC的长最多为多少米?
【答案】(1)y=-12x+12(0< x0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a=6时，w取得最小值，
此时，15−a=15−6=9，
∴费用最少时的购买方案为：购买A种书架6个，B种书架9个，
答：费用最少时的购买方案为购买A种书架6个，B种书架9个．
4.陶瓷烧制技艺是珍贵的非物质文化遗产，某陶瓷工作室计划制作一批特色陶瓷摆件.已知制作一个小型陶瓷摆件需要陶土0.5 kg，制作一个大型陶瓷摆件需要陶土1.2 kg，工作室现有陶土28 kg．
(1)若制作的小型陶瓷摆件数量是大型陶瓷摆件数量的3倍多2个，则恰好能把工作室现有的陶土用完，求此时制作大型、小型陶瓷摆件各多少个．
(2)若制作一个小型陶瓷摆件可获利30元，制作一个大型陶瓷摆件可获利50元，制作大型、小型陶瓷摆件共49个，该工作室如何安排制作方案能获利最大?最大利润是多少元?
【答案】(1)设此时制作小型陶瓷摆件x个，大型陶瓷摆件y个.
由题意,得0.5x+1.2y=28,x=3y+2.解得x=32,y=10.
答：此时制作小型陶瓷摆件32个，大型陶瓷摆件10个.

(2)设制作小型陶瓷摆件m个，则制作大型陶瓷摆件(49-m)个.
根据题意，得0.5m+1.2(49-m)≤28.解得m≥44.
设总利润为w元，则w=30m+50(49-m)=-20m+2450.
∵-200，
∴W随着m的增大而增大．
又∵m最大取20，
∴当m=20时，W取最大值．此时W=10×20+600=800，
即W与m的函数关系式为W=10m+600，当m=20时总利润最大，最大利润为800元．
师生活动：教师引导学生独立完成多道分层练习，涵盖图象分析、函数建模、不等式约束等题型；学生自主解题后小组互评，教师针对易错点(如自变量取值、函数增减性)集中讲评，梳理解题流程.
设计意图：通过梯度练习巩固一次函数优化问题的解题方法，强化学生建模、求最值的能力，检验知识掌握情况，培养规范解题习惯与实际应用意识.
课堂总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.运用一次函数设计最佳方案的建模思想是什么？
3.运用一次函数设计最佳方案的步骤方法是什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
特色作业
主题：校园通勤中的一次函数优化师
任务：
1.调查从家到学校的两种通勤方式（如公交 / 打车 / 共享单车）的计费规则；
2.设行程距离为自变量，写出两种方式的费用函数解析式，标注自变量取值范围；
3.结合一次函数增减性，分析不同距离下的最优方案，给出通用出行建议；
4.写下 100 字探究感悟，谈谈函数在生活中的价值.
要求：
数据真实，步骤完整，清晰呈现函数建模与决策过程.