安徽师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若向量，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知分别为的三个内角的对边，若，则角（ ）
A. 或B. C. D.
3. 复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若直线和平面满足，，不在平面内，则
B. 若直线和平面满足，那么与内的任何直线平行
C. 平行于同一条直线的两个平面平行
D. 若是两条直线，且，那么平行于经过的任何平面
5. 如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ）
A. 船头方向与水流方向垂直B.
C. D. 该船到达对岸所需时间为3分钟
6. 如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中，，，，以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体表面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知向量，，向量在上的投影向量的坐标为，在上的投影向量的坐标为，则（ ）
A. 20B. C. 10D.
8. 在四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别为棱，上的点，，若平面，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则与的长度相等且方向相同或相反
B. 向量的长度与向量的长度相等
C. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
D. 若与同向，且，则
10. 下列关于非零复数、的结论正确的有（ ）
A. 已知，则、不一定为共轭复数
B. 若，则
C. 若z=m+1+m−1im∈R为纯虚数，则
D. 在复平面内对应的点为，且满足1≤z1−11+i≤2 ，则点所在的区域的面积为3π
11. 已知正三棱台，上底面边长为2，下底面ABC边长为6，侧棱长为4，点在侧面内（包含边界）运动，且，Q为上一点，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 正三棱台的高为
B. 高为，底面半径为的圆柱可以放进该棱台内
C. 点P的轨迹长度为
D. 过点的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在校园科技节的化学展区，小明的团队制作了一个立方体晶胞框架（棱长1cm的正方体），用来展示NaCl晶体中的八面体配位环境：位于立方体的各面中心位置，它们构成一个正八面体包围中心的，则该正八面体配位多面体模型的体积是______.
13. 某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成，已知，为等腰梯形内一点（含边界），则的取值范围为___________．
14. 中，内角所对的边分别为，该三角形面积大小记为S，则的最小值为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量.
（1）设求；
（2）若 与垂直，求的值.
16. 已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，若，且.
（1）求角C及边c的值；
（2）求的取值范围.
17. 如图，等边三角形，且点A，B分别为线段与的中点.将沿折叠后使点O与点P重合，得到四棱锥.设点E为线段上一点，且.
（1）证明：平面；
（2）求四棱锥与三棱锥的体积之比.
18. 如图在直角梯形中，，，点E为的中点，以A为圆心为半径作圆交于点G，点P为劣弧（包含D，G两点）上的一点，与劣弧、分别交于点F，H．
（1）求向量与夹角的余弦值；
（2）若向量，求实数x，y的值；
（3）求向量与的夹角的最大值．
19. 如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的D、E、F点上.岛屿A到补给站D的距离为岛屿A到岛屿B距离的，岛屿A和岛屿C到补给站E的距离相等，补给站F在靠近岛屿C的的三等分点上.设，，.
（1）用，表示，，；
（2）如果，海里，且，求岛屿C到补给站D的距离；
（3）若三个岛屿围成的的面积为平方公里，且满足，求岛屿A和岛屿C之间距离的最小值.